Файл: kletenik_17.doc

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.07.2024

Просмотров: 28

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 17. Окружность

Уравнение

(х—)2+ (у—)2 = R2 (1)

определяет окружность радиуса R с центром С (; ).

Если центр окружности совпадает с началом координат, т. е. если  = 0,  = 0, то уравнение (1) принимает вид

х2 + у2 = R2 (2)

385. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:

1) центр окружности совпадает с началом координат и её ра­диус R = 3;

2) центр окружности совпадает с точкой С(2; — 3) и её радиус R = 7;

3) окружность проходит через начало координат и её центр совпадает с точкой С (6; — 8);

4) окружность проходит через точку А(2; 6) и её центр совпа­дает с точкой С(—1; 2);

5) точки А(3; 2) и В(—1; 6) являются концами одного из диа­метров окружности;

6) центр окружности совпадает с началом координат и прямая 3х — 4у + 20 = 0 является касательной к окружности;

7) центр окружности совпадает с точкой С(1; —1) и прямая 5х—12у + 9 = 0 является касательной к окружности;

8) окружность проходит через точки А(3; 1) и В(—1; 3), а её центр лежит на прямой 3х — у — 2 = 0;

9) окружность проходит через три точки: А(1; 1), B(1; — 1) и С(2; 0);

10) окружность проходит через три точки: M1(— 1; 5), М2(— 2; — 2) и M3 (5; 5).

386. Точка С(3; — 1) является центром окружности, отсекающей на прямой 2х — 5у + 18 = 0

хорду, длина которой равна 6. Составить уравнение этой окруж­ности.

387. Написать уравнения окружностей радиуса R =, касаю­щихся прямой х — 2у — 1=0 в точке М1 (3; 1).

388. Составить уравнение окружности, касающейся двух парал­лельных прямых: 2х + у — 5 = 0, 2х + у +15 = 0, причём одной из них — в точке А(2; 1).

389. Составить уравнения окружностей, которые проходят через точку А(1; 0) и касаются двух параллельных прямых:

2х + у + 2 = 0, 2х + у — 18 = 0.

390. Составить уравнение окружности, которая, имея центр на прямой

2х + у = 0,

касается прямых

4х — 3у+10 = 0, 4х — 3у — 30 = 0.

391.Составить уравнения окружностей, касающихся двух пере­секающихся прямых: 7х – у – 5 = 0, х + у + 13 = 0, причём одной из них – в точке М1 (1; 2).

392. Составить уравнения окружностей, проходящих через на­чало координат и касающихся двух пересекающихся прямых:

х + 2у – 9 = 0, 2х – у + 2 = 0.

393. Составить уравнения окружностей, которые, имея центры на прямой

4х – 5у – 3 = 0,

касаются прямых

2х – 3у – 10 = 0, 3х – 2у + 5 = 0.

394. Написать уравнения окружностей, проходящих через точку А(–1; 5) и касающихся двух пересекающихся прямых:

3х + 4у – 35 = 0, 4х + 3у + 14 = 0.

395. Написать уравнения окружностей, касающихся трёх прямых:

4х – 3у – 10 = 0, 3х – 4у – 5 = 0 и 3х – 4у – 15 = 0.

396. Написать уравнения окружностей, касающихся трёх прямых:

3х + 4у – 35 = 0, 3х – 4у – 35 = 0 и х – 1 = 0.

397. Какие из нижеприводимых уравнений определяют окружно­сти? Найти центр С и радиус R каждой из них:

1) (х – 5)2 + (у + 2)2 = 25; 2) (х + 2)2 + у2 = 64;

3) (х—5)2 + (у + 2)2 = 0; 4) х2 + (у – 5)2 = 5;

5) х2+у2 – 2х + 4у – 20 = 0; 6) х2+у2 – 2х + 4у + 14 = 0;

7) х2 + у2 + 4х – 2у + 5 = 0; 8) х2 + у2 + х = 0,

9) х2 + у2 + 6х – 4у + 14 = 0; 10) х2 + у2 + у =0

398. Установить, какие линии определяются следующими уравне­ниями:

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

Изобразить эти линии на чертеже.

399. Установить, как расположена точка А (1; —2) относительно каждой из следующих окружностей – внутри, вне, или на контуре:

1) х2 + у2 = 1; 2) х2 + у2 = 5; 3) х2 + у2 = 9;

4) х2 + у2 – 8х – 4у – 5 = 0; 5) х2 + у2 – 10х + 8у = 0.

400. Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями:

1) (х – 3)2 + у2 = 9 и (х + 2)2 + (у – 1)2 = 1;

2) (х + 2)2 + (у – 1)2 = 16 и (x + 2)2 + (у + 5)2 = 25;

3) х2 + у2 – 4х + 6у = 0 и х2 + у2 – 6х = 0;

4) х2 +y – х + 2у = 0 и х2 + y2 + 5х + 2у – 1 = 0.

401. Составить уравнение диаметра окружности

х2 + у2 + 4х – 6у – 17 = 0,

перпендикулярного к прямой

5х + 2у – 13 = 0.

402. Вычислить кратчайшее расстояние от точки до окружности

в каждом из следующих случаев:

а) А(6; – 8), х2 + у2 = 9;

б) В(3; 9), x2 + у2 – 26х + 30у + 313 = 0;

в) С(– 7; 2), х2 + у2 – 10х – 14у – 151=0.

403. Определить координаты точек пересечения прямой 7х – у + 12 = 0 и окружности (х – 2)2 + (у – 1)2 = 25.

404. Определить, как расположена прямая относительно окруж­ности (пересекает ли, касается или проходит вне её), если прямая и окружность заданы следующими уравнениями:

1) у = 2х – 3 и х2 + у2 – 3х + 2у – 3 = 0;

2) у = х – и х2 + у2 – 8х + 2у + 12 = 0;

3) y = x + 10 и х2 + у2 – 1 = 0.

405. Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая у = kх

1) пересекает окружность х2 + у2 – 10х + 16 = 0;

2) касается этой окружности;

3) проходит вне этой окружности.

406. Вывести условие, при котором прямая y = kx + b касается окружности х2 + у2 = R2 .

407. Составить уравнение диаметра окружности

(х – 2)2 + (у + 1)2 = 16,

проходящего через середину хорды, отсекаемой на прямой х – 2у – 3 = 0.

408. Составить уравнение хорды окружности

(х – 3)2 + (у – 7)2 = 169,

делящейся в точке М(8,5; 3,5) пополам.

409. Определить длину хорды окружности

(х – 2)2 + (у – 4)2 = 10,

делящейся в точке А(1; 2) пополам.

410. Дано уравнение пучка прямых

 (х – 8у + 30) +  (х + 5у – 22) = 0.

Найти прямые этого пучка, на которых окружность

x2 + y2 – 2х + 2у – 14 = 0

отсекает хорды длиною .

411. Даны две окружности

(х – m1)2 + (y – n1)2 = , (х – m2)2 + (y – n2)2 = ,

пересекающиеся в точках M1(х1; y1) и M2(х2; у2). Доказать, что любая окружность, проходящая через точки М1, M2, а также пря­мая M1M2 , могут быть определены уравнением вида

 [(х – m1)2 + (y – n1)2 –  +  [(х — m2)2 + (у – n2 )2 – ] = 0

при надлежащем выборе чисел  и .

412. Составить уравнение окружности, проходящей через точку А(1; – 1) и точки пересечения двух окружностей:

х2 + у2 + 2х – 2у – 23 = 0, х2 + у2 – 6х + 12у – 35 = 0.

413. Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат и точки пересечения двух окружностей:

(х + 3)2 + (у +1)2 = 25, (х – 2)2 + (у + 4)2 = 9.

414. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пере­сечения двух окружностей:

х2 + у2 + 3х – у = 0, 3х2 + 3у2 + 2х+у = 0.

415. Вычислить расстояние от центра окружности х2 + у2 = 2х до прямой, проходящей через точки пересечения двух окружностей:

х2 + у2 + 5х – 8у + 1 = 0, х2 + у2 – 3х + 7у – 25 = 0.

416. Определить длину общей хорды двух окружностей:

х2 + у2 – 10х – 10у = 0, х2 + у2 + 6х + 2у – 40 = 0.

417. Центр окружности лежит на прямой х + у = 0. Составить уравнение этой окружности, если известно, что она проходит через точки пересечения двух окружностей:

(х— 1)2 + (y + 5)2 = 50, (х + 1)2 + (у + 1)2 =10.

418. Составить уравнение касательной к окружности х2 + у2 = 5 в точке А(– 1; 2).

419. Составить уравнение касательной к окружности (х + 2)2 + (у – 3)2 = 25 в точке А(– 5; 7).

420. На окружности

16х2 + 16у2 + 48х – 8у – 43 = 0

найти точку M1 , ближайшую к прямой

8х – 4у + 73 = 0,

и вычислить расстояние d от точки M1 до этой прямой.

421. Точка M1 (x1, y1 ) лежит на окружности х2 + у2 = R2. Со­ставить уравнение касательной к этой окружности в точке M1.

422. Точка М1(х1; у1) лежит на окружности

(х – )2 + (у – )2 = R2.

Составить уравнение касательной к этой окружности в точке M1.

423. Определить острый угол, образованный при пересеченна прямой 3х – у – 1=0 и окружности

(х – 2)2 + у2 = 5

(углом между прямой и окружностью называется угол между пря­мой и касательной к окружности, проведенной в точке их пере­сечения).

424. Определить, под каким углом пересекаются две окруж­ности:

(х – 3)2 + (у – 1)2 = 8, (х – 2)2 + (у + 2)2 = 2

(углом между двумя окружностями называется угол между их каса­тельными в точке пересечения).

425. Вывести условие, при котором две окружности

(х – 1)2 + (у – 1)2 = (х – 2)2 + (у – 2)2 =

Смотрите также файлы