Файл: Теория игр.pdf

Введение

Проблема выполнения различных вычислений была актуальна во все времена. По мере развития общественно-экономических отношений усложнялись поставленные задачи, которые для своего решения требовали разработки новых методов вычислений. На смену простейшим арифметическим и геометрическим вычислениям пришли алгебраические и тригонометрические вычисления. Организация современного производства требует не только наличия современных станков и оборудования, но и разработки новых технологических процессов и современных методов управления производством. Для решения каждой из поставленных задач разрабатываются математические модели, анализируя которые удается найти наилучшее решение поставленной задачи. Создание математической модели – сложная кропотливая работа, которая в современных условиях под силу коллективам разработчиков. Для создания математической модели одного и того же объекта различные коллективы могут использовать различный математический аппарат. После создания математической модели специалистами-аналитиками за дело принимаются специалисты-программисты, которые реализуют созданную модель в виде программных кодов. Далее с математической моделью работают специалисты-практики. Целенаправленно воздействуя на модель, они изучают ее поведение и подбирают оптимальный режим работы для реального объекта. Одной из таких моделей является игровая модель и поиск стратегий поведений в условиях полной или частичной неопределенности. В очень редких (исключительных) случаях для игровых моделей можно определить количественную оценку или указать оптимальное решение. В игровых моделях не ставится задача найти какое-то числовое решение, а требуется лишь или очертить область возможных решений, или предоставить некоторые дополнительные сведения о возможном развитии событий и рекомендовать правила поведения.

Обзор литературы

Для написания курсовой работы по дисциплине «Математические методы» на тему «Теория игр» я воспользовался следующей литературой:

-« Математические методы в программировании »: / Агальцов В.П., Волдайская И.В. Учебник: – М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2006. – 224с.: ил. – (Профессиональное образование). – (Учимся программировать).

-Лекции по дисциплине «Математические методы».

-«Математические методы: Учебник» / Партика Т.Л., Попов И.И. – М: ФОРУМ: ИНФРА, 2005.

-«Математическое программирование» / Костевич Л., издательство «Новое знание», 2003.

---

В одной из книг например «Математические методы в программировании»: / Агальцов В.П., Волдайская И.В. Учебник: – М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2006 написано понятней, если сравнивать с другими книгами, которыми я пользовался. Но в этой книге есть темы, которые отсутствуют или объяснены без теории, а на конкретном примере и тогда сложнее понять, о чем идет речь данной теме. Тогда я обращаюсь к другим источникам литературы в них, конечно, есть теория, но она сложнее и более углубленная. В одном из источников мне понравилась тема «Игры с природой (без противодействия)» и я решил изучить ее самостоятельно.

1. Основные понятия теории игр

Цель теории игр – выработка рекомендаций для различного поведения игроков в конфликтной ситуации, т.е. выбор оптимальной стратегии для каждого из них. Различают два больших класса игровых моделей: модели без противодействия (или их еще называют «играми с природой») и модели с противодействием (действия конкурентов на рынке).

Игры с противодействием часто называют конфликтными ситуациями, которые широко распространены в обществе. Например, конкурентная борьба в экономике, в спортивных соревнованиях, состязание сторон в ходе судебного заседания и т.д. Игровая модель, в отличии от конфликтной ситуации, строится по определенным законам, а игроки придерживаются определенных правил.

Развитие игры во времени представляется как ряд последовательных «ходов». Ходы могут быть сознательные и случайные. Случайный ход – результат, получаемый не решением игрока, а каким либо механизмом случайного выбора (покупательский спрос, задержка с поставкой материалов и т.п.). Сознательный ход – выбор игроком одного из возможных вариантов действия (стратегий) и принятие решения о его осуществлении.

Конфликтная же ситуация, строго говоря, развивается спонтанно.

Участниками игры (конфликтной ситуации) могут быть минимум два человека (парная игра) или несколько человек (множественная игра). Игра развивается по оговоренным правилами. Игроки по очереди делают свои ходы. Естественно, перед каждым ходом игрок может или сохранить предыдущую стратегию или применить новую стратегию. Если игрок при выборе очередного хода придерживаются каких-либо правил, то такая игра носит название стратегической. Однако игрок во время игры может менять вариант своего поведения (но не правил), т.е. сменить стратегию.

---

Возможные варианты (исходы) игры сводятся в прямоугольную таблицу (табл. 1.1) – платежную матрицу, в которой строки соответствуют различным стратегиям игрока А, столбцы – стратегиям игрока В, ai j называется выигрыш первого игрока.

Таблица 1.1

Стратегии	В1	В2	…	В n
А1	a11	a12	…	a1n
А2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
А m	am1	am2	…	amn

Если игра содержит ограниченное количество стратегий, то такая игра называется конечной. В противном случае – бесконечной.

Стратегия, приносящая игроку максимальный выигрыш, называется оптимальной. Для нахождения оптимальной стратегии необходимо проанализировать все возможные стратегии и рассчитывать на то, что разумный противник на каждую из них будет отвечать такой, при которой выигрыш игрока А минимален. Обычно минимальные числа в каждой строке обозначаются α i и выписываются в виде добавочного столбца матрицы (табл. 1.2). В каждой строке будет свое α i = min aij. Предпочтительной для игрока А является стратегия, при которой α i обращается в максимум, т.е.

α = max (min aij),

где α – гарантированный выигрыш (максимин).

Если придерживаться максиминной стратегии, то при любом поведении стороны В (конкурента) гарантирован выигрыш, во всяком случае не меньше α. Поэтому α называют также ценой игры – тот гарантированный минимум, который можно обеспечить при наиболее осторожной (перестраховочной) стратегии.

Очевидно, что аналогично распределения можно провести и для конкурента В, который должен рассмотреть все свои стратегии, выделяя для каждой из них максимальные значения выигрыша:

β = min (max aij),

которое дает минимаксный выигрыш, или минимакс.

Такая β – стратегия – минимаксная, придерживаясь которой стороне В гарантировано, что в любом случае она проигрывает не больше β, поэтому β называют верхней ценой игры.

Если α = β = С, то число С называют чистой ценой игры или седловой точкой.

Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе пары максиминной и минимаксной стратегий, которые являются оптимальными, так как любое отклонение от этих стратегий приводит к уменьшению выигрыша первого игрока и увеличению проигрыша второго игрока по сравнению с ценой игры С.

Таблица 2

В1	В2	…	В n	α i
А1	a11	a12	…	a1n	α 1
А2	a21	a22	…	a2n	α 2
…	…	…	…	…	…
А m	am1	am2	…	amn	α i
βi	β1	β2	…	βn

---

Наиболее полно разработан математический аппарат игр с нулевой суммой, когда выигрыш одного игрока равен проигрышу другого игрока, т.е. общая сумма выигрыша всех игроков равна нулю.

При построении игровых моделей предполагается, что каждый из игроков будет выбирать только лучшую (для себя) стратегию.

Результатом исследования игровой модели является определение наиболее осторожной стратегии поведение игрока, либо обеспечение гарантированного выигрыша (как правило, минимального), либо сведение к минимуму проигрыша. Риски при получении большого выигрыша не учитываются и не оцениваются.

Таким образом, результаты исследования игровых моделей указывают на оптимальную стратегию поведения (гарантированный выигрыш), а какой стратегией воспользуется игрок в реальной жизни – дело самого игрока.

2. Игры с противодействием и нулевой суммой

Предположим, что имеются две конкурирующие фирмы, выпускающие однотипные товары. Для обеспечения наибольшей прибыли обе фирмы разработали стратегии реализации товара. В общем случае это можно записать в виде матрице (табл. 1.1).

Пусть фирма А разработала четыре стратегии, а фирма В – пять стратегий.

То есть фирма А — А1; А2; А3; А4 Аi, где i = 1,4.

Фирма В соответственно — В1; В2; В3; В4; В5 Вj, где j = 1,5.

Каждая фирма от реализации своей стратегии предполагает получить какой-то доход (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Стратегии	В1	В2	В3	В4	В5
А1	5	8	7	5	4
А2	1	10	5	5	6
А3	2	4	3	6	2
А4	3	5	4	4	3

Если фирма А выберет первую стратегию, то минимальный доход составит 4. Минимальный доход от второй стратегии – 1; от третьей – 2; от четвертой – 3. У фирмы В имеется в наличии пять стратегий. Использование первой стратегии обернется убытком в 1 единицу; второй (убыток) – 4; третьей – 3, четвертой – 4 и пятой – 2.

На первый взгляд фирма А должна избрать вторую стратегию (А2), чтобы получить выигрыш 10, но в ответ вторая фирма изберет первую стратегию (В1) и выигрыш фирмы А составит только 1.

Поэтому цель первой фирмы можно сформулировать так: получить максимальный доход из возможных минимальных. Введем в табл. 2.1 дополнительную строку и дополнительный столбец, в которых укажем возможные минимальные прибыли и максимальные (табл. 2.2).

---

Таблица 2.2

Стратегии	В1	В2	В3	В4	В5	Минимальная прибыль фирмы А
А1	5	8	7	5	4	4
А2	1	10	5	5	6	1
А3	2	4	3	6	2	2
А4	3	5	4	4	3	3
Максимальный убыток фирмы В	5	10	7	6	6

Исходя из данных (табл. 2.2) фирме А надо придерживаться стратегии А1, а фирме В – стратегии В1. Таким образом, гарантированный минимальный доход фирмы А составит 4, а минимально возможный убыток, который понесет фирма В, составит 5 (минимально возможный проигрыш).

Минимальный гарантированный выигрыш называется нижней ценой игры. При плохой игре фирмы В выигрыш может быть и большим.

Минимально возможный проигрыш называется верхней ценой игры.

Для нашего примера нижняя цена игры составляет 4 (минимальный гарантированный выигрыш фирмы А), а верхняя цена игры – 5 (минимально возможный проигрыш фирмы В). Приведенные выше рассуждения хороши, если конкурирующая фирма заранее не знает, как себя поведет противник. Если конкурирующая фирма ознакомлена с планами конкурента, то она может выбрать другую стратегию (отличную от осторожной стратегии) и получить больший выигрыш (доход).

Таким образом, приведенные осторожные стратегии являются неустойчивыми по отношению к дополнительной информации.

На практике иногда случается, что нижняя цена игры равна верхней цене игры. В этом случае говорят об устойчивых стратегиях игроков (конкурирующих фирм) или о задачах с седловой точкой. Задача с седловой точкой представлена в (табл. 2.3).

Таблица 2.3

Стратегии	В1	В2	В3	В4	В5	Минимальная прибыль фирмы А
А1	4	8	7	5	4	4
А2	1	10	5	5	6	1
А3	2	4	3	6	2	2
А4	3	5	4	4	3	3
Максимальный убыток фирмы В	4	10	7	6	6

Стратегии обоих противников в задачах с седловой точкой называются оптимальными и не зависят от дополнительно полученной информации. В специальной литературе доказано, что если при исследовании игровой модели известна вся предыстория (все ранее сделанные ходы), то существуют оптимальные (чистые) стратегии поведения игроков (конкурентов).

---