Файл: Физика Курбатов Илья Андреевич.pptx

Физика

Курбатов Илья Андреевич

kurbatovia@tyuiu.ru

Красный текст не нужно писать, внимательно прочитайте.

В ходе лекций мы будем некоторые формулы как постулировать, так и выводить самостоятельно. Организуйте в конце тетради справку, куда вы будете добавлять итоговые формулы и описание к ним.

Оформите всё так, чтобы формулы сразу бросались в глаза, а по описанию было понятно, когда и как она применяется. Чаще всего это проще сделать с помощью рисунка.

Формулы, которые нужно запомнить и перенести в справку, я отмечаю рамкой.

Почти вся физика требует хороших знаний в математике, как минимум нужно разбираться в производных, дифференциалах и интегралах.

Поэтому я попытаюсь освежить информацию о производных и быть может это позволит вам взглянуть на них под другим углом.

Математическое отступление

Пусть у нас есть некоторая функция (f - function) это значит, что некоторому числу ставится в соответствие число : . Т.е. для каждого числа есть какое то число определяемое зависимостью ). Можем нарисовать эту зависимость:

 

Приращение

В непрерывном ряду чисел , рассмотрим некоторую точку (допустим момент включения секундомера). Ей соответствует число . Также мы хотим рассмотреть другую точку, находящуюся на некотором расстоянии от начальной точки: .

Этой точке также соответствует какое-то число:

 

– это разность между конечным положением и начальным:

и называется приращением (аргумента, координаты и т.д.).

 

Есть противоположное понятие приращению – убыль.

Убыль определяется как разность её начального и конечного значения. Т.е.

Обычно под всегда имеют ввиду приращение.

 

Вернемся к функции:

Можно увидеть, что если есть приращение чисел (аргумента) , то есть и приращение функции:

 

Пример

Сторона квадрата равна . Как изменится его площадь, если сторону увеличили на 1 .

Попробуйте сначала решить самостоятельно

 

Решение

Нам нужно найти приращение площади, при приращении стороны квадрата (не забываем перевести всё к единой системе).

---

Площадь и сторона связаны функцией .

 

Приращение функции (площади):

Подставляем

Ответ: площадь увеличится на

 

А теперь давайте поделим приращения:

Это отношение показывает насколько быстро меняется площадь квадрата при увеличении его стороны.

Если бы мы сразу знали это число, то можно было бы не считать разность квадратов, а получить приращение площади:

Если кто-то помнит со школы понятие производной, он возможно уже понял, как приблизительно получить это число.

 

Площадь и сторона связаны функцией

Найдем производную этой функции:

Подставим

Есть некоторая погрешность, но эта погрешность уменьшается с уменьшением приращения аргумента .

Можете проверить и подставить в задачу .

Теперь мы переходим к дифференциалам, как бесконечно малому приращению

 

Допустим мы хотим оценить скорость изменения функции при изменении аргумента . Но из рисунка видно, что на каждом участке функция меняется с разной скоростью: по мере приближения к точке скорость изменения функции будет изменяться.

 

Дифференциал

Пусть мы хотим оценить скорость изменения функции не на участке, а в некоторой точке (допустим в т. A). Для этого мы уменьшаем так, чтобы т. максимально приблизилась к т. .

 

При , отрезок AB будет к функции .

Когда будет почти ноль, мы уже не сможем отличить прямую AB от функции и это значительно упрощает расчеты, т.к. с прямой работать легче, чем с кривой.

 

Точка, находящаяся на расстоянии от точки A, называется окрестностью точки A.

Бесконечно малое приращение аргумента называется дифференциалом и обозначается как

Также можем обозначить дифференциал функции:

Т.е. приращение функции при бесконечно малом приращении аргумента . Ошибки в выражении нет, изменение функции может быть большим, даже если изменение аргумента было очень маленьким (например, почти вертикальная функция).

 

В математике производную задают следующим образом:

---

Ранее мы рассмотрели вариант попроще и ввели физический смысл производной:

Производная это скорость изменения величины или процесса.

 

Производная

Рассматривая на графике понятие дифференциала, можно увидеть, что по мере приближения точки B к A, линия AB превращается в прямую, касательную к точке.

Если рассмотреть «поближе», то окрестность точки A, можно представить как прямоугольный треугольник:

Тогда геометрический смысл производной:

Производная определяется как тангенс угла наклона , образованного касательной в рассматриваемой точке с горизонтальной прямой:

 

Вернемся к математическому выражению:

и выведем пару табличных выражений:

Найти производную:

 

Найдем производную:

Подставляем

 

Сокращаем:

 

Ещё пример:

Формула разности синусов:

Второй множитель это первый замечательный предел:



Ответ:

 

Рассмотрим вектор . Пусть этот вектор является переменным и его конец «движется» по траектории S.

 

Приращение и дифференциал вектора

Рассмотрим положение этого вектора, через некоторое время – это будет вектор :

Т.е. вектор прошёл путь по кривой MN.

 

Приращение вектора - это вектор который начинается в конце вектора и заканчивается в конце вектора :

Приращение также называют перемещением вектора.

 

Что изменится, если мы рассмотрим бесконечно малое перемещение вектора . Отрезок MN станет малым и будет почти совпадать с перемещением :

Также начальный и исходный вектор будут почти равны:

Угол будет стримиться к нулю, а значит выполняется первый замечательный предел:

Все эти выводы пригодятся нам в дальнейшем.

 

---