Файл: вариант7.docx

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ ГОРНОГО ДЕЛА И СТРОИТЕЛЬСТВА

КАФЕДРА АЭРОЛОГИИ, ОХРАНЫ ТРУДА И ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ

ИНТЕРНЕТ-ИНСТИТУТ

Курсовая работы по курсу
ИНФОРМАТИКА

на тему

"ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА"

Выполнил: ст-т гр. ИБ Иванов И.И.

Принял:

Тула 2018 г.

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Составить блок-схему алгоритма и написать программу на языке Паскаль, позволяющую вычислить значение определенного интеграла от функции на отрезке с абсолютной погрешностью , используя известные численные методы – метод левых прямоугольников, трапеций, Симпсона (парабол), Чебышева (4 разбиения) в соответствии с индивидуальным заданием.

В работе программы предусмотреть ввод границ интервала интегрирования и значения погрешности с клавиатуры. В начале работы программы на экран дисплея должен выводиться график функции с оцифровкой осей и иллюстрацией одного из указанных методов интегрирования.

После вывода графика функции на экран необходимо задать с клавиатуры начальное значение количества разбиений n, после чего программа должна продолжить работу.

Результаты расчета вывести на экран дисплея и в дисковый файл в виде:

КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО КУРСУ ИНФОРМАТИКА
"ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА"

Выполнил: студент гр. ИБ Иванов И.И.

Вариант 7 y=0.47*x^0.746

Xn=0.311 Xk=2.037 Eps=0.0001

РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

*** Требуемая точность достигнута при 550 разбиениях ***

СОДЕРЖАНИЕ

Y

1. ОПИСАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Вычисление определенного интеграла геометрически означает вычисление площади фигуры, ограниченной кривой , прямыми , и осью абсцисс (рис. 1).

Рис. 1 Геометрический смысл определенного интеграла

На практике редко удается вычислить точно определенный интеграл. Например, в элементарных функциях не вычисляется функция Лапласа

,

широко используемая в теории вероятностей для вычисления вероятности, связанной с нормально распределенными случайными величинами.

Рассмотрим некоторые широко используемые приемы приближенного вычисления определенных интегралов.

Введем понятие квадратурной формулы. Пусть дан определенный интеграл

(1)

от непрерывной на отрезке функции . Приближенное неравенство

, (2)

где – некоторые числа, – некоторые точки отрезка , называется квадратурной формулой, определяемой весами и узлами .

Говорят, что квадратурная формула точна для многочленов степени т, если при замене на произвольный алгебраический многочлен степени т приближенное равенство (2) становится точным.

1.1. Метод левых прямоугольников

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Требуется вычислить определенный интеграл

.

Разделим отрезок точками , , , …, на равных частей длины :

.

Обозначим далее через , , , ..., , значение функции в точках , , , …, , т.е.

, ,…, .

Составим суммы:

,

.

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для на отрезке и поэтому приближенно выражает интеграл

, (3)

. (4)

Из рис. 2 и 3 ясно, что если – положительная и возрастающая функция, то формула (3) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, и эта формула называется формулой левых прямоугольников, а формула (4) – площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, и называется формулой правых прямоугольников.

Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число (т. е. чем меньше шаг деления ).

1.2. Метод трапеций

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Требуется вычислить определенный интеграл

.

Разделим отрезок точками , , , …, на равных частей длины :

.

Рис. 4.

Обозначим далее через , , , ..., , значение функции в точках , , , …, , т.е.

, ,…, .

Составим сумму прямоугольных трапеций:

.

Эта сумма является интегральной суммой для на отрезке , и поэтому приближенно выражает интеграл

. (5)

Это и есть формула трапеции. Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле трапеции, будет тем меньше, чем больше число (т. е. чем меньше шаг деления ).

1.3. Метод Симпсона

Разобьем отрезок интегрирования на четное число равных частей с шагом . На каждом отрезке , , ..., , ..., подынтегральную функцию заменим интегральным многочленом второй степени:

, .

Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий равенства многочлена в точках в соответствующих табличным данным . В качестве можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки , , :

.

Элементарная площадь может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая равенство , получаем:

.

Проведя такие вычисления для каждого элементарного отрезка , просуммируем полученные выражения:

.

Данное выражение для принимается в качестве значения определенного интеграла

.

Полученное соотношение называется формулой Симпсона.

1.4. Метод Чебышева

П.Л. Чебышев предложил формулу:

,

в которой коэффициенты фиксированы, а подлежат определению.

Рассмотрим случай, когда , , . Тогда:

. (6)

Коэффициент и точки определяются из условия, что это равенство является точным для случая, когда многочлен степени не выше :

.

Подставляя в левую часть и интегрируя, получаем:

.

Подставляя полученный результат в правую часть (6), получим:

Тогда имеем:

.

Это равенство должно выполняться при любых , , …, , поэтому получаем следующую систему уравнений:

Пользуясь алгебраическими свойствами симметричных многочленов, можно привести эту систему к одному алгебраическому уравнению -ой степени, корни которого и являются узлами квадратурной формулы Чебышева. Опустив преобразования, ограничимся готовыми результатами. В таблице приведены значения узлов квадратурной формулы Чебышева для 4 разбиений.

Для любых пределов интегрирования имеем:

,

где , .

Значения берутся из таблицы при выбранном значении . Для повышения точности можно не только увеличивать количество узлов, но и разбивать отрезок на подотрезки, к каждому из которых применяется соответствующая формула.