Файл: 1. Решение уравнений с одной переменной 3.docx

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

(ТУСУР)

Кафедра компьютерных систем в управлении и проектировании
(КСУП)

Отчёт по контрольной работе № 2

по дисциплине

«Вычислительная математика»

Томск – 2021

Оглавление

1. Решение уравнений с одной переменной

1. Задание

Написать программу отделения корней и их уточнения одним из нижеперечисленных методов:

1. 
   методом дихотомии;
   
2. 
   методом хорд;
   
3. 
   методом золотого сечения;
   
4. 
   методом Ньютона;
   
5. 
   методом итераций;
   
6. 
   комбинированным методом
   

Входные данные:

• 
  функция f(x) и её первая и вторая производные (для метода Ньютона, итераций и комбинированного метода);
  
• 
  интервал [a, b];
  
• 
  точность по аргументу и по функции ε₁, ε₂.
  

Выходные данные:

• 
  корни ξi, точность;
  
• 
  значения f(ξi);
  
• 
  количество итераций n;
  
• 
  количество вычислений функции f(x);
  
• 
  время счета;
  
• 
  параметр сходимости , где n – порядок сходимости.
  

Вариант 7:

2. Теоретический материал (метод золотого сечения)

Метод золотого сечения относится к интервальным методам (или методам исключения интервалов).

---

Точки деления интервала выбираются таким образом, чтобы выполнялось соотношение между интервалами:



где – золотое сечение, Δ_k = b_k – a_k – длина отрезка.

3. Алгоритм решения

Представим алгоритм поиска нулей в форме последовательного выполнения итераций.

Задаём точки a₁ = a, b₁ = b, номер итерации k = 1.

Шаг 1. Определяем координаты золотого сечения:





Вычисляем точку

Шаг 2. Вычисляем значения функции f(a_k), f(c_k), f(d_k), f(b_k) и проверяем условия:

а) если f(a_k) ·f(d_k) ≤ 0, то a_k+1 = a_k; b_k+1 =d_k;

б) иначе если f(c_k) ·f(b_k) ≤ 0, то a_k+1 = c_k; b_k+1 =b_k;

Вычисляем новое приближение корня . Если , то конец, иначе k = k + 1 и переход на шаг 1.

Скорость сходимости линейная с коэффициентом α = γ – 1.

4. Результаты работы программы

Входные данные	Выходные данные
a = 0	Корень уравнения = 1.11383
b = 2	Точность по аргументу: 0.000733137
eps = 0.001	Точность по функции: 0.000733137
	Количество итераций: 15
	Количество вычислений функции f(x): 45
	Время счёта (мс): 0.00758757
	Параметр сходимости: 0.618034

Входные данные	Выходные данные
a = 2	Корень уравнения = 2.77262
b = 6	Точность по аргументу: 8.17127e-005
eps = 0.0001	Точность по функции: 2.67915e-005
	Количество итераций: 21
	Количество вычислений функции f(x): 63
	Время счёта (мс): 0.00937288
	Параметр сходимости: 0.618034

---

Входные данные	Выходные данные
a = 4	Корень уравнения = 6.43912
b = 8	Точность по аргументу: 4.10606e-007
eps = 0.00001	Точность по функции: 4.81611e-007
	Количество итераций: 32
	Количество вычислений функции f(x): 96
	Время счёта (мс): 0.0107119
	Параметр сходимости: 0.618034

Входные данные	Выходные данные
a = 8	Корень уравнения = 9.31724
b = 12	Точность по аргументу: 2.71445e-011
eps = 1e-10	Точность по функции: 8.23648e-011
	Количество итераций: 52
	Количество вычислений функции f(x): 156
	Время счёта (мс): 0.0160678
	Параметр сходимости: 0.618034

Выводы

В ходе выполнения данной контрольной работы были изучены методы решения уравнений одной переменной, написана реализация алгоритма решения задачи методом золотого сечения на языке программирования C++.

Список использованных источников

1. 
   Бахвалов, Н. С. Численные методы : учеб. Пособие для вузов / Н. С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г. М. Кобельков. – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. – 637 с.
   
2. 
   Мицель, А. А. Вычислительные методы : учеб. Пособие / А. А. Мицель. – Томск : В-Спектр, 2010. – 264 с.
   
3. 
   Мицель, А. А. Практикум по численным методам / А. А. Мицель. – Томск : ТУСУР, 2004. – 196 с.
   
4. 
   Романенко, В. В. Вычислительная математика. Лабораторные работы / В. В. Романенко. – Томск : ТУСУР, 2006. – 114 с.
   
5. 
   Самарский, А. А. Задачи и упражнения по численным методам / А. А. Самарский, П. Н. Вабишевич, Е. А. Самарская. – М. : Эдиториал УРСС, 2009. – 208 с.
   
6. 
   Образовательный стандарт вуза ОС ТУСУР 01–2013. Работы студенческие по направлениям подготовки и специальностям технического профиля. Общие требования и правила оформления [Электронный ресурс] / А. А. Чернышев. – Томск : ТУСУР, 2013. – 57 с. – Режим доступа: https://regulations.tusur.ru/documents/70 (дата обращения: 20.04.2021).
   

---

Приложение А. Листинг программы

#include

#include

#include

#include
using namespace std;
// функция f(x), вариант 7

int fc = 0;

double f(double x)

{

fc ++;

return x * sin(x) - 1;

}
// вычисление корня уравнения методом золотого сечения

void GoldenSection(double a0, double b0, double eps1, double eps2)

{

// значение отношения золотого сечения

const double gama = (sqrt(5) + 1) / 2;

double a = a0, b = b0, c, d, delta;

double x = (a + b) / 2;

bool f1, f2;

int k = 0;

// засекаем время начала вычислений

__int64 freq, start, stop;

QueryPerformanceFrequency((LARGE_INTEGER *)&freq);

QueryPerformanceCounter((LARGE_INTEGER *)&start);

// алгоритм нахождения корня

do {

// шаг 1

delta = b - a;

d = a + delta / gama;

c = a + delta / pow(gama, 2);

// шаг 2

if (f(a) * f(d) <= 0)

b = d;

else

a = c;

x = (a + b) / 2;

// проверяем условия достижения точности

f1 = ((b - a) / 2 < eps1); // по аргументу

f2 = (fabs(f(x)) < eps2); // по значению функции

k ++;

} while (!(f1 && f2));

// засекаем вреия завершения вычислений

QueryPerformanceCounter((LARGE_INTEGER *)&stop);

double t = ((double)(stop - start) / freq) * 1000;

// вывод результатов

cout << "Корень уравнения: " << x << endl;

cout << "Точность по аргументу: " << (b - a) / 2 << endl;

cout << "Точность по функции: " << fabs(f(x)) << endl;

cout << "Количество итераций: " << k << endl;

cout << "Количество вычислений функции f(x): " << fc - 1 << endl;

cout << "Время счёта (мс): " << t << endl;

cout << "Параметр сходимости: " << gama - 1 << endl;

}
int main(int argc, char** argv)

{

setlocale(LC_ALL, "Russian");

double a, b, eps;

cout << "a = "; cin >> a;

cout << "b = "; cin >> b;

cout << "eps = "; cin >> eps;

GoldenSection(a, b, eps, eps);

return 0;

}

---