Файл: Пирамида и усеченная пирамида.pptx

ПИРАМИДА И УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА

Выполнили учащиеся группы №1-ИСП: Никита Степанов, Владислав Алексеев, Дарья Сапун, Денис Камсков, Олег Уханёв.

А1

А2

Аn

Р

А3

Многогранник, составленный из

n-угольника А1А2…Аn

n треугольников, называется пирамидой.

Вершина

Н

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды

n-угольная пирамида.

Многоугольник

А1А2…Аn – основание пирамиды

Треугольники А1А2Р, А2А3Р и т.д.

боковые грани пирамиды

Отрезки А1Р, А2Р, А3Р и т .д.

боковые ребра

Треугольная пирамида – это

тетраэдр

С

А

В

S

S

Четырехугольная

пирамида

Н

Н

Пятиугольная

пирамида

А1

А2

Аn

Р

А3

Н

Н

Шестиугольная

пирамида

Н

Пирамида называется правильной, если ее основание- правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину с центром основания, является ее высотой.

Центром правильного многоугольника называется центр вписанной (или описанной около него окружности).

Докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Н

А1

А2

А3

А4

А5

А6

Р

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Н

А1

А2

А3

А4

А5

А6

Р

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Н

А1

А2

А3

А4

А5

А6

Р

А1

А2

Аn

А3

Р

Н

Усеченная пирамида

В1

В2

В3

Вn

A1A2…AnB1B2…Bn

А1

А2

Аn

А3

Правильная усеченная пирамида

В1

В2

В3

Вn

└

h

└

Виды пирамид

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника — основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, — вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Теория

---

Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.

Высота боковой грани, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

УСЕЧЁННАЯ ПИРАМИДА

Плоскость параллельная основанию пирамиды, разбивает её на два многогранника. Один из них является пирамидой, а другой называется усечённой пирамидой.

Усеченная пирамида – это часть полной пирамиды, заключенная между её основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию данной пирамиды

ОСНОВАНИЯ

А1

А2

А4

А3

В1

В3

В4

В2

В5

А5

С

Н

• Многоугольники А1А2А3А4А5 и В1В2В3В4В5 - нижнее и верхнее основания усечённой пирамиды
• Отрезки А1В1, А2В2, А3В3… - боковые ребра усечённой пирамиды
• Четырёхугольники А1В1В2А2, А2В2В3А3 … - боковые грани усечённой пирамиды. Можно доказать, что все они являются трапециями.
• Отрезок СН – перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки верхнего основания к нижнему основанию – называется высотой усечённой пирамиды.

А1

А2

А4

А3

В1

В3

В4

В2

В5

А5

a

b

Р

Докажем, что боковые грани

являются трапециями.

Рассмотрим четырехугольник А2В2В3А3.

1. α|| β

(РА2А3) ∩ α значит А2А3||В2В3

• (РB2B3) ∩ β
• 2. А2Р ∩ А3Р, значит А2В2 || А3В3

Т.e. А2В2В3А3 – трапеция по определению

Аналогично доказывается и про остальные боковые грани.

ПРАВИЛЬНАЯ УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА

• Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.
• Основания - правильные многоугольники .
• Боковые грани – равные равнобедренные трапеции.
• Высоты этих трапеций называются апофемами.

---

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Найдем площадь одной из граней правильной n-угольной усечённой пирамиды.

α2

α1

h

Т.к. эта усечённая пирамида правильная, то

Площадь боковой поверхности

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ УСЕЧЁННОЙ ПИРАМИДЫ

Площадью полной поверхности пирамиды (Sполн) пирамиды называется сумма площадей всех её граней: основания и всех боковых граней.

Площадью боковой поверхности (Sбок) пирамиды называется сумма площадей её боковых граней.

Sполн.усеч .= Sбок + Sверхн.осн. + Sнижн.осн.

Пирамиды древности

Пирамиды в природе

Пирамиды в жизни и в быту человека

Перевернутая пирамида в Братиславе

А вот в Братиславе уже много лет существует перевернутая пирамида. Правда, она не подземная, а надземная. В ней расположен офис Национального радио Словакии.

Пирамидальная библиотека Book Mountain + Library Quarter в Нидерландах

Как в древнем мире пирамиды были одним из чудес света, как в голландском городке Спейкениссе пирамидальная библиотека является самым удивительным, большим и необычным сооружением всего этого населенного пункта. Это целый квартал, где можно набраться знаний и отдохнуть от суеты.

Пирамида – концертный зал в Казани

Одним из современных символов Казани можно назвать концертный зал Пирамида, выполненный в соответствующей форме и открытый в 2002 году.

ПИРАМИДА И УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА

Выполнили учащиеся группы №1-ИСП: Никита Степанов, Владислав Алексеев, Дарья Сапун, Денис Камсков, Олег Уханёв.

---