1.13. Инвестиции в портфель облигаций.

Дюрация и показатель выпуклости портфеля.

Рассмотрим портфель из облигаций, не имеющих кредитного риска. Риск неплатежа от портфеля отсутствует. Однако в условиях рынка остается процентный риск. Изменение процентных ставок на рынке вызывает изменение рыночных цен облигаций, входящих в портфель, а следовательно, изменение стоимости всего портфеля.

Предположим, на рынке имеются облигации без кредитного риска m видов, цены которых в момент t = 0 равны соответственно P₁, P₂,…, P_m. Предположим также, что на рынке можно купить любое количество облигаций, в том числе нецелое. Пусть Ω_j – сумма, затраченная инвестором на приобретение облигаций j – го вида, j = 1, 2,…, m. Тогда в момент t = 0 сформирован портфель облигаций П(Ω₁, Ω₂,…, Ω_m), стоимость которого равна Ω = . k_j = и – соответственно количество и доля облигаций j – го вида в портфеле, j = 1, 2,…, m. Следовательно, . Пусть через t₁, t₂,…, t_n лет от момента t = 0 производится платеж хотя бы по одному виду облигаций, входящих в портфель. Обозначим через платеж по облигации j – го вида в момент t_i, где i = 1, 2, …, n. Тогда R₁, R₂, …, R_n в моменты t₁, t₂,…, t_n – ожидаемый поток платежей от портфеля, где

, i = 1, 2, …, n. (13.1)

Таким образом, портфель П(Ω₁, Ω₂,…, Ω_m) в момент t = 0 можно рассматривать как одну облигацию без кредитного риска стоимостью Ω с потоком платежей R₁, R₂, …, R_n в моменты времени t₁, t₂,…, t_n. По своим инвестиционным качествам портфель эквивалентен такой облигации.

Пример 13.1. Сформирован портфель П(2000, 3000, 2000) из облигаций трех видов, потоки платежей по которым указаны в таблице. Определить поток платежей от этого портфеля.

Согласно условию, P₁ = 850, P₂ = 290, P₃ = 990; Ω₁ = 2000, Ω₂ = 3000, Ω₃ = 2000. Члены потока платежей от портфеля рассчитаем по (13.1):

R₁ = 10 = 103,448 в момент t₁ = 0,5.

R₂ = 10 + 90 = 285,266 в момент t₂ = 1.

R₃ = 330 = 3413,793 в момент t₃ = 1,5.

R₄ = 1035 + 1100 = 4657,516 в момент t₄ = 2.

Таким образом, поток платежей от портфеля П(2000, 3000, 2000) имеет вид, показанный в таблице:

Меры доходности портфеля.

Для вычисления доходности портфеля П(Ω₁, Ω₂,…, Ω_m) приняты две характеристики:

1) средневзвешенная доходность портфеля r_ср.; 2) внутренняя ставка доходности r_P .

Средневзвешенная доходность портфеля определяется путем усреднения доходностей по всем облигациям в портфеле:

r_ср. = . (13.2)

Здесь – доля облигаций j – го вида в портфеле, r_j – их внутренняя доходность. Недостатком этой характеристики является то, что она несет мало информации о потенциальной доходности портфеля.

Внутренняя ставка доходности r_P – это процентная ставка, по которой приведенная стоимость потока платежей по портфелю R₁, R₂, …, R_n в моменты t₁ , t₂,…, t_n равна его рыночной цене Ω в момент t = 0:

. (13.3)

Внутренняя ставка доходности портфеля, хотя и лучше, чем средневзвешенная доходность портфеля, но имеет те же недостатки, что и внутренняя доходность облигации. Она предполагает, что платежи по портфелю реинвестируются по ставке, равной r_P, а сам портфель держится до погашения. Например, если одна из облигаций в порфеле погашается через 30 лет, то предполагается, что портфель держится 30 лет и все промежуточные платежи (купонные выплаты и погашаемые номиналы) реинвестируются.

Пример 13.2. Для портфеля облигаций П(2000, 3000, 2000) из примера 13.1 рассчитать r_ср. и r_P.

Внутренние доходности облигаций В₁, В₂, В₃ равны соответственно: r₁ = 0,10347; r₂ = 0,13798; r₂ = 0,10053. Тогда согласно (13.2):

r_ср. = r₁ + r₂ + r₃ = 0,11742.

Внутреннюю ставку доходности r_P найдем из уравнения:

.

Методом линейной интерполяции с точностью до пятого знака после запятой получаем r_P = 0,11497.

Дюрация и показатель выпуклости портфеля облигаций.

Определение. Дюрацией D_P и показателем выпуклости С_P портфеля облигаций П(Ω₁,Ω₂,…,Ω_m) называется дюрация и показатель выпуклости облигации, эквивалентной портфелю.

Тогда

, (13.4)

, (13.5)

где r – значения годовых безрисковых процентных ставок в момент t = 0, одинаковые для всех сроков.

Свойства дюрации и показателя выпуклости портфеля облигаций.

1. Для дюрации и показателя выпуклости портфеля облигаций П(Ω₁, Ω₂,…, Ω_m) справедливы равенства:

, (13.6)

, (13.7)

где – доля облигаций j – го вида в портфеле, D_j и С_j – дюрация и показатель выпуклости облигаций j – го вида.

Доказательство. Согласно определению,

= =

= = ,

где использовано выражение (13.1) для членов потока платежей от портфеля.

Аналогично для показателя выпуклости:

= =

= = .

2. Если D_P и С_P – дюрация и показатель выпуклости портфеля П(Ω₁, Ω₂,…, Ω_m), то

,

.

Действительно, , так как . Одновременно . Второе неравенство устанавливается точно также.

3. Если число D таково, что , то всегда можно сформировать портфель, дюрация которого равна D (портфель с заранее заданным значением дюрации).

Доказательство. Составим систему:

(13.8)

ω_j 0, j = 1, 2,…, m.

Покажем, что эта система разрешима. Если D = D_k, где , то решением системы является следующий набор значений:

ω₁ = 0, …, ω_k = 1,…, ω_m = 0.

Если же D_k < D < D_{k + 1}, где , то решением системы является набор значений:

ω₁ = 0, …, ω_k = , ω_{k + 1} = , ..., ω_m = 0.

4. Пусть в момент формирования портфеля t = 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Если сразу после формирования портфеля процентные ставки для всех сроков мгновенно изменились на одну и ту же величину Δr, то относительное изменение цены портфеля приблизительно равно:

≈ (13.9)

или

≈ + . (13.10)

Возможность оценить изменение цены портфеля по формулам (13.9) и (13.10) следует из того, что портфель можно рассматривать как одну облигацию, дюрация которой равна D_P, а показатель выпуклости С_P (см. формулы (11.8), (11.9) для облигации).

Из равенств (13.9) и (13.10) следует, что дюрацию портфеля облигаций D_P можно рассматривать как меру процентного риска портфеля, а показатель выпуклости С_P показывает, насколько точно дюрация оценивает этот риск. Чем меньше С_P, тем лучше D_P оценивает чувствительность цены портфеля к изменению рыночных процентных ставок. В связи с этим можно сформулировать следующую задачу: сформировать портфель облигаций с заданным значением дюрации D и наименьшим показателем выпуклости. Эта задача сводится к следующей задаче линейного программирования:

(13.11)

ω_j 0, j = 1, 2,…, m.

(min)

5. Если заданное значение дюрации портфеля D удовлетворяет условию

, то задача линейного программирования (13.11) разрешима.

Действительно, для разрешимости задачи линейного программирования необходимо и достаточно, чтобы множество допустимых решений задачи было не пусто, а целевая функция ограничена снизу на множестве допустимых решений задачи. Согласно свойству 3, если число D удовлетворяет указанному двойному неравенству, то множество допустимых решений задачи (13.11) не пусто. Так как 0, то целевая функция ограничена снизу на множестве допустимых решений задачи. Свойство доказано.

Пусть T лет – срок, на который сформирован портфель облигаций (инвестиционный горизонт). Для оценки портфеля через t лет после покупки, где t [0, T], используем понятие стоимости инвестиции в портфель в момент t.

Если в момент формирования портфеля t = 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r и после покупки портфеля временная структура процентных ставок остается неизменной до окончания срока T, то Ω(r, t) – планируемая стоимость инвестиции в портфель в момент t [0, T]. Если сразу после формирования портфеля процентные ставки для всех сроков изменились на одну и ту же величину и остались на новом уровне в течение всего инвестиционного периода, то Ω( , t) – фактическая стоимость инвестиции в портфель в момент t [0, T]. Стоимости Ω(r, t) и Ω( , t) рассчитываются, исходя из тех же принципов, что и в случае облигации. Тогда

, (13.12)

, (13.13)

где R₁, R₂, …, R_n в моменты t₁ , t₂,…, t_n – ожидаемый поток платежей от портфеля.

Таким образом,

Ω(r, t) = R_t(r) + P_t(r),

Ω( , t) = R_t( ) + P_t( ),

где R_t(r) и R_t( ) – результат реинвестирования к моменту t доходов от портфеля под ставку r или соответственно; P_t(r) и P_t( ) – планируемая и фактическая рыночная стоимость портфеля в момент t.

Ω(r, t) и Ω( , t) обладают теми же свойствами, что и планируемая и фактическая стоимости инвестиции в облигацию. Тогда

Ω(r, t) = , (13.14)

Ω( , t) = . (13.15)

где Ω(r) = Ω – цена покупки портфеля, Ω( ) – оценка портфеля на момент t = 0, соответствующая новой временной структуре процентных ставок сразу после t = 0.

6. Иммунизирующее свойство дюрации портфеля.

Пусть D_P = D_P(r) – дюрация портфеля облигаций в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Тогда в момент времени, равный дюрации портфеля, t = D_P, фактическая стоимость инвестиции в портфель не меньше планируемой, т.е.

Ω ( , D_P) Ω (r, D_P) (13.16)

для любых значений .

Действительно, если портфель П(Ω₁, Ω₂,…, Ω_m) эквивалентен одной облигации без кредитного риска, то иммунизирующее свойство дюрации облигации (теорема 12.1) переходит в иммунизирующее свойство дюрации портфеля.

На этом свойстве дюрации портфеля облигаций основан принцип формирования иммунизированного портфеля. В 1952 году Ф. Реддингтон, один из основателей стратегии иммунизации, впервые ввел понятие иммунизации портфеля облигаций и сформулировал условие иммунизации: для защиты стоимости портфеля от изменений рыночной процентной ставки необходимо, чтобы дюрация портфеля совпадала с его инвестиционным горизонтом. Таким образом, чтобы сформировать иммунизированный портфель с инвестиционным горизонтом T лет, необходимо решить систему:

(13.17)

ω_j 0, j = 1, 2,…, m.

Если срок портфеля T удовлетворяет неравенству , то по свойству 3 дюрации портфеля система (13.17) разрешима. Тогда дюрация портфеля, сформированного в соответствии с решением системы (13.17), совпадает с его инвестиционным горизонтом, D_P = T, и по свойству 6

Ω ( ,T) Ω (r, T). (13.18).

Пример 13.3. Портфель формируется из купонных облигаций двух видов, характеристики которых на момент покупки портфеля (t = 0) приведены в таблице:

В облигации первого вида инвестировано 4000 д.е., в облигации второго вида – 6000 д.е. В момент покупки портфеля безрисковые процентные ставки для инвестиций на все сроки одинаковы и равны 9% годовых. Сразу после формирования портфеля процентные ставки снизились до 8% годовых, и затем уже не изменялись. Определить:

1) поток платежей от портфеля, его дюрацию и показатель выпуклости;

2) относительное изменение цены портфеля при изменении процентных ставок на рынке с 9 до 8% годовых;

3) планируемую и фактическую стоимости инвестиции в портфель в момент времени t = 2 года (момент погашения всех облигаций из портфеля);

4) планируемую и фактическую стоимости инвестиции в портфель в момент времени, равный дюрации портфеля (t = D_P).

Решение.

1) Рассчитаем характеристики облигаций, из которых формируется портфель. В момент формирования портфеля процентные ставки для всех сроков r = 0,09 годовых.

Расчет цен облигаций, их дюраций и показателей выпуклости в момент t = 0 приведен в таблицах:

Облигация А₁.

Облигация А₂.

Таким образом, в момент t = 0 цены облигаций А₁ и А₂ равны соответственно P₁ = 93,157 д.е. и P₂ = 98,241 д.е., их дюрации D₁ = 1,925032 лет и D₂ = 1,925291 лет, показатели выпуклости C₁ = 5,71351 лет² и C₂ = 5,70117 лет² .

Из облигаций вида А₁ и А₂ сформирован портфель П(4000, 6000), стоимость которого равна Ω = 10000 д.е. Инвестиции в облигации каждого вида Ω₁ = 4000 д.е., Ω₂ = 6000 д.е.

Члены потока платежей от портфеля П(4000, 6000) рассчитываются по формуле (13.1). Поток платежей от портфеля показан в таблице:

В следующей таблице показан расчет дюрации и показателя выпуклости этого портфеля по определению (формулы (13.4), (13.5)):

Таким образом, дюрация портфеля в момент его покупки D_P = 1,925187 лет, показатель выпуклости C_P = 5,70610 лет² .

Рассчитаем дюрацию и показатель выпуклости портфеля П(4000, 6000) по формулам (13.6) и (13.7). Определим доли облигаций в портфеле: , j = 1, 2. Согласно условию задачи, Ω₁ = 4000 д.е., Ω₂ = 6000 д.е., Ω = 10000 д.е. Тогда

= 0,4·D₁ + 0,6·D₂ = 0,4·1,925032 + 0,6·1,925291 = 1,925187,

= 0,4·C₁ + 0,6·C₂ = 0,4·5,71351 + 0,6·5,70117 = 5,70610.

2) Рассчитаем относительное изменение цены портфеля при изменении процентных ставок на рынке сразу после формирования портфеля с 9 до 8% годовых. Так как r = 9%, Δ r = – 0,01, D_P = 1,925187, C_P = 5,70610, то согласно (13.10)

≈ + = 0,017902,

где ΔΩ = Ω(0,08) – Ω(0,09), Ω = Ω(0,09) = 10000 (д.е.).

В результате снижения процентной ставки цена портфеля увеличилась и приблизительно стала равной

Ω(0,08) = Ω(0,09) + Ω(0,09)· 0,017902 = 10179,02.

3) Рассчитаем планируемую и фактическую стоимости инвестиции в портфель П(4000, 6000) в момент времени t = 2 (момент погашения всех облигаций из портфеля). В момент формирования портфеля безрисковые процентные ставки для всех сроков составляли r = 9% годовых. Сразу после формирования портфеля процентные ставки снизились до = 8% годовых.

Цена покупки портфеля согласно условию задачи Ω = Ω(0,09) = 10000 д.е. Планируемая стоимость инвестиции в портфель на момент t = 2 согласно (13.14) составляет