Файл: Лекции по физике.doc

6.2. Уравнение моментов

Предположим, что точка О неподвижна. В случае одной материальной точки, дифференцируя (3), получаем

.

При неподвижной точке О вектор , равный, параллелен и поэтому . Кроме того.

Таким образом . (5)

Э

Рис. 2

. (6)

Моментом силы механической системы относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента силы системы относительно любой точки, выбранной на рассматриваемой оси (рис. 2). Соответственно, моментом импульса относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента импульса относительно любой точки на данной оси.

Можно доказать, что выбор точки на оси влияет на значения моментов импульса иотносительно точки, но не влияет на значения соответствующих проекций моментов на эту ось.

Если мы выбираем прямоугольную систему координат с началом, совпадающим с полюсом, то имеем:

(7)

6.3. Закон сохранения момента импульса

Если система замкнута (т. е. внешних сил нет), то и, следовательно, согласно уравнению (6) векторне изменяется со временем, т.е.. Отсюда вытекает закон сохранения момента импульса, который гласит, что

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК ОСТАЕТСЯ ПОСТОЯННЫМ.

Момент импульса сохраняется и для незамкнутой системы, если сумма моментов внешних сил равна нулю.

В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, т. е. одинаковость свойств пространства по всем направлениям.

Поворот замкнутой системы частиц без изменения их взаимного расположения и относительных скоростей не изменяет механических свойств системы. Движение частиц после поворота будет таким же, каким оно было бы, если бы поворот не был осуществлен.

Наряду с законом сохранения импульса и энергии закон сохранения момента импульса является одним из фундаментальных законов физики. Такой расширенный закон сохранения момента импульса уже не является теоремой механики, а должен рассматриваться как самостоятельный общефизический принцип, являющийся обобщением опытных фактов.

6.4. Движение в поле центральных сил

Если на материальную точку действует сила вида

, (8)

то говорят, что материальная точка находится в поле центральных сил, если начало координат совпадает с центром сил.

Примерами материальных точек в таком поле являются искусственные спутники Земли.

Очевидно, что момент центральных сил относительно центра сил 0 равен нулю. Следовательно, при движении в центральном поле момент импульса материальной точки остается постоянным.

Вектор всегда ортогонален плоскости векторови. Поэтому постоянство направлениясвидетельствует о том, что движение материальной точки в поле центральных сил происходит в одной плоскости.

Материальная точка, движущаяся в поле центральных сил, представляет собой консервативную систему. Поэтому при движении материальной точки сохраняется и полная механическая энергия точки, т. е.

. (9)

Для гравитационного центрального поля большой массы М имеем

. (10)

В этом случае траекторией материальной точки является эллипс, один из фокусов которого совпадает с центром силы, т. е. с положением центра массы М. При E = 0 траекторией частицы является парабола, а при Е > О – гипербола.

Л е к ц и я № 7 . Т в е р д о е т е л о в м е х а н и к е

7.1. Степени свободы. Обобщенные координаты

Положение точки в пространстве можно задать некоторым числом независимых координат, например, тремя координатами х, у, z декартовой системы. Но это можно сделать и иначе. Например, вместо прямоугольных можно взять цилиндрические r, z,  или какие-либо другие координаты. Существенно, однако, что при любом выборе системы координат число независимых координат, требующихся для однозначного определения положения точки, которая может перемещаться в пространстве как угодно, равно трем. Про такую точку говорят, что она обладает тремя степенями свободы.

Пусть материальная точка все время вынуждена находиться на какой-либо заданной поверхности. В этом случае независимыми остаются две координаты, например, х и у. Третья координата может быть вычислена из уравнений связи f(х,у,z) =0. В таких условиях точка обладает двумя степенями свободы.

Если точка может перемещаться только вдоль какой-либо заданной кривой, то число независимых координат, требующихся для определения ее положения, снижается до одного. За координату можно принять, например, расстояние материальной точки от фиксированной точки на кривой, отсчитанной вдоль этой кривой. В таких случаях говорят, что точка обладает одной степенью свободы.

В случае механической системы из n материальных точек, которые могут перемещаться без всяких ограничений, для определения их мгновенного положения надо задать 3п координат. В этом случае говорят, что система обладает 3п степенями свободы.

Часто свобода перемещения материальных точек ограничена. На 3п координат налагаются дополнительные условия, называемые связями. Для однозначного определения положения всех материальных точек системы достаточно знать меньшее число координат. Обозначим его через f. Остальные 3п – f координат могут быть вычислены из уравнений связи.

В качестве независимых координат могут быть использованы любые величины любой размерности

,

заданием которых положение материальных точек системы определяется однозначно. Такие величины называются обобщенными координатами. Обобщенные координаты могут быть выбраны как угодно, лишь бы они в любой момент времени полностью определили положение механической системы. Однако число независимых обобщенных координат f во всех случаях будет одно и то же, и оно равно числу степеней свободы системы.

7.2. Число степеней свободы твердого тела

Абсолютно твердым телом в механике называют идеализированную систему материальных точек, все расстояния между которыми при движении системы не изменяются с течением времени.

Чтобы однозначно определить положение твердого тела достаточно задать положение каких-либо трех точек А, В, С, не лежащих на одной прямой. Положение точек можно задать их прямоугольными координатами

Эти девять координат, однако, не независимы, а связаны тремя соотношениями:

поскольку длины АВ, АС, ВС не изменяются при движении твердого тела. Независимых координат остается только шесть – твердое тело имеет шесть степеней свободы. Отметим, что твердое тело, одна из точек которого неподвижно закреплена, может только вращаться вокруг этой неподвижной точки, имеет три степени свободы. Твердое тело, которое может только вращаться вокруг закрепленной оси, имеет одну степень свободы.

Если же твердое тело может скользить вдоль закрепленной оси и одновременно вращаться вокруг нее, то число степеней свободы равно двум.