6.4. Практическое занятие №4. Расчет цепи переменного тока с последовательным соединением элементов

6.4.1. Вопросы для подготовки к занятиям

1. Какими параметрами характеризуются синусоидальный ток или напряжение?

2. Каково соотношение между амплитудным и действующим значениями величин, изменяющихся во времени по синусоидальному закону?

3. С какими физическими процессами связаны понятия активного сопротивления, активной мощности? Построить векторную диаграмму напряжения и тока для участка цепи.

4. С какими физическими процессами связаны понятия реактивного сопротивления, реактивной мощности? Как величина индуктивного и емкостного реактивных сопротивлений зависит от частоты питающего напряжения?

5. Построить векторные диаграммы для участков цепи с идеальной индуктивностью и идеальной емкостью.

6. Как определяют активное, реактивное и полное сопротивления цепи, содержащей несколько последовательно включенных элементов?

7. Привести формулы для расчета активной, реактивной и полной мощностей цепи.

8. Построить треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей для участка цепи с последовательным соединением R и L, с последовательны соединением R и C.

9. Построить векторную диаграмму для цепи, содержащей несколько последовательно включенных элементов.

6.4.2. Расчет электрических параметров цепи

Задача 1. Электрическая цепь, показанная на рис. 6.8, питается от источника синусоидального тока с частотой 200 Гц и напряжением 120 В. Дано: R = 4 Ом, L = 6,37 мГн, C = 159 мкФ.

Вычислить ток в цепи, напряжения на всех участках, активную, реактивную, и полную мощности. Построить векторную диаграмму, треугольники сопротивлений и мощностей.

Анализ и решение задачи 1

1. Вычисление сопротивлений участков и всей цепи

Индуктивное реактивное сопротивление

X_L = 2πf L = 2×3,14×200×6,37·10^-3 Ом.

Емкостное реактивное сопротивление

X_C = 1 / (2πf C) = 1 / (2×3,14×200×159·10^-6) Ом.

Реактивное и полное сопротивления всей цепи:

X = X_L - X_C = 3 Ом;  Ом.

2. Вычисление тока и напряжений на участках цепи

Ток в цепи

I = U / Z = 120 / 5 А.

Напряжения на участках:

U₁ = R I = 96 В; U₂ = X_L I = 192 В; U₃ = X_C I = 120 В.

3. Вычисление мощностей

Активная мощность

P = R I² = U₁ I = 2304 Вт.

Реактивные мощности:

Q_L = X_L I² = U₂ I = 4608 ВАр; Q_C = X_C I² = U₃ I = 2880 ВАр.

Полная мощность цепи

ВА.

4. Расчет цепи методом комплексных чисел

Запишем в комплексном виде сопротивление каждого элемента и всей цепи

R = 4e^j0° = 4 Ом; X_L = 8e^+j90° = j8 Ом; X_C = 5e^-j90° = -j5 Ом.

Z = R + j(X_L - X_C) = 4 + j(8 - 5) Ом.

На комплексной плоскости в масштабе: в 1 см – 2 Ом, построим треугольник сопротивлений (рис. 6.9. а).

Из треугольника определим величину полного сопротивления Z и угол фазового сдвига φ

 Ом;

.

В показательной форме полное сопротивление всей цепи запишется в виде

Z = Ze^+jφ = 5e^+j37°Ом.

Примем начальную фазу приложенного к цепи напряжения за нуль и определим по закону Ома ток в данной цепи

---

Í = Ú / Z = 120e^+j0° / 5e^+j37° А.

Следовательно, в данной цепи ток отстает по фазе от напряжения на угол φ. Зная величину тока I, определим мощности для отдельных элементов и всей цепи.

P = 2304 Вт; Q_L = 4608 ВАр; Q_C = 2880 ВАр.

.

Треугольник мощностей в масштабе: в 1 см – 1000 Вт (ВАр); (ВА), построим (рис. 6.9. б) на основе выражения для полной мощности

S² = P² + (Q_L - Q_C)².

Для построения векторных диаграмм по току и напряжениям примем начальную фазу тока равной нулю, т.к. ток I в данной схеме является одним и тем же для всех элементов в цепи.

Í = Ie^+j0° / 24e^+j0°А.

Запишем выражения для напряжений в комплексной форме

Ú₁ = R Í = 96e^+j0° В; Ú₂ = X_L Í = 192e^+j90°В;

Ú₃ = X_C Í = 120e^-j90° В; Ú = Z Í = 120e^+j37° В.

Выберем масштабы для векторной диаграммы: в 1 см – 6 А; в 1 см – 50 В. Векторная диаграмма напряжений строится на основе второго закона Кирхгофа для данной цепи

Ú = Ú₁ + Ú₂ + Ú₃.

Векторная диаграмма цепи показана на рис. 6.9. в. При последовательном соединении элементов построение диаграммы начинают с вектора тока Í, по отношению к которому ориентируются вектора напряжений на участках цепи: напряжение на активном сопротивлении Ú₁ совпадает с ним по направлению, напряжение на индуктивности Ú₂ опережает его на 90°, на емкости отстает на 90°. Полное напряжение Ú строится как их векторная сумма.

Дополнительные вопросы к задаче 1

1. Какой характер носит эквивалентное реактивное сопротивление цепи?

По условию задачи X_L > X_C, поэтому X = X_L - X_C имеет индуктивный характер. Обратите внимание, что реактивные сопротивления отдельных участков цепи (X_L, X_C) могут быть больше ее полного сопротивления, так в данном случае X_L > Z.

2. Как изменяется режим работы цепи при изменении частоты питающего напряжения?

От частоты зависят реактивные сопротивления: X_L прямо пропорционально частоте f, X_C обратно пропорционально f. В рассматриваемой схеме X_L > X_C, поэтому при росте частоты X возрастает, ток уменьшается и возрастает угол φ его отставания от напряжения. При уменьшении частоты X уменьшается и при некотором ее значении X = 0, т.е. схема ведет себя как чисто активное сопротивление (режим резонанса напряжений, при котором U_L = U_C, Z = R и ток наибольший). При дальнейшем уменьшении частоты X_C > X_L, Z возрастает, I уменьшается, схема ведет себя как активно-емкостное сопротивление.

6.4.3. Определение параметров потребителя по опытным данным

Задача 2. Катушка индуктивности (рис. 6.10) подключена к сети с напряжением U = 100 В. Ваттметр показывает значение P_K = 600 Вт, амперметр: I = 10 А. Определить параметры катушки R_K, L_K.

Анализ и решение задачи 2

1. Вычисление полного сопротивления катушки

Z_К = U / I = 100 / 10 = 10 Ом.

2. Вычисление активного сопротивления катушки R_К

Ваттметр измеряет активную мощность, которая в данной схеме потребляется активным сопротивлением R_К.

R_К = P_К / I² = 600 / 100 = 6 Ом.

3. Вычисление индуктивности катушки L_К

;  Ом;

X_К = 2πf L_К; L_К = X_К / (2πf) = 8 / (2π×50) = 0,025 Гн.

---

Дополнительные вопросы к задаче 2

1. Как решить задачу другим способом?

Параметры катушки индуктивности можно определить, рассчитав полную мощность S_К и реактивную мощность катушки Q_К.

S_К = U I = 100 · 10 = 1000 ВА.

 ВАр.

R_К = P_К / I² = 6 Ом; X_К = Q_К / I² = 8 Ом;  Ом.

2. Записать законы изменения тока и всех напряжений для данной цепи.

Определим угол фазового сдвига между током i(t) и приложенным напряжением u(t)

φ = arctg(X_К / R_К) = arctg(8 / 6) = 53°.

В цепи с активно-индуктивной нагрузкой напряжение опережает ток на угол φ = 53°. Амплитуды тока и напряжения определим, зная действующие значения тока и напряжения

 А;  В.

Законы изменения тока i(t) и напряжения u(t) запишутся в следующем виде:

i(t) = 14,1 sinωt; u(t) = 141 sin(ωt + 53°).

Для записи напряжений u_R(t) и u_L(t) определим их величины

U_R = R I = 60 В;  В;

U_L = X_L I = 80 В;  В.

На активном сопротивлении R_К ток i(t) и напряжение u_R(t) по фазе совпадают. При протекании тока через индуктивность L_К возникает фазовый сдвиг φ = 90° между током i(t) и напряжением u_L(t).

u_R(t) = 84,8 sinωt; u_L(t) = 113 sin(ωt+90°).

6.5. Практическое занятие №5. Расчет сложных цепей переменного тока

6.5.1. Вопросы для подготовки к занятиям

1. Как рассчитать ток, потребляемый из сети, при параллельном соединении резистора, индуктивной катушки и конденсатора, если параметры потребителей и приложенное напряжение известны?

2. Как рассчитать активную и реактивную составляющие тока отдельной ветви и общего тока, если известны параметры параллельно включенных потребителей и приложенное напряжение?

3. Построить векторные диаграммы токов и напряжений для цепей, содержащих параллельное соединение R и L, R и C, реальной катушки (с активным сопротивлением R и индуктивностью L) и C.

4. Что такое коэффициент мощности потребителя? Объяснить экономическое значение коэффициента мощности.

5. Как рассчитать коэффициент мощности цепи, если известны параметры параллельно включенных потребителей энергии?

6. Как рассчитать активную, реактивную и полную мощности цепи при параллельном соединении потребителей, параметры которых известны?

7. Как повысить коэффициент мощности цепи?

8. С какой целью повышают коэффициент мощности цепи?

9. Как рассчитать необходимую емкость конденсатора, включенного для полной компенсации реактивной энергии?

10. Как должен изменяться потребляемый из сети ток при повышении коэффициента мощности цепи?

11. Изменится ли ток в цепи потребителя, если к нему параллельно подключить конденсатор?

12. Как изменится потребляемая из сети активная мощность при подключении параллельно индуктивной катушке: а) резистора, б) конденсатора?

13. Каковы принципы расчета цепей переменного тока комплексным методом?

6.5.2. Расчет цепи с параллельным соединением элементов

Задача 1. К источнику с напряжением 220 В и частотой 50 Гц подключены параллельно два двигателя, активные мощности и коэффициенты мощности которых P₁ = 0,3 кВт, P₂ = 0,4 кВт, cos φ₁ = 0,6, cos φ₂ = 0,7. Начертить электрическую схему замещения цепи. Определить токи каждого двигателя и ток, потребляемый схемой от источника, ее активную, реактивную и полную мощности. Для повышения cos φ цепи до 0,9 подключить параллельно нагрузке конденсатор и определить его емкость, рассчитать ток, потребляемый схемой от источника в этом режиме. Построить в масштабе векторную диаграмму напряжения и токов.

---

Анализ и решение задачи 1

1. Схема замещения каждого двигателя может быть представлена в виде последовательного соединения резистивного и индуктивного элементов, т.к. в двигателе происходит как необратимое преобразование электрической энергии в механическую и тепловую, так и колебательный обмен энергией между магнитным полем двигателя и сетью. Схема замещения к задаче представлена на рис. 6.11.

2. Токи двигателей рассчитываются по паспортным данным:

 А;  А.

Сдвиги токов по фазе по отношению к напряжению: φ₁ = 53,1°, φ₂ = 45,5°.

3. Мощности ветвей приведены в исходных данных, поэтому расчет схемы удобно вести через треугольники мощностей.

Реактивные мощности двигателей:

Q₁ = U I₁ sin φ₁ = 220 · 2,27 · 0,8 = 399 ВАр;

Q₂ = U I₂ sin φ₂ = 220 · 2,6 · 0,713 = 407 ВАр.

Активная и полная мощности всей цепи:

P = P₁ + P₂ = 300 + 400 = 700 Вт;

Q = Q₁ + Q₂ = 399 + 407 = 806 ВАр;

 ВА.

Ток в цепи источника

I = S / U = 1068 / 220 = 4,85 А.

Коэффициент мощности схемы

cos φ = P / S = 700 / 1068 = 0,655.

4. Рассчитаем емкость конденсатора, необходимую для повышения коэффициента мощности схемы до cos φ' = 0,9.

Включение конденсатора параллельно нагрузке не изменяет ее активную мощность, а уменьшает реактивную и полную мощности, потребляемые всей схемой от источника. Поэтому по активной мощности цепи и заданному значению cos φ' определим полную мощность цепи

S' = P / cos φ' = 700 / 0,9 = 777,8 ВА.

Реактивная мощность цепи

 ВАр.

Реактивная мощность всей цепи равна алгебраической сумме реактивных мощностей ее участков. В данном случае Q' = Q - Q_C, поэтому мощность конденсатора

Q_C = Q - Q' = 806 - 339 = 467 ВАр.

Многоугольник мощностей показан на рис. 6.12.

Ток в цепи конденсатора и его сопротивление:

I_C = Q_C / U = 467 / 220 = 2,12 А; X_C = U / I_C = 220 / 2,12 = 103 Ом.

Емкость конденсатора

C = 1 / (2πf X_C) = 1 / (2π · 50 · 103) = 30,7·10^-6 Ф = 30,7 мкФ.

Результатирующий ток источника

I' = S' / U = 777,8 / 220 = 3,535 А.

На рис. 6.13 приведены векторные диаграммы напряжения и токов схемы без конденсатора (а) и после подключения параллельно нагрузке конденсатора (б).

5. Если в исходных данных приведены сопротивления ветвей или их токи и коэффициенты мощности, то расчет удобно вести через треугольники токов (их активные и реактивные составляющие).

Активные составляющие токов ветвей:

I_1а = I₁ cos φ₁ = 2,27 · 0,6 = 1,362 А;
I_2а = I₂ cos φ₂ = 2,6 · 0,7 = 1,818 А;
I_а = I_1а + I_2а = 1,362 · 1,818 = 3,18 А.

Реактивные составляющие токов ветвей:

I_1р = I₁ sin φ₁ = 2,27 · 0,8 = 1,818 А;
I_2р = I₂ sin φ₂ = 2,6 · 0,713 = 1,852 А;
I_р = I_1р + I_2р = 1,818 · 1,852 = 3,67 А.

Полный ток источника

А.

Коэффициент мощности эквивалентной нагрузки

cos φ = I_а / I = 3,18 / 4,854 = 0,655.

Реактивная составляющая тока источника после подключения конденсатора

I'_р = I_а tg φ' = 3,18 · 0,484 = 1,54 А.

Ток конденсатора I_C = I_р - I'_р = 3,67 - 1,54 = 2,13 А.

Далее определяются X_C и С, как было рассмотрено выше.

Дополнительные вопросы к задаче 1

1. Как по результатам расчета определить параметры последовательной схемы замещения двигателей и всей схемы в целом?

Полные сопротивления двигателей определяются по закону Ома:

---

Z₁ = U / I₁; Z₂ = U / I₂.

Активные и реактивные составляющие сопротивлений рассчитываются через треугольники сопротивлений:

R₁ = Z₁ cos φ₁; R₂ = Z₂ cos φ₂; X₁ = Z₁ sin φ₁; X₂ = Z₂ sin φ₂.

Сопротивления можно подсчитать также и через треугольники мощностей. Например, для схемы в целом

R = P / I² = 700 / 4,856² = 29,68 Ом; X = Q / I² = 339 / 4,856² = 14,37 Ом.

2. Какова схема замещения цепи при представлении токов ветвей в виде суммы активных и реактивных составляющих.

Разложение тока на составляющие соответствует представлению реального элемента цепи в виде соединенных параллельно идеальных активного и реактивного сопротивлений (рис. 6.14).

Параметры схемы подсчитываются по закону Ома или через мощности:

R' = U / I_а = U² / P; X' = U / I_р = U² / Q; Z = U / I = U² / S.

3. Как изменятся токи в схеме, если параллельно двигателю подключить осветительную (чисто активную) нагрузку?

За счет увеличения активной составляющей (освещение) ток источника возрастет, токи в ветвях схемы не изменятся.

4. Как рассчитать схему графоаналитическим методом?

Для определения тока источника рассчитываются, как это было приведено выше, токи в ветвях I₁ и I₂ и их сдвиги по фазе φ₁ и φ₂ по отношению к напряжению. Далее строится в масштабе векторная диаграмма токов и по диаграмме определяется величина тока I и его сдвиг по фазе по отношению к напряжению φ (рис. 1.13).

5. Как рассчитать токи в схеме комплексным методом?

Для расчета связываем векторную диаграмму с комплексной плоскостью; для упрощения выкладок один из векторов, например напряжение, направим по действительной оси, т.е. U = 220 В.

Токи в ветвях в комплексной форме:

Í₁ = 2,27e^-j53,1° = 2,27 (cos 53,1° - j sin 53,1°) = (1,36 - j 1,81) А;
Í₂ = 2,6e^-j45,5° = 2,6 (cos 45,5° - j sin 45,5°) = (1,82 - j 1,84) А.

По первому закону Кирхгофа ток источника

Í = Í₁ + Í₂ = 1,36 - j 1,81 + 1,82 - j 1,84 = 3,18 - j 3,66 = 4,85e^-j49° А.

Мощность цепи в комплексной форме:

S = Ú Î = 220 · 4,85e^j49° =1067e^j49° = (700 + j 806) ВА;
S = 1067 ВА; P = 700 Вт; Q = 806 ВАр.

Батарея конденсаторов рассчитывается, как это было рассмотрено выше.

6.5.3. Расчет разветвленной электрической цепи

Задача 2. На участке механической обработки установлено электрооборудование: 1) привод металлорежущих станков – асинхронные двигатели, для которых известны параметры R₁ = 4 Ом; cos φ₁ = 0,8; 2) осветительные приборы – люминесцентные лампы, сопротивление которых R₂ = 8 Ом; 3) батарея конденсаторов, емкостью С = 200 мкФ, для повышения коэффициента мощности. К участку электрическая энергия подводится по кабельной линии сопротивлением R_Л = 1,8 Ом и Х_Л = 0,6 м от источника с напряжением U_C = 660 В. Вычислить токи на всех участках цепи и напряжение, подведенное к потребителям U_П.

Анализ и решение задачи 2

1. По условию задачи составим схему замещения цепи (рис. 6.15), в которой кабельная линия электропередачи представлена в виде последовательного соединения резистивного и емкостного элементов.

2. Определим неизвестные параметры и запишем в комплексном виде сопротивления всех элементов цепи.

---

Смотрите также файлы

• 6(1) Трехфазные электрические цепи.doc

• 6(2) Практикум Трехфазные электрические цепи.doc

• 7(1) Магнитные и нелинейные цепи.doc

• 7(2) Практикум Магнитные и нелинейные цепи.doc

• 8(1) Переходные процессы в линейных электрических цепях.doc