Файл: Лекции(3 сем,2 курс).docx

Если – комплексный корень кратностиуравненияс постоянными и действительными коэффициентами, то отделяя в (9) действительные и мнимые части, получаемлинейно независимых действительных решений

Из этого факта и предыдущих утверждений вытекает следующий алгоритм построения фундаментальной системы решений однородного уравнения (1) с постоянными и действительными коэффициентами .

Алгоритм 1.

1) По уравнению (1) составляем характеристическое уравнение , заменив в (1) производныена степени().

2) Найдем корни характеристического уравненияи установим их кратности.

3) Каждому действительному корню кратностипоставим в соответствиелинейно независимых решений

4) Каждой паре комплексно-сопряженных корней кратностисопоставимлинейно независимых решений

5) Объединим все полученные линейно независимые решения. Получим фундаментальную систему решений уравнения (1), состоящую из функций (– порядок уравнения (1)).

Общее решение уравнения (1) имеет вид

где – построенная в алгоритме 1 фундаментальная система решений, а--- произвольные постоянные.

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение , находим его корни и устанавливаем их кратности:

Согласно алгоритму 1 выписываем линейно независимые решения, отвечающие каждому корню:

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид

3. Построение общего решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения

Для неоднородного уравнения

с непрерывными на отрезке коэффициентамии неоднородностьюбыл изложен метод вычисления частного решенияназываемый методом вариации постоянных. После того как ^{найдено} частное решение неоднородного уравнения, его общее решение вычисляется по формуле гдеобщее решение соответствующего однородного уравненияДадим еще один способ вычисления частного решения неоднородного уравнения (11), который применяется и в случае, когда коэффициенты этого уравнения переменные.

Пусть в уравнении (11) все коэффициенты и правая частьнепрерывны на отрезкеи пусть– решение соответствующего однородного уравненияудовлетворяющее начальным условиям

при любом фиксированном значении параметра . Тогда частное решение неоднородного уравнения (21.22) с нулевыми начальными даннымиможет быть записано в виде

Доказательство. Найдем производные функции (13), пользуясь формулой

С учетом начальных условий (12), будем иметь

Следовательно,

так как Таким образом, функция (13) удовлетворяет неоднородному уравнению. Из выписанных выше равенств для производных функции (13) следует, что она удовлетворяет нулевым начальным условиям. Утверждениедоказано.

Пример 3. Найти общее решение неоднородного уравнения

где – постоянная, а– произвольная непрерывная на отрезкефункция.

Решение. Построим сначала общее решение соответствующего однородного уравнения Так как его характеристическое уравнениеимеет два различных комплексно-сопряженных корнято его общее решение имеет вид

Подчиним это решение начальным условиям

Будем иметь

Итак, , значит

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (14) имеет вид

а общее решение этого уравнения запишется в форме

Перейдем теперь к вычислению частного решения неоднородного уравнения (14) с помощью так называемого метода подбора. Оговоримся сразу же, что он применим для уравнений (11) с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью вида

где и– постоянные, аи--- многочлены степениисоответственно. Заметим, что функции вида

где – многочлены, а– постоянные (в общем случае комплексные), называются квазиполиномами (или квазимногочленами). Если выразить в (15) ичерез экспоненты (см. предыдущую лекцию), то (15) можно представить в виде квазиполинома с комплексными коэффициентами. Поэтому функцию (15) будем также называть квазимногочленом. При этом будем считать, что числа идействительные, а числобудем называть спектральным значением квазиполинома (15). Это число играет важную роль при построении частного решения неоднородного уравнения (11).

Алгоритм 2 (метода подбора)

Пусть требуется найти частное решение уравнения

с постоянными коэффициентами и с неоднородностью, являющейся квазимногочленом (15). Для этого надо сделать следующее:

1) составить спектральное значение правой частиуравнения (16);

2) если спектральное значение не является корнем характеристического уравнения

то частное решение следует искать в виде

где и--- многочлены (с неопределенными коэффициентами) степени;

3) если спектральное значение является корнем кратностихаpактеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде

где и– многочлены (с неопределенными коэффициентами) степени;

4) для вычисления неопределенных коэффициентов надо подставить функцию (17) (или (18)) в уравнение (16), сократить его обе части на экспоненту и произвести приравнивание коэффициентов в обеих частях при одинаковыха затем решить полученную линейную систему алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов.