Файл: ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА - БИЛЕТЫ.doc

Ранг матрицы

  Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

метод квадратных корней

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений Ax =Y. Где А=А^т – матрица А является симметричной.

Есликвадратная матрица А является симметричной, то она допускает разложение

А=S ^тS, где S- верхняя треугольная матрица

Доказательство можно провести конструктивным путем, а именно нужно написать столько уравнений сколько коэффициентов в матрице

S₁₁ S ₁₁ = A₁₁; S₁₁= A₁;

S₁₁ S ₁₂ = A₁₂; S₁₂= A₁₂ /S₁₁;

S₁₂ S ₂₂ +S₂₂ *0= A₂₁; A₂₁ =A₁₂; в силу симметричности матрицы

Трудоемкость 1/6* n³(в 2 раза меньше, чем в методе Гаусса)

Если матрица является положительно определенной, то все подкоренные выражения положительны

2. Постановка задачи построения интерполяционного многочлена. Кусочно-линейная интерполяция Интерполяционный многочлен

Пусть функция у =f(x) задана таблицей своих значений:y_i=f(x_i), i=0,1,...,n,.

Многочлен называется интерполяционным для функцииf(x), если его значения в точках ,совпадают со значениями функции, то есть выполнены равенства:,.

Кусочно-линейная интерполяция.

При решении ряда задач требуется восстановить функцию y=f(x) для произвольного значения x на отрезке [a,b], если известны ее значения в некотором конечном числе точек этого отрезка. Кроме того, функция y=f(x) может быть задана формулой, вычисление значений которой очень трудоемко. Данная задача решается путем интерполяции.

Нахождение функции-интерполянты F(x),где F(x_i)=f_i, называют интерполяцией, а точки x₀, x₁,... , x_N - узлами интерполяции. Величины h_i=x_i-x_i-1, - называютшагами табличной функции.

---

Простейшим видом интерполяции является кусочно-линейная интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки , соединяются прямолинейными отрезками, и функцияf(x) приближается полученной ломаной.

Поскольку имеется N интервалов (x_i-1 , x_i), то для каждого их них в качестве уравнения интерполянты используется уравнения прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (x_i-1 , f_i-1) и (x_i , f_i), в виде

Отсюда

y = a_ix + b_i  F(x), x  (x_i-1, x_i) (1)

Следовательно, при использовании кусочно-линейной интерполяции сначала нужно определить номер i интервала, в который попадает значение аргумента x, затем подставить x и i в формулу (1) и найти приближенное значение функции в точке x.

---

Билет 24 Метод Зейделя

Пусть решается система уравнений Ax =b , все диагональные элементы которой ненулевые. В итерационном методе Зейделя последовательно уточняются компоненты решения, причем k-я компонента находится из k –го уравнения. Именно, если xⁿ = (xⁿ_1,......,xⁿ_m)^T,то следующее приближение определяется из системы сообношений

a₁₁ xⁿ⁺¹₁ + a₁₂ xⁿ₂ +.........+ a_1m xⁿ_m = b₁ ,

a₂₁ xⁿ⁺¹₁ + a₂₂ xⁿ⁺¹₂ + a₂₃ xⁿ₃.........+ a_2m xⁿ_m = b_2,

_{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

a_m1 xⁿ⁺¹₁ + a_m2 xⁿ⁺¹₂+.........+ a_mm xⁿ⁺¹_m = b_m.

Эту систему можно представить в виде

Bxⁿ⁺¹ + Cxⁿ = b,

где

a₁₁ 0 0 . . . 0 0 a₁₂ a_{13 . . .} a_1m

B= a₂₁ a₂₂ 0 . . . 0 , C= 0 0 a_{23 . . .} a_2m

. . . . . . . . . . . . . .

a_m1 a_m2 a_m3 . . .a_mm 0 0 0 . . . 0

Отсюда получаем

xⁿ⁺¹ = -B^-1 Cxⁿ + B^-1b

Таким образом, метод Зейделя эквивалентен некоторому методу простой итерации; поэтому для его сходимости при любом начальном приближении необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы B^-1C по модулю были меньше 1.

Метод верхней релаксации

Модифицируем метод Зейделя. С этой целью введем параметр и запишем

.(1)

В данном случае

, . (2)

При мы возвращаемся к методу Зейделя.

---

Соотношению (1) можно придать вид

.(3)

Такая форма записи показывает, что параметр влияет на диагональ матрицы.

Для построения алгоритма вычисления очередной итерации нужно разделить в левой части рекуррентной формулы (2) члены, содержащие и, и придать ей форму:

. (4)

Если перейти от векторной записи к записи в виде отдельных уравнений, то можно получить для компонент очередной итерации формулы:

, . (5)

Исследуем условия сходимости метода верхней релаксации при дополнительном предположении, что матрица удовлетворяет условиям теоремы Самарского(А=А^т>0 –самосопряженная положительно определенная). Самосопряженность матрицы означает, что,. Отсюда следует

. (6)

Составим для рассматриваемого случая матрицу . Согласно (2)

. (7)

Запишем условие ее положительной определенности

. (8)

Второе слагаемое в выражении (7) не дает вклада в квадратичную форму (8) в силу соотношения(6).

Матрица является, по предположению, положительно определенной. Следовательно, все ее диагональные элементы строго положительны:,. Это означает положительную определенность матрицы : . В результате знак выражения (8) определяется знаком первого множителя, так что достаточное условие для сходимости итерационной последовательности метода верхней релаксации принимает вид:

---

Метод Зейделя, соответствующий случаю , удовлетворяет этому условию.

Метод Эйлера

   Пусть требуется найти приближенноерешение дифференциального уравненияy' = f(x,y), удовлетворяющее начальному условиюy(x₀) = y₀. При решении задачиметодом Эйлераприближенное значениеy₁решенияy(x) в точкеxвычисляется по формулеy₁ = y₀ + (x-x₀)f(x₀,y₀). Приближенные значения y_iрешения уравненияy(x)в точкахx_i = x₀ +ih, i=1,2,...,nвычисляются по формуламy_i+1 = y_i + hf(x_i,y_i). Метод Эйлераявляется одношаговым методом первого порядка. Локальная погрешность метода Эйлера равнаO(h²)

---