Файл: 4.3 BOOK.pdf

206 

в виде: 

М

о

=

M

±2ε.  

(15.8) 

Наряду с измеренными погрешностями  Δ и ε точность измерения 

характеризуют  относительными  погрешностями  δ(Δ)  и  δ(ε). 
Относительная  погрешность  равна  отношению  значений  Δ  или  ε  к 
среднему  значению 

M

.  Она  показывает  погрешность  измерения  в 

процентах  от  среднего  значения  и  весьма  наглядна  при  оценке 
точности полученного результата. Согласно определениям: 

 

%;

100









M



(15.9) 

 

%;

100

2







M







(15.10) 

15.3  Статистическая точность измерения 

Процессы 

ядерных 

превращений 

(ядерные 

реакции, 

радиоактивный 

распад) 

характеризуются 

вероятностными 

величинами. Рассмотрим для примера радиоактивный распад ядра и 
выясним, в какое время  t после его образования происходит распад. 
Ответить  на  этот  вопрос  абсолютно  точно  невозможно,  так  как 
превращение радиоактивного ядра может произойти с определенной 
вероятностью при любом значении t от нуля до бесконечности. 

Однако  при  наблюдении  превращений  огромного  числа  ядер 

происходит наложение вероятностных процессов в отдельных ядрах. 
Закономерности,  проявляющиеся  в  системах,  которые  состоят  из 
огромного числа радиоактивных ядер, описываются статистическими 
законами.  Методами  теории  вероятностей  получают  определенные 
закономерности  для  таких  систем  ядер.  Эти  закономерности 
характеризуются 

средними 

величинами. 

Так, 

в 

законе 

радиоактивного распада: 

 

t

N

N









exp

0

(15.11) 

средними величинами являются: число радиоактивных ядер  N, не 

испытавших  превращения  через  время  t,  и  постоянная  распада  λ.  В 
таблицах приводятся средние значения  λ для каждого изотопа. Если 
точно  измерить  m  раз  число  N

i

(i=1,  2,...,т)  при  одинаковых 

значениях t и N

0

, то каждое число N

i

 окажется отличным от числа N, 

полученного закона радиоактивного распада. 

Однако  среднее  значение 

N

  большого  числа  измерений  будет 

близким к числу N. 

207 

m

N

N

m

i

i







1

(15.12) 

Поэтому  для  характеристики  радиоактивного  распада  теряет 

смысл  истинное  значение  N  и  можно  говорить  лишь  об  истинном 
среднем  значении 

èñò

N

.  Под  истинным  средним  значением 

èñò

N

понимается  среднее  значение  N  при  бесконечном  числе  измерений 
(m  = 



).  На  практике  невозможно  провести  бесконечное  число 

измерений.  Поэтому  среднее  значение  N,  получаемое  в  конечном 
числе  измерений,  отличается  от  истинного  среднего  значения 

èñò

N

. 

Это  отличие,  принимаемое  за  погрешность,  имеет  случайный 
характер  и  обусловливается  вероятностным  характером  процесса 
радиоактивного  распада.  Точность  измерения  истинного  среднего 
значения называют статистической точностью. 

Отметим,  что  по  своему  смыслу  случайная  погрешность, 

определяющая  статистическую  точность  измерения,  отличается  от 
случайной  погрешности,  связанной  с  несовершенством  органов 
чувств 

человека, 

флуктуацией 

(колебанием) 

параметров 

измерительной  аппаратуры  и  т.д.  В  этом  разделе  рассматривается 
только  статистическая  точность  измерения.  Понятия  истинного 
среднего  значения  и  случайной  погрешности  используются  для 
количественной характеристики любых ядерных превращений. 

Излучения  –  продукт  ядерных  превращений,  поэтому  на 

интенсивность  излучения  переносится  вероятностный  характер 
самих  ядерных  превращений.  Следовательно,  любой  «постоянный» 
поток частиц всегда немного флуктуирует (колеблется) вблизи своего 
истинного  среднего  значения.  Задачей  регистрации  излучения  и 
является определение истинного среднего значения потока частиц. 

Статистическая  точность  регистрации  излучения  позволяет 

использовать  выводы  теории  вероятности  для  оценки  погрешности 
нескольких (и даже одного) результатов эксперимента. 

Теория  вероятностных  процессов предсказывает, что вероятность 

получения  при  регистрации  излучения  любого  числа  частиц  п 
подчиняется распределению Пуассона: 

 





0

0

exp

!

n

n

n

n

w

n



















(15.13) 

где w (n) — вероятность появления n-частиц за время t. 
Максимум  вероятности  w

макс

  в  распределении  Пуассона  (рисунок 

208 

15.1)  находится  при  значении  п=п

0

.  Чтобы  найти  значение, 

необходимо  проделать  многократные  измерения  п  в  одинаковых 
условиях, построить распределение Пуассона, найти число частиц  п, 
соответствующее  максимуму  этого  распределения,  и  принять  его  за 
истинное среднее значение п

0

. 

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

20 

16 

12 

8 

4 

24 

28 

32 

n 

w 

Рисунок 15.1 – Распределение Пуассона 

Однако в распоряжении экспериментатора обычно имеется только 

одно  или  несколько  результатов  измерений.  По  этим  результатам 
измерении  невозможно  построить  распределение  Пуассона  и  найти 
истинное  среднее  значение  п

0

.  Допустим,  что  экспериментатор 

сделал только одно измерение. Какова статистическая точность этого 
измерения,  результат  которого  принимается  за  истинное  среднее 
значение?  Иначе  говоря,  насколько  отличается  результат  одного 
измерения  п  от  истинного  среднего  значения  п

0

?  Согласно  теории 

ошибок  среднеквадратичная  погрешность  результата  п  численно 
равна 

n

. Следовательно, 

n

n

n





0

(15.14) 

Запись  показывает,  что  с  вероятностью  0,68  истинное  среднее 

значение  п

0

  не  отличается  от  значения  n  больше,  чем  на 

n

. 

Относительная статистическая точность одного измерения 

 

n

n

1





(15.15) 

С увеличением п статистическая точность измерения улучшается, 

а значение δ(n) стремится к нулю. По заданному значению δ(n) легко 

209 

оценить количество отсчетов детектора, которое необходимо набрать 
при измерении. Например, задана относительная точность измерения 
потока частиц δ(n)=0,01. Из формулы (15.15) n=10

4

 отсчетов. Таким 

образом,  независимо  от  времени  измерения  для  получения 
статистической  погрешности  одного  измерения  в  1  %  необходимо, 
чтобы  детектор  зарегистрировал  10

4

  частиц.  Соответственно  для 

погрешности  0,1%  п  =  10

6

  отсчетов,  для  погрешности  3%  n=10

3

отсчетов и т. д. Пусть теперь экспериментатор сделал т измерений в 
одинаковых условиях и получил т значений п

i

 (i=l, 2,...,m). Согласно 

распределению  Пуассона  существуют  два  результата  n,  вероятности 
появления  которых  одинаковы.  Эти  результаты  расположены 
симметрично относительно истинного среднего значения п

0

. Так как 

при большом числе т измерений отклонение значений n

i

 от значения 

n

0

  равновероятно,  то  ближе  всего  к  истинному  среднему  значению 

будет среднее: 









n

i

i

n

m

n

1

1

(15.16) 

Погрешность  среднего  значения  n   характеризуется  так  же, как и 

для  случая  действительных  величин,  среднеарифметической  Δ  и 
стандартной ε погрешностями: 

m

n

m

i

i











1

(15.17) 

 

















m

i

i

m

m

n

1

2

1



(15.18) 

210 

Список литературы 

1  В.П.Антонов.  Уроки  Чернобыля:  радиация,  жизнь,  здоровье.  – 

Киев, 1989. 112 с. 

2  Радиация.  Дозы,  эффекты,  риск.  Перевод  с  английского  Ю.А. 

Банникова – М., “Мир”, 1990.80 с. 

3  Б.М.Яворский,  А.А.Детлаф.  Справочник  по  физике.  –  М., 

Наука, 1965. 848 с. 

4  Последствия  ядерной  войны:  Физические  и  атмосферные 

эффекты, Пер. с англ. – М., Мир, 1988. 392 с. 

5  Международный  Чернобыльский  проект.  Оценка  радиоло-

гических  последствий  и  защитных  мер.  Доклад  международного 
консультативного комитета. – М., ИЗДАТ, 1991. 96 с. 

6  А.М.Люцко.  Фон  Чернобыля.  –  Минск,  “Белорусская советская 

энциклопедия” им. П.Бровки, 1990. 68 с. 

7  В.И.Иванов.  Курс  дозиметрии.  4-е  издание  переработанное  и 

дополненное. – М., Энергоатомиздат, 1988. 400 с. 

8  Б.П.Голубев. 

Дозиметрия  и  защита  от  ионизирующих 

излучений. – М., Энергоатомиздат. 462 с. 

9  Вредные  химические  вещества.  Радиоактивные  вещества. 

Справочник. Под общей редакцией Л.А.Ильина. – Л.,”Химия”, 1990. 
464с. 

10 Методика 

крупномасштабного 

агрохимического 

и 

радиологического  обследования  почв  сельскохозяйственных  угодий 
республики  Беларусь  /  И.М.  Богдевич,  В.В.  Лапа,  В.В.  Барашенко и 
др.  –  Белорус.  науч.  исслед.  ин-т  почвоведения  и  агрохимии.  – 
Минск, 1992. – 44 с.