Файл: Лекция 1 микроэлектроника.doc

1 Движение электрона в кристалле. Уравнение Шрёдингера, волновая функция

Все окружающие нас тела состоят из элементарных частиц (атомов) или из групп определенным образом объединенных атомов (молекул). Любая молекула состоит из совокупности электронов и атомных ядер, движение и взаимное расположение которых определяют значение внутренней энергии молекулы.

В 1924 г. французский физик Луи де Бройль предположил, что любая частица, в том числе и электрон, обладает волновыми свойствами с длиной волны , гдеh = 6,62·10^-34 Дж·с=4,5·10^-15 эВ·с – постоянная Планка; – импульс электрона. Такую волну стали называть волной де Бройля.

Можно ввести понятие волнового числа, то есть числа волн, укладывающихся на 2см: =, где== 1,05410^-34 Дж с – приведенная постоянная Планка или постоянная Дирака.

Тогда можно связать импульс с волновым вектором: , что и сделал де Бройль. В этом случае называют квазиимпульсом электрона.

Кинетическая энергия свободного электрона =, где=9,1 10^-31 кг – масса свободного электрона.

В 1926 г. австрийский физик Эрвин Шрёдингер вывел уравнение для волн де Бройля. Волна, связанная с отдельной частицей описывается волновой функцией , то есть зависящей от координат и времени.

Ĥ

(1.1)

---

В левой части – скорость изменения волновой функции, умноженная на мнимую единицу () и приведенную постоянную Планка. В правой –оператор ГамильтонаĤ, действующий на волновую функцию. Оператор полной энергии (гамильтониан)Ĥ получается из выражения

,

(1.2)

где E– собственная энергия частицы (системы частиц).

Энергия частицы массой имеет две составляющие – кинетическую и потенциальную:

.

(1.3)

Кинетическая энергия =. Если заменить в правой части уравнения величину импульса на так называемый оператор импульса, , где- оператор Гамильтона или набла- оператор, получим: ,,.

Тогда уравнение (1.2) можно переписать в виде:

,

(1.4)

- уравнение Шредингера для свободной частицы. Здесь - оператор Лапласа.

Решение такого уравнения для частицы, движущейся по оси xимеет вид:

,

(1.5)

т.е. волновые функции свободной частицы есть плоские волны.

---

В любой момент времени t, состояние квантовой частицы задается двумя величинами: координатами (радиусом-вектором) и импульсом:

,

(1.6)

Учитывая, что =- энергия свободного электрона, - импульс свободного электрона, можно записать уравнение для волновой функции в следующем виде:

,

(1.7)

Здесь - циклическая частота. Это - комплексная синусоида.Групповая скоростьволнового пакета.

Если нам известна волновая функция, то из нее можно получить энергию, продифференцировав по времени один раз и квадрат импульса продифференцировав по координате дважды:

,

(1.8)

В самом деле, из найденных формул выразим иE, подставим их в уравнение Шредингера, тогда получим тождество:

.

(1.9)

Но как определить саму волновую функцию? Тем более, что в соответствии с соотношением неопределенностей немецкого физика Вернера Гейзенберга, выведенного им в 1927 г. координату и импульс любой микрочастицы нельзя измерить точно одновременно: (для одномерного движения, чем точнее значение координаты, тем менее точно можно измерить значение импульса). Максимум, что можно сделать – это определить три координаты или три компоненты импульса, а затем из уравнения Шрёдингера вычислить волновую функцию в какой угодно последующий момент времени. То есть при решении конкретных задач уравнение Шредингера должно быть дополнено заданием начальных условий: для момента времениt=0, т.е. нужно задать функцию = .

---

Так что такое волновая функция? В 1926 г. немецкий физик Макс Борн предложил, что волновая функция физического смысла не имеет, но определяет вероятность пребывания электрона в заданной точке. В тех областях, где амплитуда волны больше, обнаружение электрона более вероятно, то есть||² dV–вероятность обнаружить данную частицу в объеме dV.

(1.10)

здесь - комплексно-сопряженная с функцией .

.

(1.11)

---

1.2 Движение электронов в атоме

Каждый атом или молекула может находиться в том или другом энергетическом состоянии. Иначе говоря, их внутренняя энергия квантована.

Взаимодействие частиц в квантовой механике характеризуют потенциальной энергией, формула которой заимствуется из классической механики. Например, потенциальная энергия заряженной частицы (например, электрона с зарядом минус q) в электрическом поле другой заряженной частицы (например, ядра атома водорода c зарядом плюс q) выражается формулой

,

(1.12)

Эту формулу и переносят в квантовую механику как формулу, характеризующую электрическое взаимодействие двух заряженных частиц.

В этом случае уравнение Шрёдингера примет вид:

,

(1.13)

Уравнение в частных производных (1.13) имеет множество решений. В каждой конкретной задаче из этого множества следует выбрать одно решение, отвечающее условиям задачи.

Геометрический образ, соответствующий и представляющий областьнаиболее вероятного пребывания электрона в атоме, называютатомной орбитальюданного электронного состояния. Кстати, из-за неопределенности координат нельзя говорить и о траектории электрона, в частности об орбитах электронов в атомах.

Для описания электронной системы, будь то атом, молекула или кристалл необходимо знать все её возможные квантовые состояния, характеризуемые энергетическим спектромсистемы (кристалла, атома). Если электронная система находится в равновесии и не подвергается никаким внешним воздействием, то находящиеся в ней электроны должны занимать состояния с минимальной энергией.

Решения уравнения Шрёдингера существуют только для волновых функций, характеризуемых набором целых чисел (которые называют квантовыми): n, l, mи соответствующих им дискретных значений энергий.

Главное квантовоечислоnможет принимать любые целые положительные значения от 1 до ∞. Оно определяет величину энергии и влияет на размеры атомной орбитали – пространства, в котором велика вероятность нахождения электрона. С увеличениемn расстояние между энергетическими уровнями и энергия связи электронов с ядрами уменьшается,значение энергетического зазора между уровнями падает.

---