Файл: Лекции(3 сем,2 курс).docx

Замечание 2. Интегралы от элементарных однозначных функций в односвязных областях вычисляются по тем же формулам, что и в действительном анализе. Если же областьнеодносвязна, то это правило может нарушаться. Для вычисления интеграла от многозначной функции указывается, какая именно однозначная ветвь ее берется. Это достигается заданием значения многозначной функции в некоторой точке контура интегрирования. Если контур интегрированиязамкнут, то начальной точкойпути интегрирования считается та, в которой задано значение подынтегральной функции. Рассмотрим примеры (пример взяты из пособия Острая О.В. “Теория функций комплексного переменного”.- Оренбург, 2008).

Пример 3. Вычислить по кривой, соединяющей точки.

Решение. Для параболы имеем, . По формуле (48) .

Пример 4. Вычислить , где – дуга окружности,.

Решение. Положим ,. Тогда, и по формуле (49) находим:

.

Пример 5. Вычислить .

Решение. Так как подынтегральная функцияаналитична всюду, то по (50) найдем:.

Пример 6. Вычислить.

Решение. Функции и аналитичны всюду. По формуле (51) получим:

.

Пример 7. Вычислить ,.

Решение. Функция является многозначной: , ;.Условию удовлетворяет та однозначная ветвь этой функции, для которой. Действительно, при(и так как). Полагая теперь,на кривой, находим, и, следовательно, .

Лекция 8. Ряды в комплексной области. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Лорана

Пусть дана функциональная последовательность состоящая из комплексных функций (Тогда формальная сумма бесконечного числа слагаемых:

называется рядом, построенным по указанной функциональной последовательности. В частности, если все то ряд будет числовым. При этомобщий член ряда (1), аегоя частичная сумма. Множество

{всеимеют смысл}

называется областью определения ряда (1).

Определение 1. Говорят, что ряд (1) сходится в точке к суммеесли существует конечный пределего частичных сумм. Это эквивалентно высказываниюЕсли здесь номерне зависит от(т.е.), то говорят, что ряд (1) сходитсяравномерно по (или равномерно на множестве).

Это определение фактически не отличается от аналогичного определения в действительном анализе. Поэтому здесь также справедливы следующие утверждения.

1. Если ряд (1) сходится в точке , то его общий членпри

2. Если “модульный ряд” сходится, то сходится и сам ряд (1) (в этом случае говорят, что ряд (1) сходится абсолютно; если ряд (1) сходится, а его “модульный ряд” расходится, то говорят, что (1) сходится условно).

Для нахождения области абсолютной сходимости ряда (1) и области его равномерной сходимости надо применить известные признаки сходимости (Даламбера, Коши, интегральный признак, признак Вейерштрасса) к действительному знакоположительному ряду При этом все свойства равномерно сходящихся действительных рядов рядов переносятся и на комплексные ряды. Эти свойства следующие.

3. Если ряд (1) состоит из непрерывных на множестве слагаемыхи сходится к суммеравномерно на множестве, то его сумманепрерывна на.

4. Если ряд (1) сходится равномерно на ограниченной кусочно- гладкой кривой и все его члены непрерывны нато ряд (1) можно интегрировать нат.е.

5. Если все члены ряда (1) аналитичны в ограниченной односвязной области и ряд (1) сходится равномерно в замкнутой областито его суммааналитична впричем

а ряд из производных будет сходиться равномерно по

1. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана

Функциональные ряды вида где(коэффициенты ряда) и(центр ряда) – постоянные,переменная, называютсястепенными рядами.Ясно, что если мы научимся вычислять область сходимости степенного ряда

(с центром ), то легко найдем и область сходимости исходного рядаПоэтому впредь, если не оговорено противное, будем рассматривать степенные ряды.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке то он сходится абсолютно и в круге В любом замкнутом круге указанный ряд сходится равномерно.

Так же, как и в действительном анализе, здесь вводится понятие радиуса сходимости ряда.

Определение 2.Числоназываетсярадиусом сходимостиряда (2), если внутри кругаэтот ряд сходитсяабсолютно, а вне замкнутого кругаон расходится. При этом кругназываетсякругом сходимостиряда.

Заметим, что при указанный степенной ряд сходится только в точкеа прион сходится при всех комплексныхСледующие примеры показывают, что эти случаи не исключаются:Примером ряда с ненулевым конечным радиусом сходимости может служить геометрическая прогрессияЗаметим также, что на границекруга сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, рядсходится условно в точкеи расходится в точке

Здесь так же, как и в действительном анализе имеет место утверждение.

Теорема 1. Пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий:

а) существует (конечный или бесконечный) предел

б) существует (конечный или бесконечный) предел(при этом предполагается, что существует номертакой, что).

Тогда число радиус сходимости ряда.

Пусть функция имеет в точкеи некоторой её окрестностипроизводныеТогда этой функции можно поставить в соответствие степенной ряд

Этот ряд называется рядом Тейлора, построенным по функции Возникают следующие естественные вопросы:

1) при каких условиях на функцию рядсходится и какова область его сходимости?

2) при каких условиях на функцию рядсходится именно к функциипо которой он строится?

На первый вопрос можно ответить, применяя к признаки сходимости степенных

рядов. Ответ на второй вопрос содержится в следующем утверждении.

Теорема 2(о разложимости аналитической функции в ряд Тейлора). Пусть функция аналитична в областиТогда в любом кругележащем в областифункцияразлагается в степенной ряд

_{абсолютно сходящийся в круге} Этот ряд необходимо является рядом Тейлора