Лекция 1

1. Точка, прямая и плоскость. Ортогональная система двух и трех плоскостей проекций. Точка. Прямая линия. Взаимное положение прямых. Плоскость, прямые и точки, лежащие в плоскости. Взаимное положение двух плоскостей. Взаимное положение линии и плоскости. Первая позиционная задача. Виды метрических задач.

Ортогональная система двух и трех плоскостей проекций.

Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным. Основные принципы построения таких чертежей изложены Г. Монжем.

Рис. 1. Пространственная модель двух плоскостей проекций

Изложенный Монжем метод - метод ортогонального проецирования, причем берутся две проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, - обеспечивая выразительность, точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и остается основным методом составления технических чертежей.

В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.1). Одну из плоскостей проекций П1 располагают горизонтально, а вторую П2 - вертикально. П1 - горизонтальная плоскость проекций, П2- фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат и обозначается х1,2.

Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те геометрические объекты, которые располагаются в пределах той же первой четверти.

Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость П1 совмещают вращением вокруг оси x12 с плоскостью П2 (рис.1.6). Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой, называется эпюром (франц. Epure – чертеж.). Эпюр часто называют эпюром Монжа.

Геометрические объекты делятся на: линейные (точка, прямая, плоскость), нелинейные (кривая линия, поверхность) и составные (многогранники, одномерные и двумерные обводы).

Точка в ортогональной системе двух плоскостей проекций.

При построении проекции необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость. На рисунке 2 показана точка А и ее ортогональные проекции А1 и А 2.

Рис. 2 Точка в системе двух плоскостей проекций

Точку А1 называют горизонтальной проекцией точки А, точка А2 - ее фронтальной проекцией. Проекции точки всегда расположены на прямых, перпендикулярных оси x12 и пересекающих эту ось в одной и той же точке А x.

---

На эпюре Монжа проекции А1 и А2 окажутся расположенными на одном перпендикуляре к оси x12. При этом расстояние А1Аx -от горизонтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П2, а расстояние А2Аx - от фронтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П1.

Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, называются линиями проекционной связи.

ТОЧКА

Точка в ортогональной системе трех плоскостей проекций

В практике изображения различных геометрических объектов, чтобы сделать проекционный чертеж более ясным, возникает необходимость использовать третью профильную плоскость проекций П3, расположенную перпендикулярно к П1 и П2.

Рис. 3 Точка в системе трех плоскостей.

Модель трех плоскостей проекций показана на рис.3. Третья плоскость, перпендикулярная и П1, и П2, обозначается буквой П3 и называется профильной.

Проекции точек на эту плоскость обозначаются заглавными буквами или цифрами с индексом 3.

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси 0x, 0y и 0z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке 0.

Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов - октантов. Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.

Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П1 и П3 вращают, как показано на рисунке 3, до совмещения с плоскостью П2. При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают. Если существенно только само изображение предмета, а не его положение относительно плоскостей проекций, то оси на эпюре не показывают.

Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определения ее положения в пространстве или на поверхности. В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x , y и z (абсцисса, ордината и аппликата).

Октант	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
x	+	+	+	+	-	-	-	-
y	+	-	-	+	+	-	-	+
z	+	+	-	-	+	+	-	-

Взаимное расположение точек

Можно выделить три основных варианта взаимного расположения точек:

Рис. 4.Взаимное расположение точек

1.Пусть точки А и В (рис.4) расположены в первой четверти так, что:

- YА>YВ. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П2 и ближе к наблюдателю, чем точка В

- ZА>ZВ. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П1 и ближе к наблюдателю, чем точка В;

- XА<XВ. Тогда точка В расположена дальше от плоскости П3 и ближе к наблюдателю, чем (при взгляде слева) точка А;

---

2. – YА=YВ, то точки А и В равноудалены от плоскости П2 и их горизонтальные проекции расположатся на прямой А1В1//x12. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П2.

– ZА=ZВ, то точки А и В равноудалены от плоскости П1 и их фронтальные проекции расположатся на прямой А2В2//x12. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П1.

– XА=XВ, то точки А и В равноудалены от плоскости П3 и их горизонтальные и фронтальные проекции расположатся, соответственно, на прямых А1В1//y и А2В2//z . Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П3.

3. Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими. Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. На рис. 5 даны три пары таких точек, у которых:

XА=XD;YА=YD;ZА>ZD; XA=XC;ZA=ZC;YA>YC; YA=YB;ZA=ZB;XA>XB;

Рис. 5. Конкурирующие точки

Различают: горизонтально конкурирующие точки А и D, расположенные на горизонтально проецирующей прямой АD; фронтально конкурирующие точки A и C расположенные на фронтально проецирующей прямой AC; профильно конкурирующие точки A и B, расположенные на профильно проецирующей прямой AB.

При проецировании на соответствующую плоскость проекций одна точка «закроет» другую точку, конкурирующую с ней, соответствующая проекция которой окажется невидимой.

Прямая линия

Способы графического задания прямой линии

Для определения положения прямой в пространстве существуют следующие методы:

1.Двумя точками (А и В).

Рис. 6. Определение положения прямой по двум точкам

Рассмотрим две точки в пространстве А и В (рис.6). Через эти точки можно провести прямую линию получим отрезок [AB]. Для того чтобы найти проекции этого отрезка на плоскости проекций необходимо найти проекции точек А и В и соединить их прямой. Каждая из проекций отрезка на плоскости проекций меньше самого отрезка: [A1B1]<[AB]; [A2B2]<[AB]; [A3B3]<[AB].

2. Двумя плоскостями (a; b).

Этот способ задания определяется тем, что две непараллельные плоскости пересекаются в пространстве по прямой линии.

Рис. 7. Определение положения прямой в пространстве по двум проекциям отрезка

3. Двумя проекциями.

Пусть в плоскостях П1 и П2 даны проекции прямых заданных отрезками [А1В1] и [A2B2]. Проведем через эти прямые плоскости a и b перпендикулярные плоскостям проекций. В том случае если эти плоскости непараллельные (рис.7), линией их пересечения будет прямая заданная отрезком [АВ], проекциями которой являются отрезки [А1В1] и [А2В2].

Рисунок 8. Определение положения прямой по точке и углам наклона к плоскостям проекций

4. Точкой и углами наклона к плоскостям проекций.

Зная координаты точки принадлежащей прямой и углы наклона ее к плоскостям проекций можно найти положение прямой в пространстве (рис.8).

Положение прямой линии относительно плоскостей проекций

---

В зависимости от положения прямой по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Прямая не параллельная ни одной плоскости проекций называется прямой общего положения (рис.9).

Рисунок 9. Прямая общего положения

2. Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня. В зависимости от того, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают:

2.1. Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций называются горизонтальными или горизонталями (рис.10). Для любой пары точек горизонтали должно быть справедливо равенство

zA=zB Þ A2B2//0x; A3B3//0y Þ xA–xB#0, yA–yB#0, zA–zB=0.

Рис. 10. Горизонтальная прямая (горизонталь)

2.2. Прямые параллельные фронтальной плоскости проекций называются фронтальными или фронталями (рис.11).

yA=yBÞ A1B1//0x, A3B3//0z Þ xA–xB#0, yA–yB=0, zA–zB#0.

Рис. 11. Фронтальная прямая

2.3. Прямые параллельные профильной плоскости проекций называются профильными (рис.12).

xA=xBР A1B1//0y, A2B2//0zР xA–xB=0, yA–yB#0, zA–zB#0.

Различают восходящую и нисходящую профильные прямые. Первая по мере удаления от зрителя поднимается, вторая - понижается.

Рис. 12. Профильная прямая

3. Прямые перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими. Прямая перпендикулярная одной плоскости проекций, параллельна двум другим. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна исследуемая прямая, различают:

3.1. Фронтально проецирующая прямая - АВ (рис. 13)

xA–xB=0ü yA–yB#0ý zA–zB=0þ,

Рис. 13. Фронтально проецирующая прямая

3.2. Профильно проецирующая прямая - АВ (рис.14)

xА–xB#0ü yА–yB=0ý zА–zB=0þ,

Рисунок 14. Профильно-проецирующая прямая

3.3. Горизонтально проецирующая прямая - АВ (рис.15)

xА–xВ=0ü yА–yВ=0ý zА–zВ#0þ.

Рисунок 15. Горизонтально-проецирующая прямая

4. Прямые параллельные биссекторным плоскостям (рис. 16)

АВ //S1бис Þ xA–xB=0; zB–zA=yB–yA; СD//S2бис Þ xС–xD=0; zD–zC=yC–yD.

Биссекторной плоскостью называется плоскость проходящая через ось 0х и делящая двухгранный угол между плоскостями проекций П1 и П2 пополам. Биссекторная плоскость проходящая через 1 и 3 четверти называется первой биссекторной плоскостью (S1бис) ,а через 2 и 4 четверти - второй (S2бис).

5. Прямые перпендикулярные биссекторным плоскостям (рис. 16)

АВ^S2бис Þ xA–xB=0; zB–zA=yВ–yА;. СD^S1бис Þ xС–xD=0;zD–zC=yC–yD

Рис. 16. Прямые параллельные и перпендикулярные биссекторным плоскостям

Следы прямой линии.

Следом прямой линии называется точка (рис.17), в которой прямая пересекается с плоскостью проекций (так как след принадлежит одной из плоскостей проекций то его одна координата должна быть равна нулю).

Горизонтальный след - М (zM=0)-точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций.

Фронтальный след - N (yN=0)- точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций.

---

Профильный след - Т (xТ=0)- точка пересечения прямой с профильной плоскостью проекций.

Рис. 17. Следы прямой линии в системе трех плоскостей проекций

Следы прямой являются точками частного положения. Одноименные проекции следа прямой совпадают с самим следом, а другие проекции лежат на осях. Например, фронтальный след прямой N2ºN, а N1 лежит на оси x, N3 - на оси z. Отмеченные особенности в расположении следов проекций позволяет сформулировать следующие правила:

1. Для построения горизонтального следа М прямой необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью 0x и в этой точке восстановить перпендикуляр к оси до пересечения с горизонтальной проекцией прямой.

2. Для построения фронтального следа N прямой нужно из точки пересечения горизонтальной проекции её с осью 0x восстановить перпендикуляр до пересечения с фронтальной проекцией прямой.

Рис. 18. Нахождение горизонтального и фронтального следов прямой линии

С помощью этих правил найдены на эпюре следы прямой а (рис.18) . Здесь же показаны совпавшие проекции точки А принадлежащей рассматриваемой прямой.

Следы прямой, являются точками, в которых прямая переходит из одного октанта в другой, позволяют отмечать её видимость. Видимой частью прямой будет та, которая расположена в пределах первого октанта.

Взаимное расположение точки и прямой

Если точка принадлежит прямой, то её проекции должны принадлежать одноименным проекциям этой прямой (аксиома принадлежности точки прямой). Из четырех предложенных на рис. 19 точек, только одна точка С лежит на прямой АВ.

Рис. 19. Взаимное расположение точек и прямой АВ

В тех случаях когда точка и прямая лежат в плоскости уровня (параллельной какой-либо из плоскостей проекций П1, П2 и П3), то вопрос о взаимном расположении прямой и точки решается при построении проекций на плоскость соответственно П1, П2 или П3. Например, прямая АВ и точка К лежат в плоскости параллельной профильной плоскости проекций (рис.20).

Рис. 20. Точка и прямая, расположенные в профильной плоскости уровня

Деление отрезка прямой линии в данном соотношении.

Из свойств параллельного проецирования известно, что если точка делит отрезок прямой в данном отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции прямой в том же соотношении.

Поэтому, чтобы некоторый отрезок разделить на эпюре в данном соотношении, надо в том же отношении разделить его проекции.

Рисунок 21. Деление отрезка прямой в заданном соотношении

Пример: (рис.21) Чтобы разделить отрезок АВ в отношении 2:3 из точки А1 проведем произвольный отрезок А1В*1 разделенный на 5-ть равных частей

|A1K*1|=2 , |K*1B*1|=3.

А1К*1/ К*1В*1=2/3

Соединить точку В*1 с точкой В1 и проведя из точки К*1 прямую параллельную (В1В*1) получим проекцию точки К1. Согласно теореме Фалеса (Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону, то на другой стороне отложатся равные между собой отрезки) А1К1/К1В1=2/3, далее находим К2 . Таким образом проекции точки К делят одноименные проекции отрезка АВ в данном отношении следовательно и точка К делит отрезок АВ в отношении 2/3.

---

Смотрите также файлы

• 2.docx

• шпоры по праву.doc

• трудовое печатать.doc

• Калужин.507.doc

• ЛПЗ(8-10).docx