Файл: МОРИ (Методы обработки результатов измерений).doc

Измерением называется нахождение значений физической величины опытным путём с помощью специальных технических средств. Измерения делятся на прямые и косвенные. Прямым измерением называется такое измерение, при котором значение искомой величины находится непосредственно из отсчёта по прибору. Косвенное - это измерение, результат которого определяется на основе прямых измерений, связанных с измеряемой величиной некоторой функциональной зависимостью y=f(x₁,x₂, ...,x_N).

При измерении находится не абсолютно точное, а приближённое значение искомой физической величины, другими словами, в полученном результате содержится погрешность.

Измеренное значение х_изм некоторой величины х обычно отличается от её истинного значения х_ист. Отклонение измерения от истинного значения при выполнении опыта, это значит разность

х_изм-х_ист=dх, (1)

называется ошибкой измерения. Количественно характеризовать ошибки измерения можно заданием, например, верхнего предела их модуля:

Dх³½dх½. (2)

Однако на практике значение Dх определять как строгий, абсолютно надёжный предел величины dх нерационально, да и невозможно. Поэтому величину Dх задают так, чтобы неравенство (2) выполнялось с некоторой вероятностью Р. В учебных лабораториях вероятность Р обычно выбирается равной 0,95. Погрешность измерения Dх является количественной мерой неизвестной экспериментатору действительной ошибки dх.

Таким образом, задача всякого измерения состоит из 1) нахождения наиболее возможного значения измеряемой величины; 2) оценки погрешности измерения; 3) указания надёжности результата.

В соответствии с постановкой задачи результат измерения записывают совместно с погрешностью и надёжностью:

х= (х_изм±Dх);Р. (3)

Интервал значений величины х, заданный выражением (3), называется доверительным интервалом, а вероятность Р-доверительной вероятностью или надёжностью, соответствующей этому доверительному интервалу. Величина погрешности Dх (она называется абсолютной) равна полуширине доверительного интервала. Для характеристики точности измерения вводится также относительная погрешность измерения

(4)

которая показывает, какую часть абсолютная погрешность составляет от самой величины. Обычно e измеряется в %.

Погрешности измерения бывают систематические и случайные.

Ошибки, величина и знак которых непредсказуемым образом меняются от опыта к опыту, называются случайными. Эти ошибки проявляются в том, что при повторении опыта по определению одной и той же величины получаются результаты, которые отличаются один от одного. Систематическими ошибками называются ошибки, величина и знак которых от опыта к опыту сохраняются или изменяются закономерно.

Систематические ошибки подразделяются на несколько групп:

Ошибки, происхождение и величина которых известны; их можно учесть введением поправок.
Ошибки известного происхождения, но неизвестной величины. Такие ошибки обычно характеризуются определённой предельной погрешностью (она называется приборной или инструментальной), предусмотренной стандартами и гарантируемой заводами.
Ошибки, о существовании которых мы даже и не подозреваем; хотя их величина может быть значительной.
Ошибки, обусловленные приблизительным характером измерений или вычислений.

В лабораторном практикуме учитываются следующие основные виды погрешностей:1) случайные Dх_сл, 2) приборные Dх_пр и 3) погрешности округления Dх_окр..

Прямые измерения

1. Случайная погрешность

Окончательный результат прямого измерения - наиболее вероятное значение измеряемой величины - определяется как среднее арифметическое значений, найденных в многократно повторенных наблюдения:

(5)

где х_i- значение измеряемой величины в i-м наблюдении, n-число пов-торных наблюдений.

Разность х_i- <x> =Dx_iназывается случайным отклонением результата i-го наблюдения от среднего значения. Приблизительно в 68% случаев отклонения Dх_i по модулю не превышает некоторую величину s - стандартное отклонение, а в 32% превышают её. Иными словами, с вероятностью 68% отклонение Dх_i лежит в интервале [-s; +s].Для любого значения вероятности Р доверительный интервал [-l_Ps, +l_Ps]определяется множителем l_Р, который зависит от Р (табл.1.1).

В теории вероятностей показывается, как можно оценить величину s по отклонениям Dx_i = х_i- <x>:

(6)

Т.е., стандартное отклонение s определяет ожидаемую ошибку каждого отдельного, единичного измерения. Знание величины s дает возможность оценивать вероятность получения при одноразовом наблюдении той или иной величины ошибки.

Таблица 1.1

№ п.п. \ Р	0,5	0,9	0,95	0,99
2	1,60	6,31	12,7	63,7
3	0,82	2,92	4,30	9,92
4	0,77	2,35	3,16	5,94
5	0,74	2,13	2,78	4,60
6	0,73	2,02	2,67	4,03
7	0,72	1,94	2,45	3,71
8	0,71	1,89	2,36	3,50
9	0,71	1,86	2,31	3,36
10	0,70	1,83	2,26	3,25
15	0,69	1,76	2,14	2,98
20	0,69	1,73	2,09	2,86
µ	0,68	1,65	1,96	2,59

Замечание: При n®µприведены значения коэффициентов l_Р.

Величина

(7)

называется средней квадратичной погрешностью отдельного наблюде-ния. Стандартное отклонение s » S, и чем больше число наблюдений n, тем точнее это приближённое равенство (при n®µs=S).

Среднее арифметическое совокупности результатов измерений точнее характеризует значение измеряемой величины, чем результат только одного измерения, поэтому стандартное отклонение среднего результата s_n меньше s и равно:

(8)

Следовательно, средняя квадратичная погрешность окончательного результата измерений

(9)

Тогда полуширина доверительного интервала Dх=l_РS_n.При небольшом количестве наблюдений множитель l_Р нужно заменить на новый t_n_,_P, называемый коэффициентом Стьюдента (см.табл.1.1.).

С учётом коэффициента Стьюдента случайная погрешность результата, определяющая полуширину доверительного интервала около среднего значения измеряемой величины, равна

(10)

это основная формула для подсчёта случайных погрешностей прямых измерений.
Погрешность прибора

Значения предельных погрешностей определены ГОСТами, гарантированы при изготовлении и проверке приборов и обычно указываются в их паспорте. Для одних приборов стандартами задаётся предельная абсолютная погрешность d (табл.1.2), а для других - предельная относительная

Таблица 1.2

Приборы и пределы	Значение предела	Предельная погрешность
Линейки металлические	150, 300, 500 мм	0,1 мм
>> >>	1000 мм	0,2 мм
>> деревянные	200, 250, 300 мм	0,1 мм
>> >>	400, 500, 1000 мм	0,5 мм
>> пластмассовые	200, 250, 300 мм	1 мм
Гири для техн. анализа	10, 20, 50, 100 мг	1 мг
>>	200 мг	2 мг
>>	500 мг	4 мг
>>	1 г	6 мг
>>	2 г	8 мг
>>	5 г	12 мг
Мензурки 2-го класса	100, 200 см³	5 см³
Штангенциркули
с ценой деления 0,1 мм	0-155 мм	0,1 мм
>> 0,05 мм	0-200;0-250;0-350 мм	0,05 мм
Микрометры 0,01 мм	0,25, 25-50 мм	4 мкм
Индикаторы 0,01 мм	0-2 мм	12 мкм
>>	0-5 мм	16 мкм
>>	0-10 мм	20 мкм
Весы лабораторные	5-100, 10-200 г	3 цены деления шкалы
Секундомеры технич.	30-60 мин	1,5 цены деления шкалы
>> электромеханич.	30 мин	0,5 цены деления шкалы
Термометры стекл.жидк	от -20⁰ до 100⁰	1 цена деления шкалы

погрешность (класс точности k).Классом точностиприбора называется выраженное в процентах отношение предельной абсолютной погрешность прибора d к максимальному значению измеряемой им величины х_max(для многопредельных приборов на рабочем пределе):

(11)

Знак % на приборах не ставится. Для электроизмерительных приборов возможны классы точности: 0,02; 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 2,5; 4,0.

По известному классу точности находится предельная абсолютная погрешность прибора

(12)

Предельная погрешность d и класс точности kзадаются с доверительной вероятностью Р=0,997. Это означает, что полуширина доверительного интервала, в котором может быть заключена измеряемая величина, равна 3s. В учебных лабораториях принимают значение Р=0,95, которому соответствует полуширина 2s. Поэтому в лабораторном практикуме при вычислении приборных погрешностей следует брать не полную величину d, а только 2/3 её величины:

(13)

Для произвольной вероятности Р абсолютная приборная погрешность

, (14)

где коэффициент l_Р, зависящий от доверительной вероятности Р, определяется по табл.1.1 (при Р=0,95l_Р= 2,0). Из (14) видно, что абсолютная приборная погрешность Dх_пр не зависит от значения измеряемой величины х_изм и для данного прибора (на данном пределе) есть величина постоянная.

Относительная погрешность измерения, обусловленная прибором:

(15)