Файл: Основные действия над матрицами Сложение матриц.docx

Суммой двух матриц A и B одних и тех же порядков m×n называется матрица C тех же порядков m×n, элементы c_ij которой равны

c_ij=a_ij+b_ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...n).

Для обозначения суммы двух матриц используется запись:

C=A+B.

Из определения сложения матриц непосредственно следует, что эта операция обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:

A+B=B+A.
(A+B)+C=A+(B+C).

Здесь A, B, C произвольные m×n матрицы.

Примеры сложения матриц

Рассмотрим пример сложения следующих двух матриц:

В результате сложения получим следующую матрицу:

где c₁₁=a₁₁+b₁₁, c₁₂=a₁₂+b₁₂, c₁₃=a₁₃+b₁₃, c₂₁=a₂₁+b₂₁, c₂₂=a₂₂+b₂₂, c₂₃=a₂₃+b₂₃.

Рассмотрим следующий численный пример:

Сумма матриц A+B будет:

Умножение матриц

Произведением двух матриц A порядка m×n и B порядка n×k называется матрица C такая, что

	n
c_ij=	∑	a_iq·b_qj	(i=1,2,...,m; j=1,2,...k),
	q=1

где c_ij элементы матрицы C стоящие на пересечении i-ой строки и j-го столбца.

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись

C=A·B или C=AB.

Из сформулированного выше определения вытекает, что для умножения матрицы A на матрицу B необходимо, чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B.

Операция нахождения произведения матрицы A на матрицу B называется умножением этих матриц.

Из сформулированного выше определения следует,что эта операция обладает следующими свойствами:

(AB)C=A(BC).
(A+B)C=AC+BC.
A(B+C)=AB+AC.
(αA)B=A(αB)=α(AB)=(AB)α.

Здесь α вещественное число.

Пример умножения двух матриц

Пусть заданы матрица A размера 2×3 и матрица B размера 3×3.

Тогда

где

c₁₁=a₁₁b₁₁+a₁₂b₂₁+a₁₃b₃₁, c₁₂=a₁₁b₁₂+a₁₂b₂₂+a₁₃b₃₂, c₁₃=a₁₁b₁₃+a₁₂b₂₃+a₁₃b₃₃, c₂₁=a₂₁b₁₁+a₂₂b₂₁+a₂₃b₃₁, c₂₂=a₂₁b₁₂+a₂₂b₂₂+a₂₃b₃₂, c₂₃=a₂₁b₁₃+a₂₂b₂₃+a₃₂b₃₃.

Умножение матрицы в общем случае не обладает свойством коммутативности:

AB≠BA.

Пример:

Если AB=BA, то матрицы A и B называются коммутативными.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы A на вещественное число β называется матрица C, элементы которой равны

c_ij=βa_ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...n).

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C=βA или С=Aβ. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Из определения умножения матрицы на число следует, что эта операция обладает следующими свойствами:

(αβ)A=α(βA)
α(A+B)=αA+αB.
(α+β)A=αA+βB.

Примеры умножения матрицы на число

Пусть задана следующая матрица порядка 2×3:

Умножим матрицу A на число f. Получим следующую матрицу:

Рассмотрим численный пример.

Умножив число 4 на матрицу

получим:

Транспонированная матрица

Пусть

(i=1,2,...,m; j=1,2...,n). Транспонированной по отношению к A называется матрица

(p=1,2,...,n; q=1,2...,m), где b_pq=a_qp (p=1,2,...,n; q=1,2...,m).

Для обозначения транспонированную к A матрицу используют запись A^T.

Для построения транспонированной матрицы достаточно взять в качестве столбцов − соответствующие строки исходной матрицы. Например:

Свойства транспонированных матриц

(A^T)^T=A.
Если матрицы A и B одинакового размера, то (A+B)^T=A^T+B^T.
Если определено произведение AB (т.е. количество строк A равен количеству столбцов B ), то (AB)^T=B^TA^T.
(βA)^T=βA^T, где β - некоторое число.
Если A квадратная матрица, то определитель исходной и транспонированной матриц равны: det A^T=det A.
Разность матриц
Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством
C=A+(-1)B.
Для обозначения разности двух матриц используется запись:
C=A-B.
Степень матрицы
Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:
A⁰=E,
где E-единичная матрица.
Из сочетательного свойства умножения следует:
где p,q- произвольные целые неотрицательные числа.
Симметричная (Симметрическая) матрица
Матрица, удовлетворяющая условию A=A^T называется симметричной матрицей.
Для симметричных матриц имеет место равенство:
a_ij=a_ji; i=1,2,...n, j=1,2,...n