Файл: Ахтырский.doc

15 Способы интерполяции сигнала, квантованного по времени.

Квантование может быть по уровню и по времени.

Сообщение – весь набор сведений, поступающий от источника к получателю.

Часть сообщения, которая заранее неизвестна получателю - информация.

Интерполяция – определение значений переменной между двумя соседними точками - отсчетами.

• y₁...y₅ – точки отсчета квантованной функции,

• пунктирная кривая – результат процесса интерполяции.

Квантование по времени – это отдельные отсчеты.

Интерполяция – сплошная линия, процесс, обратный квантованию по времени.

Существуют различные способы интерполяции: простые и сложные.

1. Ступенчатая интерполяция.

2. Линейчатая интерполяция.

3. Квадратичная интерполяция и т.д.

Каждому из способов соответствует на графике определенный отрезок между двумя соседними отсчетами.

Ступенчатая интерполяция.

При ступенчатой интерполяции в промежутках между соседними отсчетами, плавная кривая заменяется горизонтальными отрезками.

Положение этого отрезка определяется положением предыдущего отсчета.

Если отсчеты выбраны достаточно часто, т.е. если Тц невелико, то интерполированная зависимость будет приближаться к исходной плавной кривой.

Достоинство: простота, достаточно помнить один предыдущий отсчет.

Недостаток: большая погрешность интерполяции.

Погрешность ступенчатой интерполяции.

Погрешность ступенчатой интерполяциипоясняется графиком.

Из графика для видно,что погрешность может быть разных знаков.

ст  Y_K - Y_K-1

В начале отсчета ст имеет наименьшее значение, а в конце – наибольшее.

- скорость изменения процесса – тангенс угла наклона касательной к y(t).

Исходя из геометрической интерпретации любого заштрихованного треугольника можно записать:

,

т.е. или

где t – текущее время между t _k+1 и t _k.

t - t_K  Тц

С учетом этого можно написать:

Чтобы получить меньшую погрешность, используют другие способы.

Линейная интерполяция.

Сущность линейной интерполяции – соединяются два соседние отсчета отрезком прямой.

Пунктир – исходная кривая.

Ломаная – результат интерполяции.

Погрешность минимальна вблизи отсчетов, а наибольшее значение находится посередине.

Погрешность значительно меньше, чем при ступенчатой интерполяции.

Погрешность зависит от второй производной.

т.е. погрешность определяется ускорением процесса.

ускорение процесса.

Если процесс меняется с постоянной скоростью, то погрешность отсутствует.

Чтобы осуществить линейную интерполяцию, необходимо знать два соседних отсчета, т.е. она получается более медленная, чем ступенчатая.

Более сложной будет квадратичная интерполяция, в этом случае между двумя различными отсчетами проводится парабола, точность выше, но надо знать уже три отсчета.

Можно провести кривую третьей степени (кубическая интерполяция), при этом точность ещё выше, но процесс сложнее и т.д.

16 Квантование по времени.

Сообщение может быть дискретно и по времени.

Смысл: необязательно непрерывно следить за плавно меняющимся процессом, достаточно осуществить отдельные наблюдения через определенные интервалы времени более или менее протяженные.

Квантование по времени заключается в том, что плавная зависимость процесса во времени заменяется отдельными отсчетами, совпадающими с точками на этой плавной зависимости.

Квантование по времени – переход от непрерывной функции (сплошная кривая y(t) на графике) к решетчатой – точки y₁, y₂, y₃...

Тц – интервал между отсчетами, время цикла, от которого зависит точность квантования.

Чем меньше Тц, тем точнее квантование.

Выбор времени цикла Тц

Выбор величины Тц зависит от плавности кривой. Чем плавнее кривая y(t), тем больше можно выбирать Тц.

Чем меньше Тц, тем экономнее процесс квантования с точки зрения количества информации. Выбрать Т_Ц можно на основе частотного спектра процесса y(t).

Частотный спектр – разложение кривой y(t) в ряд Фурье, т.е. в гармонический ряд. Этот процесс представляется в виде суммы синусоид или косинусоид с разной частотой и амплитудой:

A_k , B_k – амплитуды гармоник, f_k – частоты гармоник.

Понятие о частотном спектре.

Пусть имеется произвольный процесс y(t) – рис.4.

Его можно представить в виде суммы синусоид:

Каждая синусоида А_К sin2_K этой сумме – это гармоника.

Каждая гармоника характеризуется частотой f_K и амплитудой A_K.

Если построить график зависимости амплитуд А_К гармоник от их частот _К (А_К(_K)) – это и будет частотный спектр.

Особенностью частотного спектра практически любого процесса является то, что амплитуды постепенно уменьшаются до уровня А_n , которым можно пренебречь, т. е. существует верхняя граница частотного спектра f_n.

Обозначим её как F_max = f_n

Понятие частотного спектра позволяет свести задачу выбора Tц для

произвольной функции к задаче выбора Tц для синусоиды. С помощью графика рис.6 поясняется, что для одиночной синусоиды квантование по времени имеет верхний предел ( наибольшее значение) Tц равный половине периода синусоиды

=

Tц _n= ; Tц _n-1=;Tц _i=;

Tц ₂=; Tц ₁=

Это следует из того,что для восстановления синусоиды необходимо знать положения ее точек max и min, разделенных по времени на t =.

Для произвольного процесса, т.е., для любой из гармоник - синусоид, входящих в ряд Фурье, образующих функцию y(t) с номером k =0... n можно записать время цикла

Tц_k = ....

Поскольку минимальное Tц будет для k = n и с учетом того ,что f_n=Fmax можно написать:

Tц=

Теорема Ккательникова: Любая непрерывная функция спектр которой ограничен частотой Fmax может быть восстановлена по ее дискретным значениям взатым через интервал1/(|2*Fmax)

17 Квантование по уровню.

Квантование может быть по уровню и по времени.

Сообщение – весь набор сведений, поступающий от источника к получателю.

Часть сообщения, которая заранее неизвестна получателю - информация.

Какая-то непрерывная величина заменяется дискретной, а каждое ее дискретное значение передается затем в виде кода, числа. Это и есть квантование по уровню.

Основные понятия квантования по уровню.

Чем меньше ступеньки, тем точнее квантование, чем больше количества ступеней.

Каждая ступенька – уровень квантования. Число уровней квантованияN связано с  - шагом квантования.

В числителе – диапазон квантования (Y_max - Y_min)

Диапазон выбирается в зависимости от целесообразности.

Обратное соотношение и N.

При квантовании по уровню всегда существует ошибка квантования. Чем меньше , тем меньше ошибка.

 - ошибка квантования. Характер зависимости (х) – пилообразный (рис.2).

Ошибка квантования минимальна, если зависимость(х) симметричная относительно оси x Тогда связь _max  и 