ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.06.2024
Просмотров: 45
Скачиваний: 0
|
|
6 |
|
|
измерение |
факторов, |
то |
возникает |
необходимость |
проведения многократных измерений. |
|
|
||
В этом случае принятым средством измерения проводится серия измерений известного (желательно) фиксированного (обязательно) размера целевой величины.
Полученная выборка обрабатывается методами математической статистики по следующей схеме, исходя из предположения о нормальном законе распределения результатов измерения.
Находится оценка истинного значения µx результатов измерения как их среднее арифметическое
n |
x |
i |
|
|
|
|
x = ∑ |
|
|
. |
|
(12) |
|
|
|
|
|
|||
1 |
n |
|
|
|||
Находится нормированная для случая нормального распределения |
||||||
оценка среднеквадратической погрешности результатов измерения |
|
|||||
|
|
n |
|
|
||
|
|
∑(xi −x) |
|
|
||
Sx = |
|
1 |
|
. |
(13) |
|
|
n(n −1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Значение Sx используется для характеристики точности результата
измерения некоторого свойства объекта, т.е. результата, полученного посредством математической обработки итогов целого ряда отдельных прямых измерений.
Для оценки погрешности многократных измерений пользуются понятиями доверительная вероятность и доверительный интервал. Эти два понятия связаны между собой и не могут быть использованы в отдельности.
Доверительной вероятностью называется такая вероятность, с которой результат отдельного измерения будет находиться в заданном интервале погрешности измерений, а доверительный интервал – это интервал разброса результатов измерений, в котором с заданной вероятностью находится значение отдельного результата эксперимента.
Если известен закон распределения вероятностей погрешностей измерения, то по заданной доверительной вероятности можно определить доверительный интервал распределения погрешности измерений. При числе опытов n ≤ 20 для определения доверительного интервала при заданной доверительной вероятности используют квантили α-распределения Стьюдента (табл. 2), при n > 20 – квантили нормального закона распределения.
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число |
|
|
|
|
|
|
|
изме- |
|
Доверительная вероятность Р |
|
||||
рений |
|
|
|
|
|
|
|
n |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
|
0,98 |
0,99 |
0,999 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3,080 |
6,310 |
12,71 |
|
31,80 |
63,70 |
636,60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1,886 |
2,920 |
4,30 |
|
6,96 |
9,92 |
31,60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1,638 |
2,350 |
3,18 |
|
4,54 |
5,84 |
12,94 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1,523 |
2,130 |
2,77 |
|
3,75 |
4,60 |
8,61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
1,476 |
2,020 |
2,57 |
|
3,36 |
4,03 |
6,86 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
1,440 |
1,943 |
2,45 |
|
3,14 |
3,71 |
5,96 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
1,415 |
1,895 |
2,36 |
|
3,00 |
3,50 |
5,40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
1,397 |
1,860 |
2,31 |
|
2,90 |
3,36 |
5,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
1,383 |
1,833 |
2,26 |
|
2,82 |
3,25 |
4,78 |
|
|
|
|
|
|
|
|
По заданной доверительной вероятности Р и известному числу опытов определяется квантиль распределения, с помощью которого вычисляются верхняя xн и нижняя xв границы доверительного интер-
вала
xн = x − αSx ; xв = x + αSx . |
(14) |
Истинное значение результатов многократных измерений с дове- |
|
рительной вероятностью Р лежит в этом доверительном интервале |
|
xн ≤µx ≤ xв; Р. |
(15) |
Аналогично случаю однократных измерений оценка математического ожидания x не является лучшим приближением к истинному значению.
5. Погрешности косвенных измерений
При косвенном методе измерений результаты, полученные прямыми измерениями, являются исходными данными для дальнейших вычислений.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные |
выражения |
|
для |
|
|
вычисления |
|
абсолютной |
и |
|||||||||||||||||
относительной погрешностей при косвенных измерениях приведены в |
||||||||||||||||||||||||||
табл. 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
||
Функ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Погрешности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ция |
|
|
|
Абсолютная |
|
|
|
Относительная |
|
|
||||||||||||||||
А х |
|
|
|
|
|
± A ∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
± |
∆x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
± A ∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||
А х + В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ∆x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
± A x +B |
|
|
|||||
x ± z |
|
± |
|
(∆x)2 +(∆z)2 |
|
|
± |
(∆x)2 +(∆z)2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
±z) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x + z + y |
± |
(∆x)2 +(∆z)2 +(∆y)2 |
±(∆x)2 +(∆z)2 +(∆y)2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +z + y) |
|
|
|||||
x |
± z |
2 |
|
( |
∆ |
x) |
2 |
+ |
x |
2 |
|
∆ |
z) |
2 |
± |
|
|
∆x |
2 |
+ |
|
∆z |
2 |
|
||
z |
|
|
|
|
z4 |
|
|
( |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||
x z |
± z2 |
(∆x)2 + x2 (∆z)2 |
± |
|
|
∆x 2 |
+ |
|
∆z 2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
±n xn−1 ∆x |
|
|
|
|
|
|
± |
n ∆x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
Если функция искомой величины от непосредственно измеряемых |
||||||||||||||||||||||||||
величин оказывается сложной, то расчет погрешностей производится |
||||||||||||||||||||||||||
поэтапно с разложением функция связи величин на простейшие выра- |
||||||||||||||||||||||||||
жения (из приведенных в табл. 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6. Правила округления результатов измерений
Поскольку погрешности измерений определяют лишь зону неопределенности результатов, их не требуется знать очень точно. В окончательной записи погрешность измерения принято выражать числом с одним или двумя значащими цифрами. Эмпирически были уста-
|
9 |
новлены следующие правила |
округления рассчитанного зна- |
чения погрешности и полученного результата измерения. Погрешность результата измерения указывается двумя значащими
цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной – если первая цифра равна 3 или более.
Результат измерения округляется до того же десятичного знака, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности. Если десятичная дробь в числовом значении результата измерений оканчивается нулями, то нули отбрасываются до того разряда, который соответствует разряду числового значения погрешности.
Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остальные цифры числа не изменяются. Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются.
Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равна 5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу.
Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру числа не изменяют, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная.
Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним-двумя лишними знаками.
Если руководствоваться этими правилами округления, то количество значащих цифр в числовом значении результата измерений дает возможность ориентировочно судить о точности измерения. Это связано с тем, что предельная погрешность, обусловленная округлением, равна половине единицы последнего разряда числового значения результата измерения.
Для оценки влияния округления результата измерения Y представим его в виде:
Y = A 10R +A |
2 |
10R−1 +A |
3 |
10R−2 |
+... + A |
S |
10P , |
(16) |
1 |
|
|
|
|
|
|||
где A1,...,AS – десятичные цифры и старшая цифраA1 ≠ 0; R, P, S – це- |
||||||||
лые числа, причем R −P =S −1. |
|
|
|
|
|
|||
Абсолютная |
|
погрешность, |
обусловленная |
округлени- |
||||
ем, ∆ = 0,5 10P . В качестве оценки относительной предельной погрешности округления рекомендуется принять