Файл: Алгоритмизация как обязательный этап разработки программы (Преобразование Фурье).pdf

Сначала мы случайным образом выбираем ключевой элемент:

int pivotIndex = _pivotRng.Next(left, right);

3

7

4

4

6

5

8

Теперь, когда мы знаем ключевой индекс (4), мы берем значение, находящееся по этому индексу (6), и переносим значения в массиве так, чтобы все числа больше или равные ключевому были в правой части, а все числа меньше ключевого — в левой. Обратите внимание, что в процессе переноса значений индекс ключевого элемента может измениться (мы увидим это вскоре).

Перемещение значений осуществляется методом partition.

3

7

4

4

6

5

8

На этом этапе мы знаем, что значение 6 находится на правильной позиции. Теперь мы повторяем этот процесс для правой и левой частей массива.

Мы рекурсивно вызываем метод quicksort на каждой из частей. Ключевым элементом в левой части становится пятерка. При перемещении значений она изменит свой индекс. Главное — помнить, что нам важно именно ключевое значение, а не его индекс.

3

5

4

4

6

7

8

3

4

4

5

6

7

8

Снова применяем быструю сортировку:

3

4

4

5

6

7

8

3

4

4

5

6

7

8

И еще раз:

3

4

4

5

6

7

8

---

3

4

4

5

6

7

8

У нас осталось одно неотсортированное значение, а, поскольку мы знаем, что все остальное уже отсортировано, алгоритм завершает работу.

Пример быстрой сортировки:

Random _pivotRng = new Random(); public void Sort(T[] items) { quicksort(items, 0, items.Length - 1); } private void quicksort(T[] items, int left, int right) { if (left < right) { int pivotIndex = _pivotRng.Next(left, right); int newPivot = partition(items, left, right, pivotIndex); quicksort(items, left, newPivot - 1); quicksort(items, newPivot + 1, right); } } private int partition(T[] items, int left, int right, int pivotIndex) { T pivotValue = items[pivotIndex]; Swap(items, pivotIndex, right); int storeIndex = left; for (int i = left; i < right; i++) { if (items[i].CompareTo(pivotValue) < 0) { Swap(items, i, storeIndex); storeIndex += 1; } } Swap(items, storeIndex, right); return storeIndex; }

2. Другие алгоритмы.

Алгоритмы используются не только в информатике, но и в математике. По факту, самые ранние математические алгоритмы — разложение на простые множители и извлечение квадратного корня — использовались вавилонянами уже в 1600 г. до н. э. Таким образом, мы имеем проблему, связанную с упомянутой ранее записью, которая рассматривает алгоритмы как компьютерные сущности. Далее рассмотрим такие алгоритмы, которые больше всего используются в мире.

Преобразование Фурье.

Преобразование Фурье (символ ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами (подобно тому, как музыкальный аккорд может быть выражен в виде суммы музыкальных звуков, которые его составляют).

Весь цифровой мир использует эти простые, но по-настоящему мощные алгоритмы, которые преобразуют сигналы из временных интервалов в диапазоны частот и наоборот.

Интернет, Wi-Fi, смартфон, телефон, компьютер, маршрутизатор, спутники — почти всё, что имеет внутри себя электронно-вычислительное устройство, так или иначе использует эти алгоритмы для функционирования.

Алгоритм Дейкстры.

Алгори́тм Де́йкстры (англ. Dijkstra’s algorithm) — алгоритм на графах, изобретённый нидерландским учёным Эдсгером Дейкстрой в 1959 году. Находит кратчайшие пути от одной из вершин графа до всех остальных. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса. Алгоритм широко применяется в программировании и технологиях, например, его используют протоколы маршрутизации OSPF и IS-IS.

---

Как ни странно, интернет не смог бы работать эффективно без существования этого алгоритма. Он используется в задачах, где проблему можно представить в виде графа, для поиска кратчайшего пути между двумя узлами.

Сегодня, даже когда для поиска кратчайшего пути у нас есть решения получше, алгоритм Дейкстры используется в системах, требующих стабильности.

Алгоритм RSA.

RSA (аббревиатура от фамилий Rivest, Shamir и Adleman) — криптографический алгоритм с открытым ключом, основывающийся на вычислительной сложности задачи факторизации больших целых чисел.

Криптосистема RSA стала первой системой, пригодной и для шифрования, и для цифровой подписи. Алгоритм используется в большом числе криптографических приложений, включая PGP, S/MIME, TLS/SSL, IPSEC/IKE и других.

Интернет не был бы так глубоко интегрирован в нашу жизнь, как в наше время, если бы не криптография и кибербезопасность. Из криптографии пришёл алгоритм, который остаётся одним из самых важных в мире, — алгоритм RSA. Разработанный основателями компании RSA, этот алгоритм сделал криптографию доступной для всех в мире и предопределил её будущее. Алгоритм RSA создан для простой задачи с неочевидным решением: как делиться открытыми ключами между независимыми платформами и конечными пользователями так, чтобы была возможность использовать шифрование.

Алгоритм безопасного хэширования.

Secure Hash Algorithm 1 — алгоритм криптографического хеширования. Описан в RFC 3174. Для входного сообщения произвольной длины алгоритм генерирует 160-битное (20 байт) хеш-значение, называемое также дайджестом сообщения, которое обычно отображается как шестнадцатиричное число, длиной в 40 цифр. Используется во многих криптографических приложениях и протоколах. Также рекомендован в качестве основного для государственных учреждений в США. Принципы, положенные в основу SHA-1, аналогичны тем, которые использовались Рональдом Ривестом при проектировании MD4.

Это не совсем алгоритм, а скорее семейство криптографических хэш-функций (SHA-1, SHA-2, и т.д.), разработанных Национальным институтом стандартов и технологий в США. Оно имеет основополагающее значение для функционирования всего мира. Магазины приложений, антивирусы, электронная почта, браузеры и т. д. — все они используют эти алгоритмы (на самом деле — хэш, который является результатом их работы), чтобы определить, загрузили ли вы то, что хотели, а также не стали ли вы жертвой атаки «человек посередине» или фишинга.

---

Алгоритм факторизации целых чисел.

Факторизацией натурального числа называется его разложение в произведение простых множителей. Существование и единственность (с точностью до порядка следования множителей) такого разложения следует из основной теоремы арифметики.

В отличие от задачи распознавания простоты числа, факторизация предположительно является вычислительно сложной задачей. В настоящее время неизвестно, существует ли эффективный не квантовый алгоритм факторизации целых чисел. Однако доказательства того, что не существует решения этой задачи за полиномиальное время, также нет.

Предположение о том, что для больших чисел задача факторизации является вычислительно сложной, лежит в основе широко используемых алгоритмов (например, RSA). Множество областей математики и информатики находят применение в решении этой задачи. Среди них: эллиптические кривые, алгебраическая теория чисел и квантовые вычисления.

Сложность, связанная с разложением числа на простые множители, широко используется в машинной области. Без неё криптография могла бы быть не такой безопасной, какой мы её знаем.

Многие криптографические протоколы — например, RSA — основаны на сложности факторизации больших составных целых чисел или на сходных проблемах. Алгоритм, который эффективно сможет разбивать на простые множители произвольное целое число, сделает криптографию с открытым ключом на основе RSA небезопасной.

3. Анализ связей.

Анализ связей или анализ ссылок (от англ. «link analysis») — это метод анализа данных, используемый в рамках сетевого анализа для оценки отношений (связей) между узлами (объектами/акторами). Отношения могут быть определены для различных типов узлов: людей, организаций, операций и т. д. Термин «link analysis» (один из вариантов перевода: «анализ взаимосвязей») обозначает процесс анализа совокупности взаимоотношений между разными объектами сети для выявления её характеристик.

В информационную эру взаимоотношения между различными субъектами имеют большое значение. От поисковых систем и социальных сетей до инструментов анализа рынка — каждый пытается найти реальную структуру интернета на все времена.

Алгоритм анализа связей за время своего существования оброс большим количеством мифов и заблуждений среди широкой публики. Проблема заключается в существовании различных способов анализа ссылок с различными характеристиками, что делает каждый алгоритм немного другим (и позволяет патентовать алгоритмы), хотя при этом их основания похожи.

---

Идея анализа связей проста: вы можете представить график в виде матрицы, что сводит задачу к проблеме собственной значимости каждого узла. Такой подход к структуре графа даёт нам возможность оценить относительную важность каждого объекта, включённого в систему. Алгоритм был разработан в 1976 году Габриэлем Пински и Фрэнсисом Нарином.

Где используется этот алгоритм? При ранжировании страниц во время поиска в Google, при генерации ленты новостей в Facebook (поэтому новостной канал Facebook — не алгоритм, а его результат), при составлении списка возможных друзей на Google+ и Facebook, при работе с контактами в LinkedIn и т. д. Каждый из вышеперечисленных сервисов работает с разными параметрами и объектами, но математика за каждым алгоритмом остаётся неизменной.

Кстати, видимо, Google является не первой компанией, начавшей работу с подобными типами алгоритмов. В 1996 году (за два года до основания Google) небольшая поисковая система под названием «RankDex», основанная Робином Ли, уже использовала эту идею для ранжирования страниц. Также, Массимо Марчиори, основатель «HyperSearch», использовал алгоритм ранжирования страниц, основанный на отношениях между отдельными страницами (эти два основателя упоминаются в патентах Google).

4. Алгоритмы сжатия данных.

Сжатие данных (англ. data compression) — алгоритмическое преобразование данных, производимое с целью уменьшения занимаемого ими объёма. Применяется для более рационального использования устройств хранения и передачи данных. Синонимы — упаковка данных, компрессия, сжимающее кодирование, кодирование источника. Обратная процедура называется восстановлением данных (распаковкой, декомпрессией).

Сжатие основано на устранении избыточности, содержащейся в исходных данных. Простейшим примером избыточности является повторение в тексте фрагментов (например, слов естественного или машинного языка). Подобная избыточность обычно устраняется заменой повторяющейся последовательности ссылкой на уже закодированный фрагмент с указанием его длины. Другой вид избыточности связан с тем, что некоторые значения в сжимаемых данных встречаются чаще других. Сокращение объёма данных достигается за счёт замены часто встречающихся данных короткими кодовыми словами, а редких — длинными (энтропийное кодирование). Сжатие данных, не обладающих свойством избыточности (например, случайный сигнал или белый шум, зашифрованные сообщения), принципиально невозможно без потерь.

---