Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 744

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

çÌÁŒÁ 1.

лŒБЪЙЮБУФЙГЩ

1.1.œФПТЙЮОПЕ ЛŒБОФПŒБОЙЕ. лБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС

уЙУФЕНЩ, УПУФПСЭЙЕ ЙЪ ВПМШЫПЗП ЮЙУМБ ФПЦДЕУФŒЕООЩИ ЮБУФЙГ, ХДПВОП ЙЪХЮБФШ, РПМШЪХСУШ НЕФПДПН ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС. оБРПНОЙН ПУОПŒОХА ЙДЕА ЬФПЗП НЕ-

ФПДБ, ОЕ ХФПЮОСС РПЛБ ŒЙД ЮБУФЙГ. (œ ЪБДБЮБИ ЖЙЪЙЛЙ ФŒЕТДПЗП ФЕМБ ЬФП НПЗХФ ВЩФШ, УЛБЦЕН, ЬМЕЛФТПОЩ, ЖПОПОЩ, ЖПФПОЩ, ЬЛУЙФПОЩ Й Ф. Д.)

тБУУНПФТЙН ŒОБЮБМЕ УЙУФЕНХ ВПЪЕ-ЮБУФЙГ, ЛБЦДБС ЙЪ ЛПФПТЩИ НПЦЕФ ОБИПДЙФШУС

Œ ПДОПН ЙЪ УПУФПСОЙК i(x), i = 1; 2; : : : нОПЗПЮБУФЙЮОБС ŒПМОПŒБС ЖХОЛГЙС ЪБДБЕФУС Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ЮЙУЕМ ЪБРПМОЕОЙС, ХЛБЪЩŒБАЭЕН УЛПМШЛП ЮБУФЙГ ЪБОЙНБАФ ЛБЦДПЕ

ЙЪ УПУФПСОЙК i(x). œ ПВПЪОБЮЕОЙСИ дЙТБЛБ ФБЛЙЕ УПУФПСОЙС НПЗХФ ВЩФШ ЪБРЙУБОЩ ЛБЛ | : : : ; Ni−1; Ni; Ni+1; : : : , ЗДЕ ЮЙУМБ ЪБРПМОЕОЙС Ni РТЙОЙНБАФ РТПЙЪŒПМШОЩЕ ГЕМЩЕ ОЕПФТЙГБФЕМШОЩЕ ЪОБЮЕОЙС, Ni = 0; 1; : : : лБОПОЙЮЕУЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС a+i É ai ŒŒПДСФУС УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

+|

: : : ; Ni; Ni

+1

 

i|

i −

1; N

i+1

 

 

ai

 

; : : : =

N

: : : ; N

 

; : : : ;

 

ai | : : : ; Ni; Ni+1; : : : =

Ni + 1| : : : ; Ni + 1; Ni+1; : : : :

(1.1)

оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП ŒЩРПМОСАФУС ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС:

 

[ai; aj+] = aiaj+ − aj+ai = ‹ij ;

[ai; aj ] = [ai+; aj+] = 0

(1.2)

дБМЕЕ, ŒŒПДСФУС -ПРЕТБФПТЩ:

 

+(x) = i

ai+

i (x) :

 

 

(x) = i

ai i(x) ;

(1.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

жХОЛГЙЙ i(x) ŒЩВЙТБАФ ФБЛЙН ПВТБЪПН, ЮФПВЩ ПОЙ ПВТБЪПŒЩŒБМЙ РПМОХА ПТФПОПТНЙТПŒБООХА УЙУФЕНХ. рТЙ ЬФПН ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС -ПРЕТБФПТПŒ ПЛБЪЩŒБАФУС УМЕДХАЭЙНЙ:

[ (x); +(x )] = ‹(x − x ) ; [ (x); (x )] = [ +(x); +(x )] = 0 :

(1.4)

11

12

змбœб 1. лœбъйюбуфйгщ

œ УМХЮБЕ ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛЙ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ЮЙУЕМ ЪБРПМОЕОЙС, Б ФБЛЦЕ ПРЕТБФПТЩ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС, ЙИ ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС Й -ПРЕТБФПТЩ ŒŒПДСФУС УИПДОЩН ПВТБЪПН. пУФБОПŒЙНУС ОБ ПФМЙЮЙСИ ВПЪЕŒУЛПЗП Й ЖЕТНЙЕŒУЛПЗП ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС. œП-РЕТŒЩИ, Œ УЙМХ РТЙОГЙРБ рБХМЙ, ЮЙУМБ ЪБРПМОЕОЙС Ni РТЙОЙНБАФ ŒУЕЗП ДŒБ ЪОБЮЕОЙС: Ni = 0; 1. рПЬФПНХ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ ai É a+i ДЕКУФŒХАФ ФБЛ:

ai| : : : ; Ni; Ni+1; : : : =

0|

i+1

 

ÐÒÉ Ni = 0 ;

 

 

 

 

: : : ; 0; N

 

; : : :

ÐÒÉ Ni = 1,

 

 

ai+| : : : ; Ni; Ni+1; : : : =

| : : : ; 1; Ni+1; : : :

ÐÒÉ Ni = 0

.

(1.5)

 

 

0

 

 

ÐÒÉ Ni = 1

,

 

œП-ŒФПТЩИ, БОФЙУЙННЕФТЙС НОПЗПЮБУФЙЮОПЗП УПУФПСОЙС РП ПФОПЫЕОЙА Л РЕТЕУФБОПŒЛЕ ЮБУФЙГ РТЙŒПДЙФ Л БОФЙЛПННХФБФЙŒОПУФЙ ai É a+j :

[ai+; aj ]+ = ai+aj + aj ai+ = ‹ij ; [ai; aj ]+ = [ai+; aj+]+ = 0 :

(1.6)

дМС -ПРЕТБФПТПŒ (1.3) УППФОПЫЕОЙС БОФЙЛПННХФБФЙŒОПУФЙ ŒЩЗМСДСФ ФБЛ:

 

[ (x); +(x )]+ = ‹(x − x ) ; [ (x); (x )]+ = [ +(x); +(x )]+ = 0 :

(1.7)

хДПВУФŒП РТЕДУФБŒМЕОЙС ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС ЪБЛМАЮБЕФУС Œ ФПН, УŒСЪШ НЕЦДХ ПДОП- Й НОПЗПЮБУФЙЮОПК ЪБДБЮБНЙ ОБ СЪЩЛЕ -ПРЕТБФПТПŒ ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒЕУШНБ РТПУФПК. оБРТЙНЕТ, ОЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП ЗБНЙМШФПОЙБО УЙУФЕНЩ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ВПЪЕЙМЙ ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГ, ЙНЕАЭЙИ НБУУХ m Й ДŒЙЦХЭЙИУС Œ РПФЕОГЙБМЕ U (r), ЪБРЙУЩŒБЕФУС ФБЛ:

H =

−

2—hm2

 

+(r) 2

(r) +

+(r)

 

(r)U (r) d3r :

(1.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

б ЕУМЙ ЮБУФЙГЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАФ РП ЪБЛПОХ V (r1 − r2), ФП ЗБНЙМШФПОЙБО ОХЦОП

РТПУФП ДПРПМОЙФШ ЮМЕОПН

+(r1)

+(r2)V (r1 − r2) (r2)

(r1)d3r1d3r2 :

 

Hint = 2

 

(1.9)

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+(r) (r) СŒМСЕФУС

œФПТЙЮОП ЛŒБОФПŒБООЩК ПРЕТБФПТ РМПФОПУФЙ ЮБУФЙГ j(r) =

 

НОПЗПЮБУФЙЮОЩН ЬЛŒЙŒБМЕОФПН ПДОПЮБУФЙЮОПЗП ŒЩТБЦЕОЙС

 

(r)

 

2

РМПФОПУФЙ ŒЕ-

 

 

 

ТПСФОПУФЙ. йОФЕЗТБМ ПФ j

 

 

 

 

 

|

 

|

 

 

ЮЙУМБ ЮБУФЙГ Œ УЙУФЕНЕ

(r), ŒЪСФЩК РП ŒУЕНХ РТПУФТБОУФŒХ, ЕУФШ ПРЕТБФПТ РПМОПЗП

 

 

 

N =

+(r) (r) d3r :

 

 

 

 

 

(1.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рПДЮЕТЛОЕН, ЮФП ŒУЕ ПРЕТБФПТЩ (1.8) | (1.10) Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС ЙНЕАФ ПДЙО Й ФПФ ЦЕ ŒЙД Й ДМС ЖЕТНЙПОПŒ, Й ДМС ВПЪПОПŒ.

пУФБОПŒЙНУС ФЕРЕТШ ОБ ŒБЦОПН РПОСФЙЙ ЛБОПОЙЮЕУЛПЗП РТЕПВТБЪПŒБОЙС Й ОБ ФПН, ЛБЛ ЬФЙ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ŒЩЗМСДСФ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС. оБРПНОЙН, ЮФП Œ ЛМБУУЙЮЕУЛПК НЕИБОЙЛЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ЖБЪПŒПЗП РТПУФТБОУФŒБ (p; q) → (p ; q ) ŒŒПДСФУС У РПНПЭША УЛПВПЛ рХБУУПОБ {: : :}, РТЙЮЕН ТПМШ

1.1. лбопойюеулйе ртепвтбъпœбойс

13

ЬФЙИ РТЕПВТБЪПŒБОЙК ЪБЛМАЮБЕФУС Œ ФПН, ЮФП ПОЙ УПИТБОСАФ ЗБНЙМШФПОПŒХ ЖПТНХ ХТБŒОЕОЙК ДŒЙЦЕОЙС: p = {p; H}, q = {q; H}.

œ ЛŒБОФПŒПК НЕИБОЙЛЕ ТПМШ УЛПВПЛ рХБУУПОБ РЕТЕИПДЙФ Л ЛПННХФБФПТБН. (оБРТЙ-

НЕТ, Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ зЕКЪЕОВЕТЗБ ХТБŒОЕОЙС ДŒЙЦЕОЙС ЙНЕАФ ŒЙД ih@— tA = [A; H].)

рПЬФПНХ ЛБОПОЙЮЕУЛЙНЙ ОБЪЩŒБАФ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ЖЙЪЙЮЕУЛЙИ ŒЕМЙЮЙО, УПИТБОСАЭЙЕ ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС ПРЕТБФПТПŒ. лБЛ Й Œ ЛМБУУЙЮЕУЛПК НЕИБОЙЛЕ, ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ŒБЦОЩ, РПУЛПМШЛХ ПОЙ УПИТБОСАФ ЖПТНХ ХТБŒОЕОЙК ДŒЙЦЕОЙС.

рПДПВТБŒ ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ, ЮБУФП ŒПЪНПЦОП РЕТЕКФЙ ПФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЮБУФЙГ Л ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙН ЛŒБЪЙЮБУФЙГБН. оБЙВПМЕЕ ЮБУФП ТБУУНБ-

ФТЙŒБАФ МЙОЕКОЩЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ЛБОПОЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБФПТПŒ (ВПЪПОПŒ ЙМЙ ЖЕТНЙП-

ÎÏŒ)

 

Uij aj + Vij aj+ ;

 

 

Vij aj + Uij aj+ ;

 

ai =

ai+ =

(1.11)

j

j

ОБЪЩŒБЕНЩЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙСНЙ вПЗПМАВПŒБ. пДОПК ЙЪ ЮБУФП ŒУФТЕЮБАЭЙИУС ЪБДБЮ СŒМСЕФУС ПФЩУЛБОЙЕ УРЕЛФТБ Й УПВУФŒЕООЩИ УПУФПСОЙК ЗБНЙМШФПОЙБОБ, ЛŒБДТБФЙЮОПЗП РП ПРЕТБФПТБН ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС. оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП РТПЙЪŒПМШОЩК ЗБНЙМШФПОЙБО ФБЛПЗП ŒЙДБ НПЦЕФ ВЩФШ РТЙŒЕДЕО Л ДЙБЗПОБМШОПК ЖПТНЕ У РПНПЭША УППФŒЕФУФŒХАЭЙН ПВТБЪПН РПДПВТБООПЗП РТЕПВТБЪПŒБОЙС (1.11):

 

 

(1)

+

(2)

 

i

 

 

 

H =

 

hij

ai

aj + hij

aiaj + h:c: =

"iai

ai

+ 0|H|0 :

(1.12)

ij

ьОЕТЗЙЙ ДБАФ УРЕЛФТ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ, Б ЛПОУФБОФБ 0 0 Œ РТБŒПК ЮБУФЙ РТЕДУФБ-

"i |H|

ŒМСЕФ УПВПК ФБЛ ОБЪЩŒБЕНХА ЬОЕТЗЙА ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК.

рТЕПВТБЪПŒБОЙС (1.11) СŒМСАФУС ЛБОПОЙЮЕУЛЙНЙ, ЕУМЙ ПОЙ УПИТБОСАФ ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС

[ai; aj ]± = 0; [ai; aj+]± = ‹ij :

(1.13)

уППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ХУМПŒЙС ОБ НБФТЙГЩ U Й V Œ (1.11) Œ ПВЭЕН УМХЮБЕ ŒЩЗМСДСФ ФБЛ:

UkiVkj ± VkiUkj = 0 ; UkiUkj ± VkiVkj = ‹ij ;

(1.14)

ЗДЕ ЪОБЛ Ă+Ą УППФŒЕФУФŒХЕФ УМХЮБА ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛЙ, Б ЪОБЛ Ă−Ą | УМХЮБА ВПЪЕУФБФЙУФЙЛЙ.

уФТХЛФХТБ РТЕПВТБЪПŒБОЙК (1.11) ДМС ВПЪЕ-ПРЕТБФПТПŒ ŒЙДОБ ХЦЕ Œ РТПУФЕКЫЕН УМХЮБЕ ПДОПК ВПЪПООПК УФЕРЕОЙ УŒПВПДЩ (РТЙНЕТПН СŒМСЕФУС ЛŒБОФПŒП-НЕИБОЙЮЕУЛЙК ПУГЙММСФПТ). рТЙ ЬФПН U Й V | ОЕ НБФТЙГЩ, Б ЮЙУМБ, Й ЙНЕЕФУС ŒУЕЗП ДŒБ РТПУФЕКЫЙИ ПДОПТПДОЩИ ЛБОПОЙЮЕУЛЙИ РТЕПВТБЪПŒБОЙС:

a = ch – a + sh – a+

a = ei’ a

 

 

a+ = sh – a + ch – a+ ;

a+ = e−i’ a+

:

(1.15)

ЗДЕ – Й ’ | ŒЕЭЕУФŒЕООЩЕ РБТБНЕФТЩ. вПМЕЕ ПВЭЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС РТЕДУФБŒМСАФ УПВПК РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ (ЛПНРПЪЙГЙА) РТЕПВТБЪПŒБОЙК (1.15).

14 змбœб 1. лœбъйюбуфйгщ

œ УМХЮБЕ ЦЕ ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛЙ МЙОЕКОЩЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ЪБДБАФУС УИПДОЩН ПВТБЪПН. дМС ПДОПК ЖЕТНЙПООПК УФЕРЕОЙ УŒПВПДЩ ŒУЕ МЙОЕКОЩЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ЙУЮЕТРЩŒБАФУС УПРТСЦЕОЙЕН, a = a+, a+ = a, Й ХНОПЦЕОЙЕН ОБ ЖБЪПŒЩК НОПЦЙФЕМШ, a = ei’a+, a+ = e−i’a, Б РТЕПВТБЪПŒБОЙС ВПМЕЕ ПВЭЕЗП ŒЙДБ Œ ЬФПН УМХЮБЕ ПЛБЪЩŒБАФУС ОЕМЙОЕКОЩНЙ | УН. ЪБДБЮХ 3. вПМЕЕ ПВЭЙЕ МЙОЕКОЩЕ

РТЕПВТБЪПŒБОЙС ŒПЪОЙЛБАФ Œ УЙУФЕНЕ ЙЪ ДŒХИ ЖЕТНЙПОПŒ, ОБРТЙНЕТ,

 

a =

cos „ a − sin „ b+

;

a+ = cos „ a+ − sin „ b

;

(1.16)

b+ =

sin „ a + cos „ b+

 

b = sin „ a+ + cos „ b

 

 

ЗДЕ „ | РБТБНЕФТ. йОФЕТЕУОП, ЮФП РЕТŒПЕ ЙЪ ВПЪПООЩИ РТЕПВТБЪПŒБОЙК (1.15) ЕУФШ РУЕŒДПЕŒЛМЙДПŒП ŒТБЭЕОЙЕ, ФП ЕУФШ ОЕ ЮФП ЙОПЕ, ЛБЛ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ мПТЕОГБ У ВЩУФТПФПК – Œ ДŒХНЕТОПН РТПУФТБОУФŒЕ{ŒТЕНЕОЙ, Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ ДМС ЖЕТНЙПОПŒ ŒПЪОЙЛБАФ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ŒЙДБ (1.16), УППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ŒТБЭЕОЙА ЕŒЛМЙДПŒБ РТПУФТБОУФŒБ.

œПЪНПЦОЩЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ОЕ ЙУЮЕТРЩŒБАФУС ПДОПТПДОЩНЙ МЙОЕКОЩНЙ РТЕПВТБЪПŒБОЙСНЙ. йОПЗДБ ВЩŒБАФ РПМЕЪОЩ ОЕПДОПТПДОЩЕ МЙОЕКОЩЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС (ЛБЛ Œ ЪБДБЮЕ 6) ЙМЙ ДБЦЕ ОЕМЙОЕКОЩЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС (УН. ЪБДБЮХ 3, Б ФБЛЦЕ ТБЪДЕМ 1.4).

юБУФП ŒУФТЕЮБАЭБСУС ТБЪОПŒЙДОПУФШ МЙОЕКОЩИ ЛБОПОЙЮЕУЛЙИ РТЕПВТБЪПŒБОЙК |

ЖХТШЕ-РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ

-ПРЕТБФПТПŒ:

 

+(r) =

e−ipr ap+ (2ı)3 :

(1.17)

(r) =

 

eipr ap (2ı)3 ;

 

 

 

 

 

d3p

 

 

 

d3p

 

 

[ap1

 

 

+

 

 

(1.18)

 

 

; ap2 ]± = (2ı)

 

(p1 − p2)

 

рТЙОСФП ŒЩВЙТБФШ ОПТНЙТПŒЛХ ПРЕТБФПТПŒ ap

É ap

ФБЛ, ЮФПВЩ

 

 

 

 

 

+

 

3‹(3)

 

 

:

 

 

 

ПРТЕДЕМЕОЙСНЙ (1.4) Й (1.7).

 

 

фБЛПК ŒЩВПТ УПЗМБУХЕФУС У

 

 

 

 

 

 

 

 

йНЕЕФУС ŒБЦОЩК ДМС ФЕПТЙЙ ФŒЕТДПЗП ФЕМБ ЛТХЗ ЪБДБЮ, ЛПЗДБ

-ПРЕТБФПТЩ ЙМЙ

ДТХЗЙЕ ŒЕМЙЮЙОЩ ЪБДБОЩ ОБ ТЕЫЕФЛЕ. жХТШЕ-РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ (1.17) ОЕФТХДОП ТБУРТПУФТБОЙФШ ОБ ЬФПФ УМХЮБК, ЪБНЕФЙŒ, ЮФП ЕУМЙ r РТПВЕЗБЕФ ХЪМЩ ОЕЛПФПТПК ТЕЫЕФЛЙ, ФП p ЙЪНЕОСЕФУС ŒОХФТЙ РЕТЙПДБ ПВТБФОПК ТЕЫЕФЛЙ (ЙМЙ, ЙОБЮЕ ЗПŒПТС, ŒОХФТЙ ЪПОЩ вТЙММАЬОБ). уЛБЦЕН, Œ ПДОПН ЙЪНЕТЕОЙЙ ТЕЫЕФЛБ ЕУФШ rn = an, Б ЪПОБ вТЙММАЬОБ | ЬФП ПФТЕЪПЛ −ı=a < p < ı=a. фБЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ЙУРПМШЪХЕФУС Œ ЪБДБЮБИ 1, 2

É 4.

мЙФЕТБФХТБ: рПДТПВОПЕ ЙЪМПЦЕОЙЕ НЕФПДБ ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС НПЦОП ОБКФЙ Œ [3], ЗМ. VI, Б ФБЛЦЕ Œ [2], § 64, 65 É [1], § 3. рПОСФЙЕ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ ПВУХЦДБЕФУС Œ [1], ЗМ. 1 Й [6], ЗМ. 1. лБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС вПЗПМАВПŒБ ДМС ВПЪЕ-ЮБУФЙГ ТБУУНБФТЙŒБАФУС Œ [1], § 4 É [6], § 25, Б ДМС ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГ | Œ [6], § 39.

1.2. ъБДБЮЙ 1 { 4

ъБДБЮБ 1. (лМБУУЙЮЕУЛБС ГЕРПЮЛБ ПУГЙММСФПТПŒ 1.) тБУУНПФТЙН ГЕРПЮЛХ БФПНПŒ

1C ТБУУНПФТЕОЙС ЬФПК РТПУФЕКЫЕК НПДЕМЙ ЛПМЕВБОЙК ТЕЫЕФЛЙ ОБЮЙОБАФУС РПЮФЙ ŒУЕ ЛХТУЩ

1.2. ъбдбюй 1 { 4

 

15

НБУУЩ mi, УПЕДЙОЕООЩИ ПДЙОБЛПŒЩНЙ РТХЦЙОЛБНЙ ЦЕУФЛПУФЙ K:

 

∞

pi2=(2mi) + (K=2)(xi − xi+1)2

 

−∞

(1.19)

H = i=

ÇÄÅ mi = m, ЕУМЙ i ЮЕФОП, Й mi = M , ЕУМЙ i ОЕЮЕФОП. пРТЕДЕМЙФЕ ОПТНБМШОЩЕ НПДЩ ДМС ЬФПК УЙУФЕНЩ. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЙИ ДŒЕ: БЛХУФЙЮЕУЛБС Й ПРФЙЮЕУЛБС.

юЕНХ ТБŒОБ УЛПТПУФШ ЪŒХЛБ c? рПМХЮЙФУС МЙ ФБЛПК ЦЕ ПФŒЕФ, ЕУМЙ ŒЩЮЙУМСФШ c РП

ЖПТНХМЕ мБРМБУБ c = @P=@j, ЗДЕ P | ДБŒМЕОЙЕ, Б j | РМПФОПУФШ?

юЕНХ ТБŒОБ ЫЙТЙОБ ЭЕМЙ НЕЦДХ ПРФЙЮЕУЛПК Й БЛХУФЙЮЕУЛПК ŒЕФŒСНЙ? рПЛБЦЙФЕ, ЮФП РТЙ M m ДЙУРЕТУЙС ПРФЙЮЕУЛПК НПДЩ РТБЛФЙЮЕУЛЙ ПФУХФУФŒХЕФ. лБЛ НПЦОП

ПВ СУОЙФШ ЬФП ЛБЮЕУФŒЕООП?

ъБДБЮБ 2. (жЕТНЙПООБС ГЕРПЮЛБ.) оБКДЙФЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ вПЗПМАВПŒБ, ДЙБЗПОБМЙЪХАЭЕЕ ЖЕТНЙПООЩК ЗБНЙМШФПОЙБО

H = i=

 

J1 ai+ai+1 + J1 ai++1ai + J2 aiai+1 + J2 ai++1ai+ − 2B ai+ai :

(1.20)

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

фБЛПК ЗБНЙМШФПОЙБО ŒПЪОЙЛБЕФ РТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ ПДОПНЕТОПК НПДЕМЙ ЛŒБОФПŒПЗП НБЗОЕФЙЛБ, ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПК ĂXY-НПДЕМЙĄ(УН. ТБЪДЕМ 1.4).

пРТЕДЕМЙФЕ УРЕЛФТ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ "(k) ЗБНЙМШФПОЙБОБ (1.20). пВТБФЙФЕ ŒОЙНБОЙЕ,

ÞÔÏ ÐÒÉ B = 0 É J1 = J2 ДЙУРЕТУЙС РТПРБДБЕФ. нПЦОП МЙ РПОСФШ ЬФП ВЕЪ ŒЩЮЙУМЕОЙК?

ъБДБЮБ 3. (оЕМЙОЕКОЩЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС.) тБУУНПФТЙН ЖЕТНЙЕŒУЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ a Й a+, ДЕКУФŒХАЭЙЕ Œ РТПУФТБОУФŒЕ УПУФПСОЙК ЖЕТНЙПОБ, ЛПФПТЩК НПЦЕФ ЪБРПМОСФШ ЙМЙ ОЕ ЪБРПМОСФШ ТПŒОП ПДОП УПУФПСОЙЕ. œ ЬФПН УМХЮБЕ РТПУФТБОУФŒП НОПЗПЮБУФЙЮОЩИ УПУФПСОЙК ДŒХНЕТОП Й ЛБОПОЙЮЕУЛЙН ВБЪЙУПН Œ ОЕН УМХЦБФ УПУФПСОЙС |0 É |1 .

оБКДЙФЕ ŒУЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ПРЕТБФПТПŒ a Й a+, УПИТБОСАЭЙЕ УППФОПЫЕОЙС a2 = (a+)2 = 0 É a+a + aa+ = 1. хВЕДЙФЕУШ Œ ФПН, ЮФП ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ОБЙВПМЕЕ ПВЭЕЗП ŒЙДБ ОЕ ПРЙУЩŒБАФУС МЙОЕКОЩНЙ УППФОПЫЕОЙСНЙ ŒЙДБ (1.11).

тБУУНПФТЙФЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ЖЕТНЙЕŒУЛЙИ ПРЕТБФПТПŒ УРЙОПŒЩНЙ НБФТЙГБНЙ рБХМЙ:

x = a + a+ ; y = i(a − a+) ; z = 2a+a − 1 :

(1.21)

рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС a Й a+ УППФŒЕФУФŒХАФ ŒТБЭЕОЙСН Œ УРЙОПŒПН РТПУФТБОУФŒЕ.

уŒСЪШ НЕЦДХ ЖЕТНЙЕŒУЛЙНЙ ПРЕТБФПТБНЙ Й ПРЕТБФПТБНЙ УРЙОБ 1=2 ВПМЕЕ РПДТПВ-

ОП ТБУУНПФТЕОБ Œ ТБЪДЕМЕ 1.4.

ъБДБЮБ 4. (лŒБОФПŒБС ГЕРПЮЛБ ПУГЙММСФПТПŒ.) рХУФШ ФЕРЕТШ ЗБНЙМШФПОЙБО (1.19) ПРТЕДЕМСЕФ ЛŒБОФПŒХА ЪБДБЮХ, Ф. Е. pi = −ih@=@x— i . рЕТЕКДЙФЕ Л ВПЪПООЩН ПРЕТБФПТБН ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС:

xi =

h—

ai + ai+ ; pi =

hm—

i!i

ai − ai+ :

(1.22)

 

mi!i

√2

 

 

i√2

 

 

 

 

 

 

 

ЖЙЪЙЛЙ ФŒЕТДПЗП ФЕМБ.

Смотрите также файлы