Файл: Билеты ответы на экзамен общей физики (Механика).docx

Справедливость теории относительности, как и любой другой физической теории, в конечном счёте проверяется эмпирически. Кроме этого, логическая непротиворечивостьСТО может быть доказана аксиоматически. Например, в рамках группового подхода показывается, чтопреобразования Лоренцамогут быть получены на основе подмножества аксиомклассической механики. Этот факт сводитдоказательствонепротиворечивости СТО к доказательству непротиворечивости классической механики. Действительно, если следствия из более широкой системыаксиомявляются непротиворечивыми, то они, тем более, будут непротиворечивыми при использовании только части аксиом. С точки зрениялогикипротиворечия могут возникать, когда к уже существующимаксиомамдобавляется новая аксиома, не согласующаяся с исходными. В аксиоматическом построении СТО, описанном выше, этого не происходит, поэтому СТО являетсянепротиворечивой теорией.

Геометрический подход

Возможны другие подходы к построению специальной теории относительности. Следуя Минковскомуи более ранней работе Пуанкаре, можно постулировать существование единогометрическогочетырёхмерного пространства-времени с 4-координатами(ct,x,y,z). В простейшем случае плоского пространства метрика, определяющаярасстояниемежду двумя бесконечно близкими точками, может бытьевклидовойилипсевдоевклидовой(см. ниже). Последний случай соответствует специальной теории относительности.Преобразования Лоренцапри этом являются поворотами в таком пространстве, которые оставляют неизменнымрасстояниемежду двумя точками.

Возможен ещё один подход, в котором постулируется геометрическая структура пространства скоростей. Каждая точка такого пространства соответствует некоторой инерциальной системе отсчёта, а расстояние между двумя точками — модулю относительной скорости между ИСО. В силупринципа относительностивсе точки такого пространства должны быть равноправными, а, следовательно, пространство скоростей являетсяоднороднымиизотропным. Если его свойства задаютсяримановой геометрией, то существует три и только три возможности: плоское пространство, пространство постоянной положительной и отрицательной кривизны. Первый случай соответствует классическому правилу сложения скоростей. Пространство постоянной отрицательной кривизны (пространство Лобачевского) соответствуетрелятивистскому правилу сложения скоростейи специальной теории относительности.

Различная запись преобразования Лоренца

Пусть координатные оси двух инерциальных систем отсчёта S и S' параллельны друг другу, (t, x,y, z) — время и координаты некоторого события, наблюдаемого относительно системы S, а (t',x',y',z') — время и координатытого же события относительно системы S'. Если система S' движется равномерно и прямолинейно со скоростью v относительно S, то справедливы преобразования Лоренца:

где c -скорость света. При скоростях много меньше скорости света () преобразования Лоренца переходят впреобразования Галилея:

Подобный предельный переход является отражением принципа соответствия, согласно которому более общая теория (СТО) имеет своим предельным случаем менее общую теорию (в данном случае —классическую механику).

Преобразования Лоренца можно записать в векторном виде, когда скорость систем отсчёта направлена в произвольном направлении (не обязательно вдоль оси x):

где — фактор Лоренца,и— радиус-векторы события относительно систем S и S'.

Следствия преобразований Лоренца Сложение скоростей

Непосредственным следствием преобразований Лоренца является релятивистское правило сложения скоростей. Если некоторый объект имеет компоненты скорости относительно системы S и— относительно S', то между ними существует следующая связь:

В этих соотношениях относительна скорость движения систем отсчёта v направлена вдоль оси x. Релятивистское сложение скоростей, как и преобразования Лоренца, при малых скоростях () переходит в классический закон сложения скоростей.

Если объект движется со скоростью света вдоль оси x относительно системы S, то такая же скорость у него будет и относительно S':. Это означает, что скоростьявляется инвариантной (одинаковой) во всех ИСО.

Замедление времени

Если часы неподвижны в системе , то для двух последовательных событий имеет место. Такие часы перемещаются относительно системыпо закону, поэтому интервалы времени связаны следующим образом:

Важно понимать, что в этой формуле интервал времени измеряетсяодними движущимися часами . Он сравнивается с показанияминескольких различных, синхронно идущих часов, расположенных в системе , мимо которых движутся часы. В результате такого сравнения оказывается, что движущиеся часыидут медленнее неподвижных часов. С этим эффектом связан так называемыйпарадокс близнецов.

Если часы движутся с переменной скоростью относительно инерциальной системы отсчёта, то время, измеряемое этими часами (т. н.собственное время), не зависит от ускорения, и может быть вычислено по следующей формуле:

где при помощи интегрирования, суммируются интервалы времени в локально инерциальных системах отсчёта (т. н. мгновенно сопутствующих ИСО).

Относительность одновременности

Если два разнесённых в пространстве события (например, вспышки света) происходят одновременно в движущейся системе отсчёта , то они будут неодновременны относительно «неподвижной» системы. ПриΔt' = 0 из преобразований Лоренца следует

Если Δx = x₂ − x₁ > 0, то и Δt = t₂ − t₁ > 0. Это означает, что, с точки зрения неподвижного наблюдателя, левое событие происходит раньше правого (t₂ > t₁). Относительность одновременности приводит к невозможности синхронизации часов в различных инерциальных системах отсчёта во всём пространстве.

С точки зрения системы S (лево)

С точки зрения системы S' (право)

Пусть в двух системах отсчёта, вдоль оси x расположены синхронизированные в каждой системе часы, и в момент совпадения «центральных» часов (на рисунке ниже) они показывают одинаковое время.

Левый рисунок показывает, как эта ситуация выглядит с точки зрения наблюдателя в системе S. Часы в движущейся системе отсчёта показывают различное время. Находящиеся по ходу движения часы отстают, а находящиеся против хода движения опережают «центральные» часы. Аналогична ситуация для наблюдателей в S' (правый рисунок).

Постулаты Специальной Теории Относительности (СТО)

Классическая механика Ньютона прекрасно описывает движение макротел, движущихся с малыми скоростями (υ << c). В нерелятивистской физике принималось как очевидный факт существование единого мирового времени t, одинакового во всех системах отсчета. В основе классической механики лежит механический принцип относительности(или принцип относительности Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.Этот принцип означает, что законы динамики инвариантны (то есть неизменны) относительно преобразований Галилея, которые позволяют вычислить координаты движущегося тела в одной инерциальной системе (K), если заданы координаты этого тела в другой инерциальной системе (K'). В частном случае, когда система K' движется со скоростью υ вдоль положительного направления оси x системы K (рис. 7.1.1), преобразования Галилея имеют вид: