Файл: Описание свойств векторных полей (Градиент).pdf

Введение

Векторное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени различен в разных точках и может быть описан векторным полем.

Материальный аппарат теории поля – векторный анализ. Будем говорить, что нам задано поле некоторой величины, если во всех точках рассматриваемого объема нам задано значение этой величины.Если в каждой точке  пространства или некоторой среды задана скалярная функция  , то говорят, что задано скалярное поле. Если величина векторная, то говорят, что задано векторное поле.

Градиент

По определению градиентом скалярной функции  называется вектор

 . (13.01)

Следует помнить о том, что градиента векторной функции не существует, в силу того, что он просто не определен. Можно рассматривать градиент модуля вектора, но модуль – это скалярная величина.

 Физический смысл градиента функции заключается в том, что это вектор, направленный в сторону скорейшего возрастания функции, а по модулю равный производной, взятой вдоль направления скорейшего возрастания.

НАПРИМЕР, если в стакан налит кипяток, то, очевидно, что в стенках стакана устанавливается градиент температуры. Поскольку градиент направлен в сторону скорейшего возрастания величины, то градиент температуры перпендикулярен стенкам стакана. Температура изменяется и вдоль направления черной стрелки, но направление СКОРЕЙШЕГО возрастания задается, очевидно, красной.

Величину градиента грубо можно оценить, разделив известное изменение величины на расстояние на котором оно происходит, если это расстояние в направлении скорейшего изменения.

Пока стенки не прогрелись по толщине, можно считать, что на внутренней поверхности температура 100 ⁰С, а на внешней – в соответствии с температурой окружающей среды – 20⁰С. Если толщина стенок 1 мм, то градиент по модулю равен 80 ⁰С/мм = 8 10^{4 0}С/м. По мере прогревания стенок температура воды в стакане немного упадет, но на внешней поверхности – сильно возрастет. Разница температур уменьшится и градиент по модулю тоже.

---

Сравним понятия градиент и скорость. Когда мы говорим «скорость изменения некоторой величины равна…», то обычно подразумеваем, что речь о быстроте изменения величины во времени. Говоря о том, что градиент некоторой величины составляет столько-то, мы говорим о быстроте изменения величины в пространстве, т.е. при изменении пространственных координат.

Поток вектора

Понятие векторного анализа наиболее наглядны при рассмотрении поля вектора скорости текущей жидкости. Собственно они и возникли в процессе развития гидродинамики, и этим обусловлена терминология, используемая в векторном анализе.

Рассмотрим течение идеальной жидкости, т.е. жидкости несжимаемой, молекулы которой взаимодействуют абсолютно упруго.

По определению, объемжидкости, протекающий в единицу времени через некоторую воображаемую поверхность называется потоком жидкости через S. Пусть скорость направленного движения частиц жидкости, пересекающих поверхность  , равна  . Выделим мысленно на поверхности элемент  и будем считать, что он настолько мал, что в его пределах скорость направленного движения частиц жидкости одинакова. Ориентацию в пространстве этого элемента зададим ортом нормали к нему  . За время  через  пройдет жидкость, заключенная в объеме

  (13.02)

 Следовательно, по определению потока, элементарный поток через  :

 (13.03)

Устремив размеры элемента поверхности  к нулю (  → 0), получим соотношение:

 (13.04)

Формула (13.04) в соответствии с определением скалярного произведения векторов эквивалентна следующим:

 . (13.06)

Тогда поток жидкости через всю поверхность  должен определяться соотношением:

---

 (13.07)

Распространив этот подход на все векторные поля, можем сформулировать определение потока произвольного вектора  через поверхность  :

 (13.08)

Основные свойства потока вектора: скалярная алгебраическая величина, знак которой зависит от выбора направления нормали к  .

В случае замкнутых поверхностей всегда используется внешняя нормаль.

Чтобы продвинуться дальше в изучении электрического поля, необходимо ознакомиться с математическим аппаратом, применяемым для описания свойств векторных полей. Этот аппарат называется векторным анализом. В данном параграфе мы рассмотрим основные понятия и некоторые формулы векторного анализа, а также докажем две главные теоремы векторного анализа: теорему Остроградского — Гаусса и теорему Стокса.

Наибольшую наглядность величины, используемые в векторном анализе, имеют в случае поля вектора скорости текущей жидкости. Поэтому мы будем вводить эти величины, рассматривая течение идеальной несжимаемой жидкости, а затем распространять полученные результаты на векторные поля любой природы.

С одним из понятий векторного анализа мы уже знакомы. Это — градиент, используемый для характеристики скалярных полей. Если каждой точке Р с координатами х, у, z сопоставляется значение скалярной величины , говорят, что задано скалярное поле . Градиентом величины  называется вектор

Приращение функции  при смещении на отрезок  равно

что можно представить в виде

Теперь перейдем к установлению характеристик векторных полей.

---

Поток вектора.

Пусть течение жидкости охарактеризовано полем вектора скорости. Объем жидкости, протекающей в единицу времени через некоторую воображаемую поверхность S, называется потоком жидкости через эту поверхность. Чтобы найти поток, разобьем поверхность на элементарные участки величины . Из рис. 11.1 видно, что за время  через участок  пройдет объем жидкости, равный

Разделив этот объем на промежуток времени  найдем поток через поверхность 

Перейдя к дифференциалам, получим, что

Формулу (11.3) можно написать еще двумя способами. Во-первых, если учесть, что  дает проекцию вектора скорости на нормаль  к площадке  можно представить (11.3) в виде

Во-вторых, можно ввести вектор  модуль которого равен величине площадки  а направление совпадает с направлением нормали к площадке :

Поскольку выбор направления вектора  условен (его можно направить как в одну сторону от площадки, так и в другую),  является не истинным вектором, а псевдовектором. Угол а в формуле (11.3) есть угол между векторами v и dS. Следовательно, эту формулу можно написать в виде

Просуммировав потоки через все элементарные площадки, на которые мы разбили поверхность , получим поток жидкости через S:

Аналогичное выражение, написанное для произвольного векторного поля а, т. е. величина

называется потоком вектора а через поверхность S.

---

Рис. 11.1.

В соответствии с этим определением поток жидкости может быть назван потоком вектора v через соответствующую поверхность (см. (11.6)).

Поток вектора есть алгебраическая величина, причем знак его зависит от выбора направления нормали к элементарным площадкам, на которые разбивается поверхность S при вычислении потока. Изменение направления нормали на противоположное изменяет знак у  а следовательно, и знак величины (11.7). В случа замкнутых поверхностей принято вычислять поток, «вытекающий» из охватываемой поверхностью области наружу. Соответственнс в качестве  в дальнейшем будет всегда подразумеваться обращенная наружу (т. е. внешняя) нормаль.

Потоку вектора можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. Для этого представим векторное поле системой линий а, построенных так, чтобы густота линий в каждом месте была численно равна модулю вектора а в той же точке поля (ср. с правилом построения линий вектора Е, изложенным в конце § 5). Найдем число  пересечений линий поля с воображаемой площадкой . Из рис. 11.2 видно, что это число равно густоте линий (т. е. а), умноженной на 

Речь идет лишь о числовом равенстве между  и  Поэтому знак равенства заключен в скобки. Согласно (11.7) выражение  представляет собой  — поток вектора а через площадку . Таким образом,

Для того чтобы знак  совпал со знаком  нужно пересечения, при которых угол а между положительным направлением линии поля и нормалью к площадке является острым, считать положительными. В случае же, если угол а тупой, пересечение нужно считать отрицательным. Для изображенной на рис. 11.2 площадки все три пересечения являются положительными:  в этом случае также положителен, поскольку  Если направление нормали на рис. 11.2 изменить на обратное, пересечения станут отрицательными  поток  также будет отрицательным.

---