ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.07.2020
Просмотров: 436
Скачиваний: 3
Определение длины отрезка прямой линии и углов наклона прямой к плоскостям проекций
Длину отрезка АВ можно определить из прямоугольного треугольника АВС |AС|=|A1B1|, |BС|=DZ , угол a-угол наклона отрезка к плоскости П1, b-угол наклона отрезка к плоскости П2. Для этого на эпюре (рис.22) из точки B1 под углом 90 проводим отрезок |B1B1*|=DZ, полученный в результате построений отрезок A1B1*и будет натуральной величиной отрезка АВ, а угол B1A1B1* =α. Рассмотренный метод называется методом прямоугольного треугольника. Однако все построения можно объяснить, как вращение треугольника АВС вокруг стороны AС до тех пор, пока он не станет параллелен плоскости П1, в этом случае треугольник проецируется на плоскость проекций без искажения.
Для определения b-угол наклона отрезка к плоскости П2 построения аналогичные. Только в треугольнике АВВ* сторона |BВ*|=DU и треугольник совмещается с плоскостью П2.
Рисунок 22. Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к горизонтальной (слева) и фронтальной (справа) плоскости проекций
Взаимное расположение двух прямых
Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. Рассмотрим подробнее каждый случай:
1. Параллельные прямые линии.
Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) - параллельны.
Это свойство параллельного проецирования остается справедливым и для ортогональных проекций, то есть если AB//CD то A1B1//C1D1; A2B2//C2D2; A3B3//C3D3 (рис.23). В общем случае справедливо и обратное утверждение.
Рисунок 23. Параллельные прямые
Особый случай представляют собой прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны, но для оценки их взаимного положения необходимо сделать проекцию на профильную плоскость проекций (рис. 24). В рассмотренном случае проекции отрезков на плоскость П3 пересекаются, следовательно, они не параллельны.
Решение этого вопроса можно получить сравнением двух соотношений если:
А2В2/ А1В1= С2Д2/ С1 Д1Þ АВ//СД
А2В2/ А1В1¹ С2Д2/ С1Д1Þ АВ#СД
Рисунок 24. Прямые параллельные профильной плоскости проекций
2. Пересекающиеся прямые.
Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.
Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находится на одной линии связи (рис. 25).
Рис. 25. Пересекающиеся прямые
В общем случае справедливо и обратное утверждение, но есть два частных случая:
1. Если одна из прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, например профильной плоскости проекций (рис. 26), по двум проекциям невозможно судить об их взаимном расположении. Так горизонтальная и фронтальная проекции отрезков АВ и СД пересекаются, причем точка пересечения проекций лежит на одной линии связи, профильные проекции этих отрезков тоже пересекаются, однако точка их пересечения не лежит на одной линии связи с точками пересечения горизонтальной и фронтальной проекций отрезков, следовательно, не пересекаются и сами отрезки.
Рис. 26.Одна из прямых параллельна профильной плоскости проекций
2. Пересекающие прямые расположены в общей для них проекционной плоскости, например перпендикулярной фронтальной плоскости проекций (рис. 27). О взаимном расположении прямых, лежащих в этой плоскости, можно судить по одной проекции, например, на горизонтальную плоскость проекций (А1В1∩С1D1ÞАВ∩СD)
Рис. 27. Пересекающиеся прямые расположены в фронтально проецирующей плоскости
3. Скрещивающиеся прямые
Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости.
Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи.
Точке пересечения фронтальных проекций прямых (рис. 28) соответствуют две точки А и В, из которых одна принадлежит прямой а, другая в . Их фронтальные проекции совпадают лишь потому, что в пространстве обе точки А и В находятся на общем перпендикуляре к фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция этого перпендикуляра, обозначенная стрелкой, позволяет установить, какая из двух точек ближе к наблюдателю. На предложенном примере ближе точка В лежащая на прямой в, следовательно, прямая в проходит в этом месте ближе прямой а и фронтальная проекция точки В закрывает проекцию точки А. (Для точек С и Д решение аналогично).
Этот способ определения видимости по конкурентным точкам. В данном случае точки А и В- фронтально конкурирующие, а С и Д -горизонтально конкурирующие.
Рисунок 28. Скрещивающиеся прямые
Проекции плоских углов
Угол - геометрическая фигура, состоящая из двух различных лучей, выходящих из одной точки. Углом между прямыми называется меньший из двух углов между лучами, параллельными этим прямым. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между прямой и её проекцией на данную плоскость.
Рассмотрим ряд свойств ортогональных проекций плоских углов:
1. Если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажения (Теорема о проецировании прямого угла)
Рис. 29. Теорема о проецировании Рис. 30. Обратная теорема о проецировании
прямого угла прямого угла
Дано: ÐАВС = 90о; [ВС] // П1; [АС] # П1.
Для доказательства теоремы продлим отрезок АС до пересечения с плоскостью П1 (рис. 29) получим горизонтальный след прямой - точку М º М1, одновременно принадлежащую прямой и ее проекции. Из свойства ортогонального проецирования следует, что [ВС] // [В1С1]. Если через точку М проведем прямую МD параллельную С1В1, то она будет параллельна и СВ, а следовательно ÐСМD= 90. Согласно теореме о трех перпендикулярах ÐС1МD=90 Таким образом, [MD]^[А1С1] и [MD]//[В1С1], следовательно, ÐА1С1В1= 90, что и требовалось доказать. В случае когда [АС]^П1 проекцией угла, согласно свойствам ортогонального проецирования, будет прямая линия.
2. Если проекция угла представляет угол 90, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций (рис. 30).
3. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций, то его проекция равна по величине проецируемому углу.
4. Если стороны угла параллельны плоскости проекций или одинаково наклонены к ней, то деление проекции угла на этой плоскости пополам соответствует делению пополам и самого угла в пространстве.
5. Если стороны угла не параллельны плоскости проекций, то угол на эту плоскость проецируется с искажением.
Типы задач начертательной геометрии
Решение многих задач способами начертательной геометрии, в конечном счете, сводится к определению позиционных и метрических характеристик геометрических объектов. В связи с этим все многообразие задач может быть отнесено к двум группам:
1.Задачи позиционные – решение, которых должно давать ответ на вопрос о взаимном расположении геометрических объектов (в частном случае, выяснить их взаимную принадлежность) как по отношению друг к другу, так и относительно системы координатных плоскостей проекций.
2.Задачи метрические – при решении задач этой группы появляется возможность ответить на вопросы, касающиеся как внутренней метрики заданных геометрических объектов (определение расстояния между различными точками объекта и нахождения углов между линиями и поверхностями, принадлежащими этому объекту), так и определение расстояний между точками и величин углов между линиями и поверхностями, принадлежащими различным объектам.
В начертательной геометрии задачи решаются графически. Количество и характер геометрических построений при этом определяются не только сложностью задачи, но и в значительной степени зависит от того, с какими проекциями (удобными или неудобными) приходится иметь дело. При этом наиболее выгодным частным положением геометрического объекта следует считать:
-
Положение, перпендикулярное к плоскости проекций (для решения позиционных, а в ряде случаев, и метрических задач);
-
Положение, параллельное по отношению к плоскости проекций (при решении метрических задач).
При решении метрических задач, связанных с определением истинных размеров изображенных на эпюре фигур, могут встретиться значительные трудности, если заданные проекции не подвергнуть специальным преобразованиям.
Рассмотрим на примере: Определить расстояние от точки А до прямой m. Расстояние от точки до прямой - это натуральная величина перпендикуляра восстановленного из точки к прямой линии. Простейшим условием такой задачи является случай, когда прямая является проецирующей. Определим расстояние от точки А до прямой m, когда прямая является горизонтально проецирующей линией (рис. 31), т.е. m^П1, m \\ П2, m \\ П3. Согласно, теореме о проецировании прямого угла, перпендикуляр из проекций точки А можно проводить к фронтальной и профильной проекции прямой m, при этом полученный отрезок АК- горизонталь, т.е. параллелен горизонтальной плоскости проекций и на эту плоскость проецируется в натуральную величину.
Рис.31. Расстояние от точки до горизонтально проецирующей прямой
Лекция 2
2. Способы преобразования проекций. Характеристика способов. Способ замены плоскостей проекций. Способ вращение. Способ косоугольного вспомогательного проецирования.
Методы преобразования ортогональных проекций
Если прямая параллельна одной из плоскостей проекций т.е. является прямой уровня, то без преобразования ортогональных проекций можно только найти проекции перпендикуляра. Пусть прямая f фронталь, т.е. f \\ П2 значит перпендикуляр можно проводить из проекций А2 к фронтальной проекции прямой m2, на эту плоскость угол будет проецироваться без искажения (рис. 32). Однако полученные проекции отрезка АК не отражают истинной величины отрезка потому, что АК - отрезок прямой общего положения.
Рис. 32. Расстояние от точки до фронтальной прямой
Общий случай подобной задачи, когда требуется найти расстояние от точки до прямой общего положения, то даже построение проекции искомого отрезка без преобразования проекций не представляется возможным.
Сопоставление приведенных чертежей показывает, что трудности решения одной и той же задачи существенно зависят от положения геометрических объектов относительно плоскостей проекций.
В связи с этим, естественно, возникает вопрос, каким путем можно получить удобные проекции для решения поставленной задачи по заданным неудобным ортогональным проекциям.
Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществлять за счет изменения взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций.
При ортогональном проецировании это достигается двумя путями:
1. Перемещение в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в пространстве - метод плоскопараллельного перемещения.
2. Перемещением плоскостей проекций в новое положение по отношению, к которому проецируемая фигура (которая не меняет положения в пространстве) окажется в частном положении - метод замены плоскостей проекций.
Метод плоскопараллельного перемещения
Изменение взаимного положения проецируемого объекта и плоскостей проекций методом плоскопараллельного перемещения осуществляется путем изменения положения геометрического объекта так, чтобы траектория движения её точек находилась в параллельных плоскостях. Плоскости носители траекторий перемещения точек параллельны какой-либо плоскости проекций (рис. 33). Траектория произвольная линия. При параллельном переносе геометрического объекта относительно плоскостей проекций, проекция фигуры хотя и меняет свое положение, но остается конгруэнтной проекции фигуры в ее исходном положении.
Рис. 33. Определение натуральной величины отрезка методом плоскопараллельного перемещения
Свойства плоскопараллельного перемещения:
1. При всяком перемещении точек в плоскости параллельной плоскости П1, её фронтальная проекция перемещается по прямой линии, параллельной оси х.
2. В случае произвольного перемещения точки в плоскости параллельной П2, её горизонтальная проекция перемещается по прямой параллельной оси х.
В зависимости от положения этих плоскостей по отношению к плоскостям проекций и вида кривой линии - определяющей траекторию перемещения точек, метод плоскопараллельного проецирования имеет следующие частные случаи:
1. Метод вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций;
2. Метод вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций;
3. Метод вращения вокруг оси, принадлежащей плоскости проекций (вращение вокруг следа плоскости)- способ совмещения.
Рассмотрим некоторые из этих способов.
Метод вращения вокруг оси перпендикулярной
плоскости проекций
Плоскости носитель траекторий перемещения точек параллельны плоскости проекций. Траектория - дуга окружности, центр которой находится на оси перпендикулярной плоскости проекций. Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения АВ (рис. 34), выберем ось вращения перпендикулярную горизонтальной плоскости проекций и проходящую через В1. Повернем отрезок так, чтобы он стал параллелен фронтальной плоскости проекций (горизонтальная проекция отрезка параллельна оси x). При этом точка А1 переместиться в А*1, а точка В не изменит своего положения. Положение точки А*2 находится на пересечении фронтальной проекции траектории перемещения точки А (прямая линия параллельная оси x) и линии связи проведенной из А*1. Полученная проекция В2 А*2 определяет действительные размеры самого отрезка.
Рис. 34. Определение натуральной величины отрезка методом вращения вокруг оси перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций
Метод вращения вокруг оси параллельной
плоскости проекций
Рассмотрим этот способ на примере определения угла между пересекающимися прямыми (рис.35). Рассмотрим две проекции пересекающихся прямых а и в которые пересекаются в точке К. Для то чтобы определить натуральную величину угла между этими прямыми необходимо произвести преобразование ортогональных проекций так, чтобы прямые стали параллельны плоскости проекций. Воспользуемся способом вращения вокруг линии уровня - горизонтали. Проведем произвольно фронтальную проекцию горизонтали h2 параллельно оси Ох, которая пересекает прямые в точках А2 и В2 . Определив проекции А1 и В1, построим горизонтальную проекцию горизонтали h1 . Траектория движения всех точек при вращении вокруг горизонтали - окружность, которая проецируется на плоскость П1 в виде прямой линии перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали.
Рис. 35. Определение угла между пересекающимися прямыми, вращением вокруг оси параллельной горизонтальной плоскости проекций