Файл: 4.3 BOOK.pdf

201 

15  Математическая обработка результатов измерений 

15.1 

Методы и средства измерения 

15.2 

Погрешность измерения действительных величин 

15.3 

Статистическая точность измерения 

15.1  Методы и средства измерения 

Средства  измерения,  предназначенные  для  количественной 

оценки  физических  величин,  можно  разделить  на  две  большие 
группы – меры и измерительные приборы. Мерой называют тело или 
устройство,  предназначенное  для  воспроизведения  одного  или 
нескольких  значений  определенной  физической  величины.  Меры  в 
атомной  технике  воспроизводят  величины,  характеризующие 
ионизирующие  излучения  и  источники  ионизирующих  излучений: 
активность источника, плотность потока частиц и др. Приборами для 
измерения ионизирующих излучений называют устройства, которые 
определяют  значения  величин,  характеризующих  ионизирующие 
излучения,  представляют  результаты  измерения  в  форме, доступной 
для  непосредственного  восприятия  наблюдателем,  и  обладают 
нормированными метрологическими свойствами. 

Измерения,  проводимые  с  помощью  мер  и  измерительных 

приборов,  принято  делить  на  прямые,  косвенные  и  совокупные. 
Измерения,  при  которых  искомое  значение  величины  находят 
непосредственно  из  опытных  данных,  называют  прямыми.  При 
прямых  измерениях  для  определения  измеряемой  величины 
производят  отсчет  по  индикаторным  устройствам  и  сразу  получают 
нужное  значение  без  каких-либо  дополнительных  действий  со 
стороны 

оператора, 

производящего 

измерения, 

и 

без 

дополнительных  вычислений  (за  исключением  умножения  на 
определенный  коэффициент).  Для  проведения  прямых  измерений 
измерительные  приборы  должны  быть  отградуированы.  Под 
градуировкой  приборов  понимают  процесс  нанесения  отметок  на 
шкалы  прибора  или  определения  значений  измеряемой  величины, 
соответствующих  уже  нанесенным  отметкам  (т.  е.  установление 
зависимости  между  измеряемыми  величинами  и  величинами, 
отсчитываемыми по индикаторным устройствам). 

Измерения,  при  которых  искомое  значение  величины  находят  на 

основании  известной  зависимости  между  этой  величиной  и 

202 

величинами,  подвергаемыми  прямым  измерениям,  называют 
косвенными.  Прямые  измерения  просты  по  технике  и  выполняются 
более  быстро.  В  косвенных  измерениях  возможны  погрешности  в 
вычислениях;  кроме  того,  неточность  в  определении  связи  между 
измеряемыми  и  определяемыми  величинами  ухудшает  общую 
точность измерения. Поэтому в современной измерительной технике 
стремятся увеличить долю прямых измерений. 

Совокупными  называют  измерения,  в  которых  значения 

измеряемых  величин  находят  решением  системы  уравнений, 
получаемых  при  прямых  измерениях  различных  сочетаний  этих 
величин. 

Из  методов  измерения,  характеризующихся  применяемыми 

средствами  измерения  и  приемами  их  использования,  широко 
применяются два: абсолютный и относительный. Абсолютный метод 
измерения  заключается  в  непосредственной  оценке  с  помощью 
измерительного  прибора  значения  измеряемой  величины.  При 
относительном методе измерения измеряемая величина определяется 
сравнением  ее  с  известным  значением  одноименной  величины. 
Используют  несколько  разновидностей  относительного  метода: 
методы  сравнения  с  мерой,  противопоставления,  замещения, 
совпадений,  дифференциальный  и  нулевой  методы.  В  методе 
сравнения  с  мерой  измеряемую  величину  сравнивают  с  величиной, 
воспроизводимой  мерой.  Если  измеряемая  величина  и  величина, 
воспроизводимая  мерой,  одновременно  действуют  на  прибор,  с 
помощью  которого  устанавливается  соотношение  между  этими 
величинами,  такой  метод  называется  методом  противопоставления. 
Метод  сравнения  с  мерой,  в  котором  на  измерительный  прибор 
воздействует 

разность 

измеряемой 

и 

известной 

величин, 

воспроизводимой 

мерой, 

называют 

дифференциальным. 

В 

разновидности  этого  метода  –  нулевом  (компенсационном) 
результирующий  эффект  воздействия  измеряемой  или  известной 
величины  на  прибор  сравнения  доводят  до  нуля.  Метод  замещения 
основан  на  замещении  измеряемой  величины  известной  величиной, 
воспроизводимой  мерой,  до  получения  одинакового  отсчета. 
Наконец,  в  методе  совпадений  разность  между  измеряемой 
величиной  и  величиной,  воспроизводимой  мерой,  измеряют, 
используя совпадение отметок шкал или периодических сигналов. 

203 

15.2  Погрешность измерения действительных 

величин 

Для 

правильного 

использования 

результатов 

измерения 

необходимо  знать  достоверность  этих  измерений.  Основная  задача 
приборов  для  измерения  ионизирующих  излучений,  как,  впрочем,  и 
любых  измерительных  приборов  –  дать  сведения  об  измеряемых 
физических величинах, возможно ближе соответствующие истинным 
значениям,  т.  е.  значения  физических  величин,  которые  идеальным 
образом отражали бы в количественном и качественном отношениях 
соответствующие  свойства  объекта  измерений.  Однако  никакие 
измерения  не  могут  быть  выполнены  абсолютно  точно.  Результаты 
всякого  измерения  содержат  некоторое  отклонение  от  истинного 
значения  измеряемой  величины,  называемое  погрешностью 
измерений.  Так  как  истинное  значение  измеряемой  величины 
остается  неизвестным  из-за  отсутствия  «идеальных»  методов  и 
средств  измерения,  на  практике  вместо  истинного  значения 
принимают  результаты  измерений,  полученные  при  помощи  более 
точных  методов  и  средств  –  так  называемые  действительные 
значения величин. 

Степень  приближения  данных,  полученных  по  результатам 

измерения  (или,  как  принято  называть,  измеренной  величины),  к 
действительному  значению  измеряемой  величины  называется 
точностью  измерения,  или  точностью  измерительного  прибора. 
Точность  –  это  один  из  важнейших  параметров  измерительного 
прибора,  определяющий  пригодность  полученных  результатов  для 
тех  целей,  ради  которых  проводятся  измерения.  Очевидно,  что 
результат измерений, степень достоверности которого неизвестна, не 
представляет ценности. 

К  действительным  относятся  величины,  характеризующиеся 

истинными значениями. Так, диаметр металлического шара является 
действительной  величиной.  Если  измерять  диаметр  несколько  раз  с 
идеальной точностью, то его значение будет всегда одним и тем же. 

Однако  значения  действительных  величин  измеряются  не 

абсолютно  точно,  а  с  некоторой  погрешностью.  Под  погрешностью 
действительной  величины  понимается  отклонение  значения, 
измеренного прибором, от истинного. Пусть истинное и измеренное 
значения  действительной  величины  равны  М

0

  и  М  соответственно. 

Тогда погрешность измерения ΔМ находится как разность: 

204 

ΔМ = М–М

0

. 

Погрешность  ΔM  может  быть  систематической  и  случайной. 

Систематические 

погрешности 

появляются 

вследствие 

несовершенства  приборов  (неправильная  градуировка,  неточная 
установка  нуля  и  т.д.)  или  недостаточно  разработанной  методики 
измерения  (пренебрежение  каким-либо  фактором,  систематически 
занижающим  или  завышающим  конечный  результат  измерения). 
Такое  несовершенство  приборов  и  методик  измерения  приводит  к 
одностороннему  отклонению  измеренного  значения  действительной 
величины от ее истинного значения. 

Систематические  погрешности  устраняют  путем  всесторонней  и 

периодической  проверки  измерительных  приборов,  а  также 
детальной  разработкой точных методов измерения. При тщательной 
подготовке  к  эксперименту  и  квалифицированном  его  проведении 
систематическая погрешность, как правило, принимает очень малые 
значения.  В  дальнейшем  будем  предполагать,  что  систематическая 
погрешность устранена и не влияет на результат измерения. 

Случайные  погрешности  возникают  из-за  неточности  отсчетов 

показаний  приборов  экспериментатором  и  ряда  других  случайных 
факторов, которые заранее трудно предусмотреть. Такие неточности 
в  измерении  связаны  с  определенным  несовершенством  наших 
органов  чувств  (слух,  зрение),  а  также  с  небольшими  случайными 
изменениями  параметров  измерительных  приборов  (например, 
флуктуации  (колебания)  электрического  тока  в  электронной 
аппаратуре и т.д.). 

Влияние  случайности  на  процесс  измерения  уменьшается,  если 

многократно  повторить  один  и  тот  же  эксперимент  в  одинаковых 
условиях.  При  этом  нет  оснований  считать,  что  отклонения 
измеряемого значения от истинного в одну сторону более вероятны, 
чем в другую. Тогда среднее значение, полученное из многократных 
измерений,  будет  ближе  всего  к  истинному  значению.  Пусть 
величина М с истинным значением М

0

 измерена т раз. В результате 

измерений  получены  значения  М

1

,  М

2

,...,М

т

.  Так  как  истинное 

значение  М

0

  заранее  неизвестно,  то  в  качестве  его  приближенного 

значения  берут  среднеарифметическое  (кратко  –  среднее)  М  от 
значений М

i

: 







m

i

i

m

M

M

1

(15.1) 

Каждое  значение  М

i

,  имеет  случайное  отклонение  от  среднего 

205 

значения 

M

.  За  погрешность  отдельного  измерения  принимают 

разность: 

ΔM

i

=M

i

–

M

(15.2) 

Так  как  значение  ΔM

i

  с  равной  вероятностью  может  быть  как 

положительным,  так и отрицательным, то сумма всех погрешностей 
т измерений равна нулю. Действительно, 



























m

i

i

i

m

i

i

m

i

i

mM

M

M

M

M

1

1

1

(15.3) 

Подставим значение 

M

 из формулы (15.1) 

0

1

1

1























m

i

m

i

i

i

m

i

i

m

M

m

M

M

(15.4) 

Равенство  нулю  суммы  погрешностей  отдельных  измерений 

является следствием определения среднего значения 

M

. Это условие 

служит  хорошим  контролем  правильности  вычисления как среднего 
значения 

M

, так и отдельных погрешностей ΔM

i

. 

Погрешность  среднего  значения 

M

  характеризуют  двумя 

величинами:  среднеарифметической  Δ  и  стандартной  ε.

Значение  Δ 

равно среднему от абсолютных значений погрешностей ΔM

i

. 

m

M

m

i

i











1

(15.5) 

Значение Δ показывает пределы отклонений от среднего значения 

M

,  в  которых  лежит  большинство  результатов  отдельных 

измерений. Поэтому истинное значение М

0

 с большой вероятностью 

заключено  в  пределах  от  М-Δ  до  М+Δ.  Кратко  этот  вывод 
записывается в виде: 

М

0

 = 

M

 ± Δ 

(15.6) 

Случайная погрешность подчиняется законам теории вероятности, 

на основе которой разработана теория ошибок при измерении какой-
либо  величины.  По  этой  теории  среднее  значение 

M

  более  точно 

характеризуется 

не 

среднеарифметической, 

а 

стандартной 

погрешностью: 





















m

i

i

m

m

M

1

2

1



(15.7) 

Она указывает интервал от М–2ε до М+2ε, где наиболее вероятно 

обнаружить истинное значение M

0

.

Результат измерения записывают