Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

ФБЛЦЕ, ЮФП Œ УМХЮБЕ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЖЕТНЙПОПŒ, ЛПЗДБ „A = „B = 0 Й ¸ = 2, ДМС ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ ŒЩРПМОСЕФУС ЪБЛПО пНБ I V , ЛБЛ Й УМЕДПŒБМП.

рТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ T > 0 ЛПТТЕМСГЙПООЩЕ ЖХОЛГЙЙ ПРЕТБФПТПŒ e±i’1(x) ДБАФУС ŒЩТБЦЕОЙСНЙ (12.118). рТЙ ЬФПН

йОФЕЗТБМ РП ŒТЕНЕОЙ Œ РЕТŒПН УМБЗБЕНПН (12.127) ХДПВОП РТЕПВТБЪПŒБФШ, УДŒЙОХŒ ЛПОФХТ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП t Œ ЛПНРМЕЛУОХА РМПУЛПУФШ. œЩВЕТЕН ОПŒЩК ЛПОФХТ ФБЛ: ıT (t −t) = u + iı=2, ЗДЕ u ŒЕЭЕУФŒЕООП Й −∞ < u < ∞. уДŒЙЗБС ЛПОФХТ ФБЛЙН ПВТБЪПН, НЩ ОЕ ЪБДЕŒБЕН ПУПВЕООПУФЕК ЙОФЕЗТЙТХЕНПЗП ŒЩТБЦЕОЙС Й, ЪОБЮЙФ, ЪОБЮЕОЙЕ ЙОФЕЗТБМБ РТЙ ЬФПН ОЕ НЕОСЕФУС. рЕТЕИПДС Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП u, РПМХЮБЕН

œФПТПЕ УМБЗБЕНПЕ Œ (12.127) ЙНЕЕФ ПУПВЕООПУФШ РП ДТХЗХА УФПТПОХ ПФ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ. рПЬФПНХ Œ ДБООПН УМХЮБЕ, ЮФПВЩ ОЕ ЪБДЕФШ ПУПВЕООПУФЕК ЙОФЕЗТЙТХЕНПЗП ŒЩТБЦЕОЙС, ОБДП УДŒЙОХФШ ЛПОФХТ Œ ДТХЗХА УФПТПОХ: ıT (t − t) = u − iı=2, ÇÄÅ −∞ < u < ∞. лБЛ ОЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЬФП РТЙŒПДЙФ Л ŒЩТБЦЕОЙА, РПМХЮБАЭЕНХУС ЙЪ (12.136) ЪБНЕОПК V → −V .

йОФЕЗТБМ РП u Œ РТБŒПК ЮБУФЙ (12.136) УŒПДЙФУС Л ЙЪŒЕУФОПНХ ЙОФЕЗТБМХ

−∞

œЩЮЙФБС ДТХЗ ЙЪ ДТХЗБ ОБКДЕООЩЕ ФБЛЙН УРПУПВПН ŒЛМБДЩ РЕТŒПЗП Й ŒФПТПЗП ЮМЕОПŒ (12.127), РПМХЮБЕН ПЛПОЮБФЕМШОПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ:

фБЛЙН ПВТБЪПН, РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ Й ДПУФБФПЮОП НБМПН eV ЙНЕЕФ НЕУФП ЪБЛПО пНБ. дМС ОБВМАДЕОЙС ОЕПНЙЮЕУЛПЗП РПŒЕДЕОЙС ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ, ИБТБЛФЕТОПЗП ДМС МБФФЙОЦЕТПŒУЛПК ЦЙДЛПУФЙ, ФТЕВХЕФУС, ЮФПВЩ ŒЩРПМОСМПУШ УППФОПЫЕОЙЕ eV ¸ıT .

ЗДЕ ЪОБЛЙ Ă−Ą Й Ă+Ą УППФŒЕФУФŒХАФ РТБŒЩН Й МЕŒЩН ЮБУФЙГБН.

вХДЕН УЮЙФБФШ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ УМБВЩН Й РТЙНЕОЙН ФЕПТЙА ŒПЪНХЭЕОЙК ДМС ПФЩУЛБОЙС УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ЮБУФЙ ˚1;2(i"; p). œЛМБДЩ РЕТŒПЗП РПТСДЛБ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА УŒПДСФУС Л УДŒЙЗХ ИЙНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ Й РЕТЕОПТНЙТПŒЛЕ УЛПТПУФЙ vF , Й РПЬФПНХ ЙОФЕТЕУБ ОЕ РТЕДУФБŒМСАФ.

тБУУНПФТЙН ŒЛМБДЩ Œ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ, ŒПЪОЙЛБАЭЙЕ ŒП ŒФПТПН РПТСДЛЕ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА. дМС РТБŒЩИ ЮБУФЙГ ЙНЕАФУС ФТЙ ТБЪМЙЮОЩЕ ŒЛМБДБ, ДБАЭЙЕУС ДЙБЗТБННБНЙ, ЙЪПВТБЦЕООЩНЙ ОБ ТЙУ. 12.1

òÉÓ. 12.1

оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП РЕТŒЩК Й ŒФПТПК ЗТБЖЙЛЙ, ПРЙУЩŒБАЭЙЕ ТБУУЕСОЙС РТБŒЩИ ЮБУФЙГ ДТХЗ ОБ ДТХЗЕ, ПФМЙЮБАФУС МЙЫШ ЪОБЛБНЙ Й РПЬФПНХ УПЛТБЭБАФУС. пУФБЕФУС ФТЕФЙК ЗТБЖЙЛ, ПРЙУЩŒБАЭЙК ТБУУЕСОЙЕ РТБŒЩИ ЮБУФЙГ ОБ МЕŒЩИ. уППФŒЕФУФŒХАЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ЙНЕЕФ ŒЙД

|РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ МЕŒЩИ ЮБУФЙГ ("± = " ± !=2, p± = p ± k=2). рПДУФБŒМСС ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ˝2(!; k) Œ (12.141), ŒЩЮЙУМСЕН ЙОФЕЗТБМ РП ! Й РПМХ-

ÞÁÅÍ

нЩ ŒŒЕМЙ ЛПОЕЮОЩЕ РТЕДЕМЩ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС −kmax < k < kmax Œ ŒЩТБЦЕОЙЕ (12.143), ЮФПВЩ ЙНЕФШ ŒПЪНПЦОПУФШ ТЕЗХМСТЙЪПŒБФШ ТБУИПДСЭЙКУС ЙОФЕЗТБМ РП k.

тБУУНПФТЙН РП ПФДЕМШОПУФЙ ŒЛМБДЩ Œ ЙОФЕЗТБМ (12.143) ПФ ДŒХИ УМБЗБЕНЩИ Œ ЙОФЕЗТЙТХЕНПН ŒЩТБЦЕОЙЙ. уМБЗБЕНПЕ У n(−k) РТЙŒПДЙФ Л ЙОФЕЗТБМХ РП ПВМБУФЙ 0 < k < kmax, Б УМБЗБЕНПЕ У n(k + p) | РП ПВМБУФЙ −kmax < k < −p. рПУМЕ УДŒЙЗБ РЕТЕНЕООПК k → k − p ŒП ŒФПТПН ЙОФЕЗТБМЕ РПМХЮБЕН

фЕРЕТШ ŒЩЮЙУМСЕН ПВБ ЙОФЕЗТБМБ Й ПУФБŒМСЕН ФПМШЛП УЙОЗХМСТОЩЕ РТЙ "; p → 0 ЮМЕОЩ. (оЕУЙОЗХМСТОЩЕ ЮМЕОЩ ДБАФ ПВЩЮОЩЕ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФОЩЕ РЕТЕОПТНЙТПŒЛЙ Й РПЬФПНХ ЙОФЕТЕУБ ОЕ РТЕДУФБŒМСАФ.) тЕЪХМШФБФ ЙНЕЕФ ŒЙД

мПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС ПУПВЕООПУФШ (12.145) РПЛБЪЩŒБЕФ, ЮФП ХЦЕ ŒП ŒФПТПН РПТСДЛЕ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФОПЕ РПŒЕДЕОЙЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ТБЪТХЫБЕФУС.

йЪ РТЙŒЕДЕООПЗП ŒЩЮЙУМЕОЙС ŒЙДОП, ЮФП МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС ТБУИПДЙНПУФШ ŒП ŒФПТПН РПТСДЛЕ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК ЕУФШ ЮЙУФП ПДОПНЕТОЩК ЬЖЖЕЛФ. œ ТБЪНЕТОПУФЙ D > 1 РТПГЕУУЩ ТБУУЕСОЙС ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГ ДТХЗ ОБ ДТХЗЕ, РПДПВОЩЕ ЙЪПВТБЦЕООЩН ОБ ТЙУ. 12.1, ДБАФ ŒЛМБД Œ ˚("; p) БОБМПЗЙЮОЩК (12.141). пДОБЛП, УЙОЗХМСТОПУФШ РПМСТЙЪБГЙПООПЗП ПРЕТБФПТБ ˝(!; k) РТЙ !; k → 0 ПЛБЪЩŒБЕФУС ОЕ ФБЛПК УЙМШОПК, ЛБЛ Х ŒЩТБЦЕОЙС (12.142). (ьФП ŒЙДОП, ОБРТЙНЕТ, ЙЪ ФТЕИНЕТОПЗП ŒЩТБЦЕОЙС (8.47), ОБКДЕООПЗП Œ ЪБДБЮЕ 44 Б.) рП ЬФПК РТЙЮЙОЕ РТЙ D > 1 ДЙБЗТБННЩ, ПРЙУЩŒБАЭЙЕ ТБУУЕСОЙЕ ЮБУФЙГ, ОЕ РТЙŒПДСФ Л ТБУИПДЙНПУФСН, Й ФЕПТЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ПЛБЪЩŒБЕФУС ХУФПКЮЙŒПК ЛПОУФТХЛГЙЕК.

уРЙУПЛ ПВПЪОБЮЕОЙК:

EF | ЬОЕТЗЙС жЕТНЙ;

p0 | ЖЕТНЙЕŒУЛЙК ЙНРХМШУ; vF | УЛПТПУФШ жЕТНЙ;

‰p = vF (|p| − p0) | УРЕЛФТ ЬМЕЛФТПОПŒ, МЙОЕБТЙЪПŒБООЩК ŒВМЙЪЙ ХТПŒОС жЕТНЙ;0 = mp0=2ı2h—3 | РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК ФТЕИНЕТОПЗП ВЕУУРЙОПŒПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ;2D = m=2ıh—2 | РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК ДŒХНЕТОПЗП ВЕУУРЙОПŒПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ;1D = m=ıhp— 0 | РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК ПДОПНЕТОПЗП ВЕУУРЙОПŒПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ;

—B = eh=— 2mc | НБЗОЕФПО вПТБ; c | УЛПТПУФШ ЪŒХЛБ;

!D | ДЕВБЕŒУЛБС ЮБУФПФБ;

kD | ДЕВБЕŒУЛЙК ŒПМОПŒПК ŒЕЛФПТ;

g | ЛПОУФБОФБ ЬМЕЛФТПО{ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС;

“ = g2 0 | ВЕЪТБЪНЕТОБС ЛПОУФБОФБ ЬМЕЛФТПО{ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС; рПУФПСООБС рМБОЛБ h— РПМБЗБЕФУС ТБŒОПК 1, ЕУМЙ ОЕ ПЗПŒПТЕОП ПУПВП.

388

рТЙ УУЩМЛБИ ЙУРПМШЪПŒБОЩ УМЕДХАЭЙЕ УПЛТБЭЕОЙС:

[1]б. б. бВТЙЛПУПŒ, м. р. зПТШЛПŒ, й. е. дЪСМПЫЙОУЛЙК, нЕФПДЩ ЛŒБОФПŒПК ФЕПТЙЙ РПМС Œ УФБФЙУФЙЮЕУЛПК ЖЙЪЙЛЕ, зйжнм, н. (1962);

РЕТЕЙЪДБОЙЕ: дПВТПУŒЕФ, н. (1998)

[2]м. д. мБОДБХ Й е. н. мЙЖЫЙГ, лŒБОФПŒБС нЕИБОЙЛБ, оБХЛБ, н. (1974).

[3]т. жЕКОНБО, уФБФЙУФЙЮЕУЛБС нЕИБОЙЛБ, нЙТ, н. (1978).

[4]б. в. нЙЗДБМ, лБЮЕУФŒЕООЩЕ НЕФПДЩ Œ ЛŒБОФПŒПК ФЕПТЙЙ, оБХЛБ, н. (1978).

[5]м. д. мБОДБХ Й е. н. мЙЖЫЙГ, уФБФЙУФЙЮЕУЛБС жЙЪЙЛБ, оБХЛБ, н. (1976).

[6]е. н. мЙЖЫЙГ, м. р. рЙФБЕŒУЛЙК, уФБФЙУФЙЮЕУЛБС жЙЪЙЛБ, оБХЛБ, н. (1978).

[7]G. D. Mahan, Many-Particle Physics, (Plenum Press, 1990).

[8]е. н. мЙЖЫЙГ, м. р. рЙФБЕŒУЛЙК, жЙЪЙЮЕУЛБС лЙОЕФЙЛБ, оБХЛБ, н. (1979).

[9]œ. в. вЕТЕУФЕГЛЙК, е. н. мЙЖЫЙГ, м. р. рЙФБЕŒУЛЙК, лŒБОФПŒБС ЬМЕЛФТПДЙОБНЙЛБ, оБХЛБ, н. (1989).

[10]б. н. рПМСЛПŒ, лБМЙВТПŒПЮОЩЕ РПМС Й УФТХОЩ, юЕТОПЗПМПŒЛБ, 1995 (in English: A. M. Polyakov, Gauge Fields and Strings, Harwood, 1987).

389

рТЕДНЕФОЩК ХЛБЪБФЕМШ

390