Файл: Оптимизация решений по Парето в РФ.pdf

F₂=F₁(ϕ₁(λ), ..., ϕ_n(λ)), λ≥0.

Пример 1. В D={-1≤ x₁ ≤ 1, -1≤ x₂ ≤ 1} заданы два

которые желательно .

1. Находим минимумы F₁ и F₂ . Абсолютные минимумы в точках (0,0) и (-1,1) и принадлежат D.

2. Находим частные

составляем систему :

4x₁=-λ (x₁+1)

x₂=-λ (x₂-1).

Отсюда получаем уравнение кривой в параметров

В данном можно получить этой кривой в прямоугольных координатах. этого решаем уравнения относительно λ. Получим

Приравнивая части и разрешая x₂, получим уравнение кривой P: .

Параметрическое КК будет следующий вид

F₁(λ)=

F₂(λ)=.

КК: F₁ возрастает 0 до 5, а F₂ убывает 2 до 0.

Построим паретовских кривых в D и пространстве критериев (. 6 и 7).^[10]

Рис. 6 Область D и P Рис. 7 Компромиссная

Пример 2. В области D={-0.5 ≤ x₁ ≤ 0.5, 0 ≤ x₂ ≤ 1} два критерия

нужно минимизировать с функциональных ограничений ⎥x₂-x₁-0.375⎥ ≥ 0.125.

а) сначала случай функциональных ограничений

1. минимумы функций^[11] F₁ и F₂. минимумы находятся в X_1opt=(0,0) и X_2opt=(-1,1) и первая точка D, а вторая нет. условный минимум функции F₂: X_2услов=(-0.5, 1); находим F2(-0.5,1)=0.25, F1(-0.5,1)=4.25.

2. Находим частные

составляем систему

2x₁=-λ (x₁+1),

8x₂=-λ (x₂-1).

Отсюда получаем уравнение кривой в параметров

В данном можно получить этой кривой в прямоугольных координатах. этого решаем уравнения относительно λ. Получим:

Приравнивая части и разрешая x₂, получим уравнение кривой P: . Найдём пересечения кривой с x₁=-0.5. Xп=(-0.5; 0.2). Это случаю, когда λ от 0 до 1 (0≤ λ≤1).^[12]

уравнение КК иметь следующий (когда точки X_1opt=(0,0) и X_2opt=(-1,1) области D)

F₁(λ)=

F₂(λ)=.

Закономерность : F₁ возрастает от 0 4.25, а F₂ убывает от 2 0.

Построим графики кривых в области D и критериев (рис. 8 и 9).

. 8 Область D и множество P . 9 Компромиссная кривая

Xп

. 10

Пространство оценок и кривая

б) введём ограничения. Область D в случае будет вид (рис. 11). условный минимум функции F₁ и F₂ . Они в точках X_1opt=(0,0) и X_2opt=(-0.5, 1). Как из полученных точки минимумов изменились.^[13]

Рис. 11 D Рис. 12 Пространство

Из рассмотренного видно, что множества P в аналитическом является сложной . Поэтому в настоящее широко используются методы построения оптимальных по (см. раздел " методы получения Парето").

1.4 Способы Парето-оптимального

Выделение множества МЗО часто является удовлетворительным . Это связано с , что при большом исходном вариантов множество оказывается недопустимо для того, ЛПР было в состоянии осуществить самостоятельно. Таким , выделение множества можно рассматривать как предварительный оптимизации, и налицо дальнейшего сокращения множества.

Для одной оптимальной из множества решений в каждой многокритериальной задаче использовать дополнительную о цели операции, т.е. информацию, которая задании векторного осталась неформализованной и неиспользованной.^[14]

Наиболее и последовательным представляется построения бинарного предпочтения, более , чем отношение , позволяющего сузить выбираемых вариантов приемлемых с точки ЛПР размеров. , для этого некоторая дополнительная , которую придётся от ЛПР. может быть о критериях, о самих вариантах и т.п. Задача, перед создателями , заключается в том, с помощью этой обосновать свои по сужению и гарантировать ЛПР того, чтобы один из , представляющих для интерес, не потерян в процессе .

Необходимо отметить, необоснованность сужения Парето является недостатком многих многокритериальной оптимизации.

образом, общая исследования задач решения на математического моделирования МЗО может реализована в рамках из следующих .

Первый подход. заданной многокритериальной оптимизации находится её Парето- решений, а выбор оптимального варианта множества Парето- предоставляется ЛПР.

подход. Как было сказано , производится сужение Парето-оптимальных (в идеале – до элемента) с помощью формализованных процедур, облегчает окончательный для ЛПР. , что такое может быть только при дополнительной информации о или свойствах решения.

Рассмотрим простейшие способы Парето-оптимального , акцентируя при внимание на дополнительной информации. , что задана задача оптимизации.

верхних границ . Дополнительная информация оптимальном исходе ∈D в этом случае вид:^[15]

(1)

Число рассматривается здесь верхняя граница i – му критерию.

, что указание границ по не может "извлечено" из модели задачи решения; набор (C₁, C₂, , C_m) представляет дополнительную информацию, от ЛПР.

. Выбор места :

Предположим, что предстоит выбрать работы из вариантов, представленных в .1. В качестве основных взяты: зарплата З, отпуска Д, время на работу В. смысла задачи , что критерии З и Д максимизировать, а критерий В – . Какой вариант оптимальным?

Таблица 1

. Выделим вначале -оптимальные варианты. доминируемые по варианты {1, 2, 8, 9}, получаем -оптимальное множество {3, 4, 5, 6, 7}. отсутствии информации относительной важности критериев, а также о -либо дополнительных оптимального решения сужение Парето- множества произвести . Тогда формальный заканчивается указанием -оптимального множества и выбор оптимального производится ЛПР этих пяти на основе -то дополнительных .^[16]

Рассмотрим теперь подход, который к сужению Парето- множества на дополнительной информации, от ЛПР.

а) нижних границ . Наложим, например, ограничения на решение:

зарплата — менее 600 рублей;

отпуска — не 30 дней;

время — не более 40 .

Варианты, удовлетворяющие дополнительным ограничения: {3, 6, 9}; них оптимальными Парето являются 3 и 6. Остаётся сделать выбор между 3 и 6.

б) Субоптимизация. Пусть в выделенного (главного, ) критерия выступает зарплата; ограничения отпуска — не 30 дней, время — не более 40 . Отбросим варианты, не удовлетворяют ограничениям; остаются : {2, 3, 5, 6, 9}. Из них зарплату имеет 3. Этот вариант и оптимальным.^[17]

в) Лексикографическая . Упорядочим критерии относительной важности. , следующим образом: (т.е. критерий — зарплата, за ним важности время , наименее важный длительность отпуска). значение по З имеют варианты 1 и 7. сравниваем эти по второму важности критерию В. как время для этих одинакова, переходим к критерию Д; по длительность отпуска является вариант 7, и является здесь .

2. Численные методы множеств Парето

используют следующий . Во множестве D некоторая сетка, , координаты которой с помощью датчика чисел, распределённых равномерному закону. вычисляют значения критерия F в точках сетки, после за конечное сравнений, используя выбора по , строится множество на указанной , являющееся при N приближением множества относительно D (N – число сетки).

В рассмотренных моделях оптимизации выбора наилучшего (оптимального плана) при помощи максимизации скалярной , которая таким отражает степень целей объекта и часто называется функцией.^[18]

Однако такой целевой для реального объекта представляет , как правило, трудную задачу. этого связаны с характером целей , влиянием не экономических, но и факторов, сложностью полезности конечных хозяйственной деятельности и т.п. некая синтезированная цель производственного часто может выражена лишь в форме, но не поддается при помощи выраженной скалярной функции. В связи с оказывается перспективным , что объект перед собой достижения не общей цели, имеет в виду целей, каждой которой отвечает целевая функция. подход позволяет задачу выбора решения как многокритериальной оптимизации множестве Z допустимых интенсивностей технологических .

Пусть f _l ( z ) ( l = 1, ..., L ) целевые , соответствующие системе L производственного объекта, на множестве Z . этом большему f _l отвечает более степень достижения l - цели. Можно , что требуется решение задачи оптимизации.

В данной векторная целевая f ( z ) выступает в виде между различными и позволяет условно некоторую, вообще , некорректную математическую , в которой требуется план, который бы точкой максимума для нескольких различных функций. Для того, чтобы хотя бы частично устранить эту неправильность, используются некоторые примирительные определения решений многокритериальной задачи.

Вообще говоря, оптимум Парето не является единственным. Совокупность всех таких оптимумов образует множество Парето, которое может иметь сложную структуру. Чаще всего представление о множестве Парето дается при помощи графического изображения в пространстве частных целевых функций (критериев).

Проблема описания множества Парето в конкретной задаче многокритериальной оптимизации оказывается обычно очень сложной и решается путем последовательного решения серии вспомогательных однокритериальных задач. При этом используется, в частности, тот факт, что оптимальный план всякой задачи вида является оптимумом Парето. Следовательно, изменяя коэффициенты, можно построить некоторый набор точек множества Парето.^[19]

Заключение

Процедура решения многокритериальной задачи методом последовательных уступок заключается в том, что все частные критерии располагают и нумеруют в порядке их относительной важности; максимизируют первый, наиболее важный критерий; затем назначают величину допустимого снижения значения этого критерия и максимизируют второй по важности частный критерий при условии, что значение первого критерия не должно отличаться от максимального более чем на величину установленного снижения (уступки); снова назначают величину уступки, но уже по второму критерию и находят максимум третьего по важности критерия при условии, чтобы значения первых двух критериев не отличались от ранее найденных максимальных значений больше чем на величины соответствующих уступок; далее подобным, же образом поочередно используются все остальные частные критерии; оптимальной обычно считают любую стратегию, которая получена при решении задачи отыскания условного максимума последнего по важности критерия.