Файл: Контрольная работа 2 Вариант Проверил доцент, к т. н. Новосибирск, 2023.doc

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

Кафедра высшей математики

Контрольная работа № 2

Вариант 7.

Выполнил:

Проверил:

доцент, к.т.н.

Новосибирск, 2023

Содержание

Задание 1. Кратные интегралы


Однородная пластина имеет форму четырехугольника (см. рисунок). Указаны координаты вершин. С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра масс пластины.



Рисунок 1- Пластина

Решение. Координаты центра масс вычисляются по формуле



Так как пластина однородная, то плотность ????=????????????????????, и



Составим уравнение прямой, ограничивающей область сверху. Для этого достаточно знать две точки ) через которые она проходит:



Координаты точек прямой, ограничивающей область сверху (0,3) и (6,4).

Следовательно, уравнение прямой:



Вычислим площадь пластины:





Вычислим интегралы, которые фигурируют в числителях:





Вычислим первую координату:

---

(Рисунок 2, слева)





Вычислим вторую координату: (Рисунок 2, справа)



Рисунок 2 – Пластина с указанным центром масс

Ответ: координаты центра масс пластины (3,14;1,76)

Задание 2. Дифференциальные уравнения

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Определим тип уравнения. Раскроем скобки:



делим обе части уравнения на :



Данное уравнение является линейным, следовательно, для его решения можно воспользоваться заменой , (метод Бернулли):





Найдём , приравнивая выражение в скобках к нулю:







Найдем , при

---

Теперь, когда найдены оба сомножителя, можно записать общее решение уравнения :



Ответ:

Задание 3. Степенные ряды

Найти область сходимости степенного ряда:



Решение. Интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера:







Ряд сходится при ,



Следовательно, интервал является областью абсолютной сходимости ряда

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:

1. 
   При , степенной ряд преобразуется в числовой знакоположительный:
   

Сравним данный ряд со сходящимся рядом  . Используем предельный признак сравнения.



Получено конечное, отличное от нуля число, значит, при исследуемый ряд сходится.

2. 
   При , степенной ряд преобразуется в числовой знакочередующийся:
   

---

который сходится абсолютно по предельному признаку сравнения:



Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится при .

Ответ: Ряд сходится при 

Задание 4. Приближенные вычисления с помощью разложения функции в ряд

Вычислить с точностью до 0,001 значение определённого интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд:



Решение. Зная разложение в ряд Маклорена экспоненты



запишем разложение :



запишем разложение :



Далее меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд и вычисляем определенный интеграл:



Второй член ряда меньше требуемой точности , поэтому мы отбрасываем его и все последующие. Таким образом,



Ответ: 0,005

Задание 5. Линии и области в комплексной плоскости

По заданным условиям, построить область в комплексной плоскости.



Решение.

По определению,

---

Следовательно, условия принимают вид



Рассмотрим каждое условие, поочерёдно добавляя к уже имеющимся:

вертикальная полоса (Рисунок 3, слева)

горизонтальная полоса (Рисунок 3, справа).

-1 2 2 -1 2 -2 2

Рисунок 3- Точки, удовлетворяющие 1-му и 3-му условиям

Вычислим

---