= = .

Проверим правильность нахождения

=ּ=

= , значит, матрица

построена верно (равенство А₁^-1  А₁ = Е проверить самостоятельно).

Найдем решение системы (3):

=ּ=ּ = =

= = .

Следовательно, обозначив получим решение исходной системы уравнений (2):

(5)

Заметим, что формулы (5) совпадают с формулами (4), что естественно, так как это решения одной и той же системы уравнений (2), полученные разными методами.

Анализируя данный пример, можно сделать вывод, что формулы Крамера и матричный метод можно применять для решения систем линейных алгебраических уравнений, для которых r(A) = r(С) < n. Алгоритм решения таких систем достаточно прост:

– система «укорачивается» до невырожденной,

– решается по формулам Крамера или матричным методом;

– свободной переменной или переменным (их может быть несколько) присваиваются произвольные значения .

В итоге «не укороченная» система имеет бесконечное множество решений.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (1), когда правая часть равна нулю, то есть . Такая система уравнений называется однородной. Так как в этом случае матрица А системы и расширенная матрица С этой же системы отличаются лишь тем, что в матрице С есть дополнительный нулевой столбец, то r(A) = r(С), и по теореме Кронекера-Капелли однородная система всегда совместна, то есть всегда имеет решение: единственное или бесконечное множество. Если система имеет единственное решение , то оно называется тривиальным.

Важно установить, когда однородная система уравнений имеет ненулевое решение. По теореме Кронекера-Капелли это будет в случае, если

r(A) = r(С) = k < n, то есть когда система имеет бесконечное множество решений. Если однородная система содержит n уравнений с n неизвестными, то она будет иметь ненулевые решения тогда и только тогда, когда 0. Иначе, если , то АХ=0 Х= , то есть если определитель системы не равен нулю, то решение будет единственным – нулевое (тривиальное).

Пример. Исследовать на совместность и решить систему линейных алгебраических уравнений

Решение.

det A= = = <3,

и система имеет бесконечное множество решений.

Найдем минор второго порядка отличный от нуля: .

Следовательно, первое и второе уравнения системы являются линейно-независимыми, а третье выражается через первые два, поэтому отбросим третье уравнение. Так как отличный от нуля минор состоит из коэффициентов при и , то эти переменные будут базисными, а – свободной. Получим систему из двух уравнений:

Сложив первое и второе уравнения, получим .

Отсюда ,

.

Таким образом, решением исходной системы будет:

Задавая произвольные значения переменной t , мы получаем каждый раз новое решение исходной системы, то есть система имеет бесконечное множество решений.

4. МЕТОД ГАУССА

Рассмотрим еще один метод решения систем линейных алгебраических уравнений – метод Гаусса, который применим к любой системе линейных алгебраических уравнений. Иногда этот метод называют методом последовательного исключения неизвестных. Заметим, что при использовании этого метода мы также автоматически будем вычислять ранг матрицы системы.

Итак, пусть задана система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

(6)

В матричном виде система (6) записывается АХ=В, где А – прямоугольная матрица размера mn:

А= , а Х и В – матрицы-столбцы: Х= , В= .

Если в результате преобразований матрицы системы получится треугольная матрица, то система будет иметь вид:

где

Из последнего уравнения можно найти , а затем, подставляя найденное в предпоследнее уравнение, найти и т.д. В итоге будем иметь единственное решение , , …, . В этом случае ранг матрицы А системы уравнений равен n.

Если в результате преобразований матрицы системы получится трапециевидная матрица, то система примет вид:

где

В этом случае k<n, следовательно, система уравнений будет неопределенной, то есть будет иметь бесконечное множество решений, так как она содержит n – k свободных переменных:

Придавая свободным переменным , , …, произвольные значения, будем иметь каждый раз новое решение исходной системы уравнений, то есть решений будет бесконечное множество. В этом случае ранг матрицы А системы равен k.

Если в результате преобразований получено уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля, то такая система будет несовместной, то есть не иметь решения.

Следует отметить, что треугольная или трапециевидная форма системы уравнений получалась ввиду предположения, что коэффициенты отличны от нуля. Если же какой-либо из этих коэффициентов равен нулю, то система уравнений приобретет треугольную или трапециевидную форму лишь после надлежащего изменения нумерации неизвестных.

В заключение отметим, что метод Гаусса применяется и для однородных систем линейных алгебраических уравнений. В этом случае, если получаем треугольный вид системы уравнений, то она будет иметь единственное (нулевое) решение = = …= =0, если же получаем трапециевидный вид системы, то будем иметь бесконечное множество решений.

При решении системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса удобно выписать расширенную матрицу системы и все преобразования выполнять над строками и столбцами расширенной матрицы.

Рассмотрим примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Пример 1.

Решение.

Выпишем расширенную матрицу системы:

~ (не меняя первую строку, вычтем из второй

строки первую, из третьей вычтем первую строку, умноженную

на 3) ~ ~ (первую и вторую строки не меняем,

а из третьей вычтем вторую, умноженную на 4) ~ .

Получили матрицу А треугольного вида, причем на диагонали элементы отличны от нуля. Следовательно, ранг матрицы А равен 3, ранг расширенной матрицы также равен 3, и по теореме Кронекера-Капелли исходная система совместна, причем имеет единственное решение. Получим это решение.

Согласно последней матрице исходную систему можно записать в виде:

Из последнего уравнения имеем, что = –1. Подставляя во второе уравнение, получим Подставляя и

в первое уравнение, получим

Ответ:

Пример 2.

Решение.

Выпишем расширенную матрицу системы:

~ (первую и четвертую строки не меняем, из

второй строки вычтем первую, умноженную на 3, из третьей строки вычтем

первую) ~ ~ (первую и вторую строки не меняем, из третьей строки вычтем вторую, умноженную на , а из четвертой вычтем вторую, умноженную на ) ~ ~

~ (первую, вторую и третью строки не меняем, к четвертой строке

прибавим третью) ~ .

В итоге получили трапециевидную матрицу А. Следовательно, если бы последняя строка расширенной матрицы была нулевой, то исходная система уравнений имела бы бесконечное множество решений.

Так как она дает уравнение , которое не имеет решения, то исходная система является несовместной, то есть не имеет решений.

Пример 3.

Решение.

Выпишем расширенную матрицу системы:

~ ~ (разделим третью

строку на 2)~ ~ (так как три строки одинаковые, то

две из них можно отбросить) ~ .

В итоге получили трапециевидную матрицу. Следовательно, исходная система уравнений неопределенная, то есть имеет бесконечное множество решений. Заметим, что ранг матрицы А равен двум.

Соответствующая система уравнений имеет вид:

В качестве свободных («лишних») переменных примем переменные и , так как минор соответствует переменным и . Получим:

Следовательно,

Подставим в первое уравнение:

Таким образом, найдено решение исходной системы линейных алгебраических уравнений.

Обозначив, получим решение исходной системы

Придавая произвольные числовые значения, каждый раз будем иметь новое решение системы.

Более подробное изложение методов решения систем ЛАУ можно найти в книгах [ 1-4 ].

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1. Найти ранг матрицы А

а) , б) , в) , г) ,

д) , е) , ж) , з) ,

и) , к) , л) , м) ,

н) , о) , п) ,

р) , с) .

2. Найти ранг матрицы А, используя метод нулей и единиц, и записать какой-либо базисный минор

а) , б) , в) ,

г) .

3. Исследовать на совместность систему линейных алгебраических уравнений и, если она совместна, решить ее матричным способом

а) б)

в) г)

4. Исследовать на совместность систему линейных алгебраических уравнений и, если она совместна, решить ее по формулам Крамера

а) б)

в) г)

5. Исследовать на совместность систему линейных алгебраических уравнений и, если она совместна, решить ее методом Гаусса

а) б)

в)

6. Исследовать на совместность систему линейных алгебраических уравнений и, если она совместна, решить ее матричным способом, по формулам Крамера и методом Гаусса

а) б)

в)

7. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений

а) б)

в) г)

д)

ОТВЕТЫ

1. а) 1; б) 1; в) 2; г) 1; д) 2; е) 2; ж) 2; з) 2; и) 1;

к) 0; л) 2; м) 2; н) 3; о) 3; п) 3; р) 1; с) 3.

2. а) 2; б) 3; в) 3; г) 4.

3. а) ; б) ;

в) система несовместна; г) .

4. а) ; б) ;

в) ; г) система несовместна.

5. а) ; б) ;

в) система несовместна.

6. а) ; б) ;

в) система несовместна.

7.а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Исследовать на совместность и решить систему линейных алгебраических уравнений

а) матричным способом;

б) с помощью формул Крамера;

в) методом Гаусса:

Значения и приведены в таблице 1.

Таблица 1.

2. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений:

Значения приведены в таблице 2.

Таблица 2

ЛИТЕРАТУРА

1. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика. – Мн.: Выш. шк., 1992.- 384 с.

2. Гусак А.А. Справочное пособие к решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра. – Мн.: Тетрасистемс, 1998.- 288 с.

3. Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Часть 1. –Мн.: Амалфея, 1999. – 208 с.

4. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов.

I семестр. М.: Новое знание, 2002.- 140 с.

5. Коваленко Н.С., Минченков Ю.В., Овсеец М.И. Высшая

математика. Учеб. пособие.-Мн.: ЧИУП, 2003. – 32 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция. Системы линейных алгебраических уравнений………... 3

1. Понятие системы ЛАУ. Решение системы ЛАУ

матричным способом………………………………………….3

2. Формулы Крамера……………………………………………...7

3. Совместность систем ЛАУ. Ранг матрицы.