Файл: Информатика (Задания 1_1 - 1_8).doc

1.6. Вычисления в цикле по рекуррентным формулам

Задание. Составьте программу суммирования начальных членов заданного ряда при заданном аргументе x, пока абсолютная величина члена ряда не станет меньше E (малая величина, например 0,0000001).

Вычисляйте члены ряда по рекуррентным формулам, которые выведите, анализируя выражение общего члена ряда. Для тестирования программы используйте |x| ≤ 1.

Правильное значение суммы ряда приблизительно равно значению контрольной формулы (см. ниже перечень контрольных формул; номера ряда и номер формулы совпадают). В противном случае для нахождения ошибки проверьте вычисления по шагам, в отладочном режиме, используя удобное значение x = 1.

Пример выполнения задания для пункта № 0 перечня рядов. Обозначим j номер члена ряда. Если x < 1, имеем дело с быстро убывающим рядом, т.е. число суммируемых членов невелико. Тем не менее, можно значительно ускорить суммирование, если свести к минимуму число умножений при получении очередного члена ряда. Вместо возведения в степень (2j –1) будем увеличивать на 2 текущую степень x, а текущее значение знаменателя zn будем получать, умножая предыдущее на два новых сомножителя (2j–3), (2j–2). Кроме x, zn и E, потребуются переменные chis (числитель), slag (член ряда) = chis/zn, Sum (сумма). Ниже дана одна из возможных схем суммирования:

chis = x, zn = 1, slag = x, Sum = 0,

ВЫПОЛНЯТЬ // Строим цикл с постусловием

slag = chis/zn,

Sum = Sum + slag,

j = j+1, chis = –chis · x · x,

zn = zn (2j–3) (2j–2) // chis и slag меняют знак!

ПОКА НЕ СТАНЕТ ИСТИНОЙ |slag| < E.

Схему можно усовершенствовать. Если предусмотреть переменную со значением x², а в цикле вместо j изменять (на 2) переменную со значением 2j, исчезнут еще три умножения при вычислении очередного члена ряда.

В примере использовано разложение в ряд произведения x·cos x. Возможное несовпадение значений x·cos x, Sum — признак ошибки в подготовке и/или построении цикла. Программируя цикл, нужно тщательно выверять исходные значения и порядок записи действий.

---

Перечень бесконечных рядов

0. x – x³/2! + x⁵/4! – x⁷/6! + x⁹/8! – x¹¹/10! ± …

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23. 

24. 

25. 

26. 

27.

28.

29.

30.

Перечень контрольных формул

№	Формула	№			Формула

---

---

1.7. Управление циклом по сложному условию

Выполняя задание, используйте цикл, завершаемый либо после использования 20 заданных значений (0,1; 0,2; 0,3; … ; 2,0) аргумента x заданной функции F(x), либо ранее, при выявлении характерной точки.

Точка x* локального минимума (локального максимума) функции F характеризуется тем, что в достаточно малой ее окрестности все значения функции больше (меньше) F(x*). Признаком прохождения локального экстремума является изменение знака приращения функции: при прохождении максимума — с плюса на минус, а при прохождении минимума — с минуса на плюс. Нуль функции F(x) — это аргумент x**, обращающий функцию в нуль. Для выявления нуля непрерывной функции достаточно найти близкие значения аргумента x < x, такие, что . Тогдаx < x** < x.

Задание. Для выявления характерной точки изменяйте x с шагом 0,1, начиная от точки 0,1 (предел x = 2), вычисляйте F(x) и применяйте соответствующий критерий. Используйте цикл с предусловием или постусловием, заканчивающийся при выявлении искомой точки либо после прохождения 20 указанных значений аргумента x.

В каждом варианте задания указана функция F(x) и две характерные точки; найдите каждую из этих точек.

Варианты задания

1. 1 – e ^x/3/5 +ln (x + 0,1); нуль функции; локальный максимум.

2. e ^–x/7+ln (x+1)+(5x – 3)/(x³ +1); нуль функции; локальный максимум.

3. x² e ^x–2 – arctg (x (x + 2)²); локальный минимум; нуль функции.

4. e^–2x + x² – 3; локальный минимум; нуль функции.

5. sin (3x +1); нуль функции; локальный максимум.

6. 1,5 x² e ^x/20 – 4+ 1; локальный минимум; нуль функции.

7. 3x– π x²; локальный максимум; нуль функции.

8. (x⁴ – 13x² + 25)/π локальный максимум; нуль функции.

9. ; локальный минимум; нуль функции.

10. –x³; локальный максимум; нуль функции.

11. ln x – e ^–x/5 ; локальный минимум; нуль функции.

12. x – e ^–x+2 cos 2x; нуль функции; локальный максимум.

13. x– x³ локальный максимум; нуль функции.

14. 2 – (4 + x³e ^–x)/(x – x² + 1); локальный минимум; нуль функции.

15. cos (x – 2)/(x + 0,2); нуль функции; локальный максимум.

16. 50 (x + 0,2)² e ^{–3x – 1} – 0,5; локальный максимум; нуль функции.

17. /(1,9 + 1,5x²) – 1; нуль функции; локальный максимум.

18. + e ^–x/7 – x³; локальный максимум; нуль функции.

19. / (x² – 2x + 2); нуль функции; локальный максимум.

20. x² – e^2x/x + 14; локальный максимум; нуль функции.

21. 10 e ^–x/3 ln (x + 1,2) – 5; нуль функции; локальный максимум.

22. 1 – /(x – x² + 3); локальный максимум; нуль функции.

23. ; локальный минимум; нуль функции.

24. 2x e ^–x + локальный максимум; нуль функции.

25. /(x² +1); локальный минимум; нуль функции.

26. e ^x/5 – 5x² e ^–x ln x; локальный максимум; нуль функции.

27. 3x– 2x² + 1; локальный максимум; нуль функции.

28. (x⁴ – 7x² + 11)/7; локальный максимум; нуль функции.

29. + e ^{–x (x–1)} – x²/5; локальный максимум; нуль функции.

30. 1– e^x/5+(1/(x+5) +e ^–x) ln (x +1); локальный максимум; нуль функции.

---

1.8. Итерационное вычисление нуля функции F

При решении уравнения F(x) = 0 методом дихотомии переменными являются границы области, в которой находится корень. Исходные границы задают так, чтобы знак функции F на границах был различен. Проверяют знак функции в средней точке x текущей области: точкой x заменяют ту границу, где знак функции такой же. Подобное сокращение вдвое области выполняют многократно, пока ее размер не станет меньше E — допустимой погрешности значения корня. Функция F должна быть непрерывной в области поиска корня.

Совпадение знаков двух величин проверяется просто: только в этом случае произведение величин положительно.

Первые шаги рассмотренного про-цесса показаны на рис. 1.1. На первом шаге заменяется левая граница. Второй шаг приведет к замене правой границы. В цикле реализации шагов требуется ветвление для выбора одной из границ и замены ее. Прогноз числа шагов затруднителен. Обычно мы не знаем число повторений итерационного цикла.

Задание. Найдите корень уравнения F(x) = 0, используя в качестве F(x) заданную формулу из табл. 1.1. Все формулы таковы, что нуль функции F(x) находится между точками a = 0,1 и b = 1.

.

Рис. 1.1

---