Добавлен: 05.07.2023
Просмотров: 81
Скачиваний: 2
Если игровая задача не имеет седловой точки, то на практике конкурирующие фирмы (игроки) используют смешанные стратегии, т.е. попеременно используют две или более стратегий. В этом случае использование фирмой А нескольких стратегий можно записать как сумму вероятностей использования каждой стратегии Sa= p1+ p2+ …+ pm .
Соответственно, использование нескольких стратегий фирмой В можно записать Sb= q1+ q2+ …+ qn. Поэтому в общем случае исследование игровой модели сводится к определению вероятностей использования конкретных стратегий каждой фирмой (игроком).
3. Графический метод решения игровых задач с нулевой суммой
Суть графического метода состоит в том, что из матрицы удаляют дублирующие и поглощаемые строки и столбцы. Дублирующими называют полностью одинаковые строки или столбцы. Доминирующей строкой называется такая строка, которая содержит элементы, большие или равные соответствующим элементам другой строки, называемой поглощаемой. Доминирующим столбцом называется такой, который содержит элементы, меньше или равные соответствующим элементам другого столбца, который называется поглощаемым.
Воспользуемся табл. 2.1.
Строка (стратегия) А1 является доминирующей по отношению к строке (стратегии) А4, так как содержит элементы, большие соответствующих элементов строки А4. Соответственно строка А4 является поглощаемой и из дальнейшего рассмотрения удаляется (табл. 3.1).
Таблица 3.1
Первый шаг упрощения таблицы
|
Стратегии |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 |
|
А1 |
5 |
8 |
7 |
5 |
4 |
|
А2 |
1 |
10 |
5 |
5 |
6 |
|
А3 |
2 |
4 |
3 |
6 |
2 |
Первый столбец является доминирующим по отношению ко второму, третьему и четвертому столбцам (поглощаемым). Поступаем аналогично (табл. 3.2).
Таблица 3.2
Второй шаг упрощения таблицы
|
Стратегии |
В1 |
В5 |
|
А1 |
5 |
4 |
|
А2 |
1 |
6 |
|
А3 |
2 |
2 |
Еще раз рассматриваем строки. Первая строка поглощает третью строку. Поглощаемые строки (столбцы) содержат самые плохие стратегии. Окончательно получим (табл. 3.3).
Таблица 3.3
Третий шаг упрощения таблицы
|
Стратегии |
В1 |
В5 |
|
А1 |
5 |
4 |
|
А2 |
1 |
6 |
Вероятность использования первой фирмой первой стратегии обозначим через p1. Тогда вероятность использования второй стратегии первым игроком будет p2 = 1- p1. Ожидаемый выигрыш фирмы А от применения
(3.1)
вторым игроком первой стратегии составит:
Аналогичным способом получим ожидаемый выигрыш фирмы А от применения вторым игроком:
(3.2)
В выражения (3.1) и (3.2) подставим конкретные значения.
На оси х отложим две точки 0 и 1. Через эти точки проведем прямые линии, параллельные оси у. Затем в первое выражение подставим 0 вместо p1, а потом – единицу. И по двум точкам построим прямую линию.
Аналогично построим вторую прямую линию. Пересечение двух прямых линий и даст решение задачи (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Графический способ определения стратегий фирмы А
4p1 + 1= — 2p1 + 6
4p1 + 2p1 = — 1 + 6
6p1 = 5
p1 = 0,83
Итак, вероятность использования первой стратегии фирмой А составляет 0,83 (p 1 = 0,83), а второй стратегии p2 = 1 – 0,83 – соответственно 0,17 (p 2 = 0,17).
Аналогично определим оптимальную стратегию поведения фирмы В:
Пусть у1 – вероятность выбора второй игрой 5 стратегией, у2 — 6 стратегией. (p4 + p5 = 1, p5 = 1- p4)
(a11 – a12) · у1 + a12 = (5 – 4) у1 + 4 = у1 + 4;
(a21 – a22) · у1 + a22 = (1 – 6) у1 + 6 = -5 у1 + 6.
Рис. 3.2. Графический способ определения стратегий фирмы В
у1 + 4 = -5у1 + 6
6 у1 = 2
у1 = 0,33
Вероятность использования первой стратегии фирмой В составляет 0,33 (у 1 = 0,33), а второй стратегии у 2 = 1- 0,33 – соответственно 0,67 (у 2 = 0,67).
4. Сведение задач теории игр к задачам линейного программирования
Предположим, что цена игры положительна (u > 0). Если это не так, то согласно свойству 6 всегда можно подобрать такое число с, прибавление которого ко всем элементам матрицы выигрышей даёт матрицу с положительными элементами, и следовательно, с положительным значением цены игры. При этом оптимальные смешанные стратегии обоих игроков не изменяются.