Файл: pz4_srp.doc

4 HРРАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

4.1 Общие сведения о СРП

Система с распределенными параметрами – это система, в которой практически все сигналы (особенно входной и выходной) зависят от пространственных координат и времени.

Есть среды, которые не могут быть описаны в сосредоточенных параметрах (электромагнитное поле, электростатическое поле, течение потока, гравитационное поле, температура).

Система с сосредоточенными параметрами является частным случаем СРП и вводится для упрощения и решения задач на первом (нулевом) этапе.

Практически все природные явления и функции могут быть описаны следующими уравнениями:

• уравнением теплопроводности;

• уравнением Пуассона;

• уравнением колебания стержня (продольное и поперечное);

• уравнением колебания мембраны.

Основной характеристикой СРП является континуальная передаточная функция [12]. Она показывает отношение выходной функции к входной (по Лапласу) в привязке к конкретной точке.

В искомой задаче выходная функция будет обозначаться буквой Q(x, t), где x – трехмерная переменная в декартовых, цилиндрических и сферических координатах, f(x, t ) – входная координата по среде, зависящая от трехмерной координаты x и времени t.

Основное уравнение задачи записывается в виде:

где l – так называемый оператор дифференциального уравнения – это формула преобразования выходной величины Q.

В каждой задаче определяются граничные или краевые условия

где Г – оператор граничных или краевых условий.

g – входное воздействие на границе в каждый момент времени.

Для того, чтобы решить задачу во всей области координат, необходимо знать ее значения в каждой точке по границе области.

Начальные условия для задачи записываются в виде:

где N – оператор начальных условий;

Q₀(x) – значение искомой функции в заданный момент времени t₀ в каждой точке пространства x.

Получили систему:

(45)

Необходимо знать:

• Значение функции на границе в каждый момент времени .

• Значение в каждой точке области в момент времени t₀.

В указанном виде система (45) практически не разрешима. Вводится в рассмотрение так называемая стандартная форма записи (45). Она подразумевает нулевые граничные и начальные условия. Ее вид:

(46)

где w(x, t) – стандартизующая функция.

при Г=0, N=0 – входное воздействие на систему при нулевых граничных и начальных условиях и первая из трех основных функций, которая понадобится при решении (берется из справочника).

Второй функцией является функция Грина (импульсная переходная функция, функция влияния, функция источника, функция веса).

Функцией Грина называется функция источника, которая равна выходному сигналу

;

при ,

где - пространственная  - функция по координатам x, y, z.

-  - функция по времени;

x – координаты входного возмущения;

 - координаты точки отклика от удара.

---

С учетом этого стандартная задача (29) перепишется в виде:

(47)

где функция Грина от G(x, t) берется из справочника и является второй основной характеристикой.

Зная эти две характеристики можно найти выходную функцию по следующему выражению:

(48)

Если задача статическая, то есть отсутствует уравнение времени t, то ее можно записать в виде:

(49)

Стандартная форма записи будет выглядеть в виде:

(50)

при однородных (нулевых) граничных условиях.

Функция Грина такой задачи удовлетворяет системе уравнений:

(51)

x – координаты возмущения;

 - координаты отклика.

Решение задачи в этом случае выглядит следующим образом

. (52)

Бывают задачи, в которых отсутствуют пространственные координаты, т.е. процесс во времени. В таком случае задача записывается следующим образом:

(53)

Стандартная форма записи:

(54)

Функция Грина:

(55)

Решение такой задачи имеет вид:

(56)

Таким образом, для решения этой задачи принципиально достаточно трех формул (48), (52), (58), то есть по двум справочным функциям (нормирующей и Грина) можно всегда определить выходную функцию Q.

Для цели управления и синтеза системы управления, исходя из ТАУ, необходимо знать передаточную функцию. В теории СРП вводится понятие так называемой континуальной передаточной функции [13], т.е. точечной передаточной функции, в пределах области D, когда возмущение подается на среду в точке x функциями: и , а реакция регистрируется в точке .

Континуальная передаточная функция выражается следующим образом:

. (57)

По сути, континуальная передаточная функция – это преобразование Лапласа функции Грина, т.е. при этих функциях континуальная передаточная функция является производной и всегда может определиться по функции Грина.

Таким образом, для решения задачи по СРП необходимо знать две функции: нормирующую функцию и функцию Грина.

Теория СРП включает так называемый структурный метод ТАУ, который подразумевает операции с распределенными блоками:

• блоки соединяются последовательно;

• блоки соединяются параллельно;

• включение второго блока в обратную связь.

В связи с этим вводится понятие операторного изображения выходной величины. В теории распределенных блоков выходная величина определяется следующим образом:

, (58)

где - изображение по Лапласу выходной величины решаемой задачи;

- континуальная передаточная функция;

- изображение по Лапласу нормирующей функции.

Если удается из нормирующей функции выделить в явном виде компоненту входной координаты с помощью специальных средств или методов

, (59)

то уравнение (58) перепишется в виде:

(60)

С помощью двух способов (коэффициент разложения и коэффициент приближения) по возможности выносится входное возмущение (по Лапласу) за знак интегрирования, получим:

---

(61)

Полученное выражение (61) – отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входного возмущения, как интеграл по области D континуальных функций, называется интегральной передаточной функцией (функция Власова).

4.2 Порядок выполнения расчета СРП

По заданному дифференциальному уравнению объекта в распределенных параметрах, пользуясь основами «теории структурных схем» получить выражение для передаточной функции в распределенных параметрах, выражение для выходной величины, выражение для оценочной передаточной функции для наихудших условий управления.

Построить оценочную ЛАЧХ, аппроксимировать ее с погрешностью 5% инерционно-форсированными звеньями и записать выражение передаточной функции через типовые звенья.

Исходные данные:

;

;

;

,

где .

В начале расчета необходимо провести идентификацию выходной величины Q, входного возмущения f и координат x, t в соответствии с темой дипломного проекта.

Входным возмущением f(x, t) является поток тепла от нагревательного элемента, приложенного к стержню в точке 0:

 - это координата точки, в которой необходимо отыскать выходную величину Q как функцию отклика на возмущение,  изменяется в пределах 0    +.

Q – это выходная величина, соответствующая температуре стержня после воздействия на него теплового потока.

Начальные условия с учетом этих допущений запишутся в виде:

,

что соответствует температуре окружающей среды, которая равна температуре стержня в начальный момент времени.

Граничные условия зададим нулевые:

Таким образом, выходная величина запишется в виде уравнения (48):

Нормирующая функция

(62)

Для определения интегральной передаточной функции необходимо найти операторное выражение выходной величины, которое будет иметь вид выражения (41).

Так как континуальная передаточная функция известна, то необходимо определить изображение по Лапласу нормирующей функции по формуле (59)

(63)

Таким образом, операторное изображение выходной величины запишется:

интегральная передаточная функция перепишется в виде:

(64)

Для конкретного случая рассматривается изменение температуры на отрезке [0, 100] , следовательно,  изменяется в пределах от 0 до 100.

Таким образом, передаточная функция, вычисленная с помощью программы Mathcad, запишется в виде:

При замене оператора р на j, выражение будет:

(65)

Будем рассматривать процесс в точке х = 1 при значении параметра а=2.

Разделив полученное выражение на действительную и мнимую части, найдем выражение для ЛАЧХ и ЛФЧХ с помощью программы Mathcad по формулам:

; (66)

, (67)

где U(ω) и V(ω) – действительная и мнимая части.

С помощью программы Mathcad найдем функции L(ω) и ψ(ω) и построим их графики.

При проведении аппроксимации сопрягающая частота будет:

ω₁ = 12 => Т₁ = 0,083;

20 ℓg k = 288 => k = 10 ^14,4

С помощью аппроксимации передаточная функция запишется в виде [14]:

---

W = 10^14,4 p⁵⁰ (0,083p+1)¹⁵⁰ (68)

На рисунке 10 показаны фактическая L() и аппроксимированная N() ЛАЧХ.

На рисунке 11 изображены фактическая () и аппроксимированная ψ() ЛФЧХ.

---

Р

ω

L(ω),

N(ω)

исунок 10 – Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (фактическая и аппроксимированная)

φ(ω),

ψ(ω)

ω

Рисунок 11 – ЛФЧХ системы (фактическая и аппроксимированная)

---