1.8 Политика и процедура курса Предлагаемый курс научит Вас стать компетентным в области начертательной геометрии, черчения.

По курсу «Начертательная геометрия» предусмотрены следующие виды работ и контроля: лабораторные работы, обязательные графические работы, решения задач, рубежный контроль.

Все виды работ необходимо выполнять и защищать в указанные сроки.

Студенты, не выполнившие все виды контроля, к экзаменам не допускаются. Итоговый контроль (экзамен) считается сданным в случае набора студентом  50%. Студент допускается к сдаче итогового контроля (экзамена) при выполнении и своевременной отчетности по всем видам контроля и при наличии суммарного рейтингового процента  50%.

2. Содержание активного раздаточного материала.

Таблица 6

2.1 Тематический план курса.

Наименование темы	Количество академических часов
	Лекц.	Лаб.	СРСП	СРС
1	2	3	4	5
1. Введение. Метод проекций. Эпюр Монжа. Прямые общего и частного положения на эпюре Монжа.	2	4	6	6
2. Плоскость. Позиционные задачи.	2	4	6	6
3. Многогранники.	3	6	8	8
4. Метрические задачи. Способы преобразования чертежа.	2	4	6	6
5. Кривые линии и поверхности. Пересечение поверхности плоскостью и прямой.	2	4	6	6
6. Взаимное пересечение поверхностей. Развертки многогранных и кривых поверхностей.	2	4	6	6
7. Проекции с числовыми отметками. Позиционные задачи в проекциях с числовыми отметками.	2	4	6	6
Всего (часов)	15	30	45	45

2.2 Конспект лекционных занятий.

Лекция 1. Введение. Метод проекций. Эпюр Монжа.

Начертательная геометрия, являясь одним из разделов математики, изучает методы отображения трехмерного пространства на плоскость и способы графических решений пространственных задач на чертеже.

Г еометрические фигуры делятся на линейные (точка, прямая, плоскость), нелинейные (кривая линия, поверхность), составные (многогранники и др.). Основным элементом пространства принято считать точку, поэтому все геометрические фигуры представляются как множества точек. Основным методом начертательной геометрии является метод проецирования.

Центральное проецирование. Центральное проецирование состоит из центра проецирования S и плоскости проекций П_i . Для построения проекции точки А_i некоторой точки А пространства выполняют следующие операции:

- строят проецирующую прямую SA;

- определяют точку А_i пересечения SA с плоскостью П_i.

Свойства центрального проецирования:

1. проекцией точки является точка: АА_i;

2. прямая проецируется в прямую: mm_i (проецирующая прямая проецируется в точку);

3. сохраняется принадлежность: С m ® C_iÎ m_i.

---

Параллельное проецирование. Параллельное проецирование является частным случаем центрального проецирования, когда центр проецирования S становится несобственным. Поэтому обычно вместо несобственного центра проецирования S ^ говорят о направлении проецирования s. Первые три свойства центрального проецирования будут справедливыми и в случае параллельного проецирования. Свойства параллельного проецирования:

4. сохраняется параллельность: аb ® a_i b_i.

5. о тношения длин проекций отрезков параллельных прямых к длинам самих отрезков постоянны;

6. Отрезки прямых, плоские фигуры, параллельные плоскости проекций, проецируются без искажения (в натуральную величину).

Прямоугольное проецирование. Если направление s параллельного проецирования перпендикулярно плоскости П_i , то проецирование называется прямоугольным (ортогональным). Все свойства параллельного проецирования справедливы в случае прямоугольного проецирования.

7 .

где  - угол между отрезками АС, ВС и плоскостью проекций П_i (рисунок 1.2).

П равило прямоугольного треугольника. Натуральная величина отрезка АВ равна гипотенузе прямоугольного треуголь­ника, один катет которого равен проек­ции отрезка на П_i , а второй катет – раз­ности расстояний концов отрезка до этой плоскости проекций.

Теорема. Прямоугольной проекцией прямого угла является также прямой угол, если одна его сторона параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей (рисунок 1.3).

Требования, предъявляемые к чертежу. К чертежу предъявляются следующие требования: обратимость, точность, простота, наглядность. Чертеж называется обратимым, если по изображению фигуры можно восстановить ее форму, размеры и положение в пространстве. В инженерной практике широко используются обратимые чертежи: - эпюр Монжа, аксонометрия, линейная перспектива, проекции с числовыми отметками.

Чертеж Монжа – основной вид обратимого изображения. Французский математик и инженер Гаспар Монж (1746-1818гг.), систематизировав и обобщив накопленные к тому времени знания по теории и практике построения изображений предметов пространства, предложил получать их изображения путем прямоугольного проецирования на две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. В зависимости от этого также чертежи называют двухкартинными (рисунок 1.4) или трехкартинными (рисунок 1.5). На рисунке 1.4а видно, что плоскости П₁(фронтальная), П₂ (горизонтальная) д елят пространство на четыре части, называемые четвертями. Полученный чертеж на рисунке 1.4б является обратимым, так как по нему можно определить координаты точки А в пространстве. Следовательно, на двухкартинном чертеже можно решать любые позиционные и метрические задачи.

Трехкартинный чертеж Монжа получается из двух картинного путем добавления третьей плоскости проекций П₃, перпендикулярной оси Оx (рисунок 1.5). Эта плоскость называется профильной плоскостью проекций.

---

Плоскости П₁, П₂, П₃ делят пространство на восемь частей, называемых октантами. Построение третьей проекции по двум заданным показано на рисунке 1.5б. В ряде случаев на чертеже Монжа не указываются проекции осей координат. Такие чертежи принято назвать безосными.

Основная литература: 1 осн.8-20 , 2 осн. 4-30 

Дополнительная литература: 1 доп.[7-14].

Контрольные вопросы:

1.Что составляет предмет начертательной геометрии?

2. Перечислите свойства центрального проецирования.

3. Перечислите свойства параллельного проецирования.

4. Перечислите основные требования, предъявляемые к чертежу.

5. Что называют ортогональной проекцией точки?

6. Как образуются проекции точки на плоскостях П₁, П₂, П₃?

7. Что называют координатами точки пространства в декартовой системе координат и какие координаты на эпюре определяют ее горизонтальную, фронтальную проекции?

Лекция 2. Прямые общего и частного положения на эпюре Монжа.

Т
ак как прямая m однозначно определяется двумя точками А и В, то ее проекции определяются проекциями этих точек (рисунок 2.1). В силу сохранения свойства принадлежности при проецировании проекции прямой проходят через одноименные проекции точек: m₁(A₁,B₁); m₂(A₂,B₂); m₃(A_.3,B₃).

П рямая, расположенная совершенно произвольно относительно плоскостей проекций, называется прямой общего положения. На рисунке 2.1 показана прямая общего положения.

Прямая, параллельная какой-либо плоскости проекций, называется прямой уровня (рисунок 2.2). Прямая АВ, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой (горизонталь) h.

Прямая CD, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной прямой (фронталь) f.

Прямая EF, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой p. Отрезки прямых уровня проецируются без искажения на соответствующую плоскость проекций.

Прямая, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называется проецирующей (рисунок 2.3). Признаком проецирующей прямой является вырождение какой-либо ее проекции в точку. Проецирующая прямая называется:

- горизонтально-проецирующей, если она перпендикулярна П₂;

- фронтально-проецирующей, если она перпендикулярна П₁;

- профильно-проецирующей, если она перпендикулярна П₃.

Следы прямой. Точка пересечения прямой с какой-либо плоскостью проекций называется ее следом на этой плоскости проекций.

А
ппликата горизонтального следа М = lП₂ прямой а равна нулю, поэтому его фронтальная проекция М₁ принадлежит оси x₁₂. Аналогично, фронтальный след N = lП₁ имеет ординату, равную нулю, следовательно, его горизонтальная проекция N₂ принадлежит оси x₁₂.

Для построения горизонтального следа М прямой l необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью x₁₂ и в этой точке восставить к оси перпендикуляр до пересечения с горизонтальной проекцией прямой. Для построения фронтального следа N прямой l нужно из точки пересечения горизонтальной проекции ее с осью x₁₂ восставить к оси перпендикуляр до пересечения с фронтальной проекцией прямой.

---

Основная литература: 1 осн.21-22 , 2 осн. 31-34 

Дополнительная литература: 1 доп.[15-17].

Контрольные вопросы:

1. Какую прямую называют прямой общего положения?

2. Перечислите прямые частного положения?

3. Какие прямые называются прямыми уровня?

4. Какие прямые называются проецирующими прямыми линиями?

5. Что называют следом прямой?

6. Как построить горизонтальный и фронтальный следы прямой?

Лекция 3. Плоскости общего и частного положения на эпюре Монжа.

П
оложение плоскости в пространстве можно определить: тремя точками, не лежащими на одной прямой (рисунок 3.1а), прямой и точкой вне ее (рисунок 3.1б), двумя пересекающимися (рисунок 3.1в) или прямыми (рисунок 3.1г), любой плоской фигурой (рисунок 3.1д). Каждый последующий вид задания плоскости может быть получен из предыдущего.

Плоскость может быть задана также следами. Следами плоскости называются линии пересечения плоскости с плоскостями проекций (рисунок 3.2).

В общем случае плоскость имеет три следа: горизонтальный h_, фронтальный f_, профильный p_. Следы плоскости пересекаются попарно на осях в точках X_, Y_, Z_, которые называются точками схода следов плоскости. Треугольник, образованный следами плоскости, называется треугольником следов.

Плоскость, произвольно расположенная относительно плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения.

Плоскость, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называется проецирующей, а параллельная ей – плоскостью уровня.

Различают горизонтально ((АВС)П₂), фронтально ((DEF)П₁) и профильно ((GKH)П₃) проецирующие плоскости (рисунок 3.3).

Н
а рисунке 3.4 изображены плоскости уровня: горизонтальная ((АВС)П₂), фронтальная ((DEF)П₁), профильная ((GKH)П₃).

Основная литература: 1 осн.35-42 , 2 осн. 40-49 

Дополнительная литература: 1 доп.[19-20].

Контрольные вопросы:

1. Перечислите и изобразите графические способы задания плоскости на комплексном чертеже.

2. Что понимаю под следом плоскости?

3. Какую плоскость называют проецирующей и каковы ее графические признаки на чертеже?

4. Дайте характеристики плоскостям: горизонтально проецирующей, фронтально проецирующей, профильно проецирующей.

5. Какую плоскость называют плоскостью уровня?

6. Какую плоскость называют горизонтальной? фронтальной? профильной?

Лекция 4. Основные позиционные задачи.

Основными позиционными задачами называются задачи на определение взаимного расположения точки, прямой и плоскости.

Д ля определения видимости на чертеже применяется метод конкурирующих точек. Конкурирующими называются точки, расположенные на одной проецирующей прямой. На рисунке 4.1 (АВ) П₁, следовательно точки А и В – фронтально-конкурирующие. (СD) П₂, поэтому точки С и D – горизонтально-конкурирующие. Точка С находится выше точки D, поэтому точка С является видимой на горизонтальной проекции. Ордината точки А больше, чем точки В, поэтому точка А находится ближе к зрителю, следовательно, она является видимой на фронтальной проекции.

---

Прямые и точки, лежащие в плоскости. Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат данной плоскости. На рисунке 4.2 показана прямая l, принадлежащая плоскости (bc), поскольку имеет с нею две общие точки – В и С.

Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, принадлежащей данной плоскости. Для того чтобы построить в плоскости (bc) точку K (рисунок 4.2), необходимо провести в плоскости прямую l, принадлежащую плоскости a(bÇc), а затем задать на ней точку K, которая принадлежит прямой l и, следовательно, плоскости a(bÇc).

Главные линии плоскости. Среди множества прямых, которые могут быть проведены в плоскости, следует выделить главные линии плоскости:

1. Горизонтали – прямые, принадлежащие плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций (рисунок 4.3а). Фронтальная проекция горизонтали горизонтальна.

2
. Фронтали – прямые, принадлежащие плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций (рисунок 4.3б). Горизонтальная проекция фронтали горизонтальна.

3 . Линии наибольшего ската(наклона) - прямые, принадлежащие данной плоскости и перпендикулярные горизонталям (или фронталям) плоскости. На рисунке 4.4 показана линия наибольшего ската MN плоскости .

Следует отметить, что следы плоскости также являются главными линиями плоскости – горизонталью и фронталью, совмещенными с плоскостями проекций. Главные линии плоскости в качестве вспомогательных прямых облегчают решение ряда задач.

В заимное положение двух плоскостей. Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекающимися. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости. Если параллельные плоскости задаются на эпюре следами, то одноименные следы этих плоскостей должны быть параллельны. На рисунке 4.5 плоскость (ab) параллельна плоскости (сd), поскольку с  а (с₁  а₁, с₂  а₂ ), d  b (d₁  b₁, d₂  b₂ ) .

Рассмотрим частный случай пересечения плоскостей, когда одна из них – проецирующая (рисунок 4.6). Если одна из пересекающихся плоскостей проецирующая, то одна из проекций линии пересечения совпадает с ее проецирующим следом.

Рассмотрим общий случай пересечения, когда обе плоскости – общего положения. На рисунке 4.7а приведены две плоскости  и , заданные следами. Общими точками плоскостей являются точки М и N одноименных следов. Соединяя одноименные проекции этих точек прямой линией, получим проекции линии пересечения плоскостей.

Е
сли точки пересечения одноименных следов находятся вне поля чертежа, а также в тех случаях когда плоскости заданы не следами, а другими геометрическими элементами, то для определения линии пересечения плоскостей следует использовать вспомогательные проецирующие плоскости или плоскости уровня. На рисунке 4.7б показаны две плоскости общего положения, заданные треугольником и двумя параллельными прямыми. Для определения двух общих точек линии пересечения плоскостей проводим две вспомогательные плоскости уровня  и .

---