Однофазные электрические цепи переменного тока

Большинство потребителей электрической энергии работает на переменном токе. В настоящее время почти вся электрическая энергия вырабатывается в виде энергии переменного тока. Это объясняется преимуществом производства и распределения этой энергии. Переменный ток получают на электростанциях, преобразуя с помощью генераторов механическую энергию в электрическую. Основное преимущество переменного тока по сравнению с постоянным заключается в возможности с помощью трансформаторов повышать или понижать напряжение, с минимальными потерями передавать электрическую энергию на большие расстояния, в трехфазных источниках питания получать сразу два напряжения: линейное и фазное. Кроме того, генераторы и двигатели переменного тока более просты по устройству, надежней в работе и проще в эксплуатации по сравнению с машинами постоянного тока.

В электрических цепях переменного тока наиболее часто используют синусоидальную форму, характеризующуюся тем, что все токи и напряжения являются синусоидальными функциями времени. В генераторах переменного тока получают ЭДС, изменяющуюся во времени по закону синуса, и тем самым обеспечивают наиболее выгодный эксплуатационный режим работы электрических установок. Кроме того, синусоидальная форма тока и напряжения позволяет производить точный расчет электрических цепей с использованием метода комплексных чисел и приближенный расчет на основе метода векторных диаграмм. При этом для расчета используются законы Ома и Кирхгофа, но записанные в векторной или комплексной форме.

2.1. Способы представления синусоидальных токов, напряжений, ЭДС

В современной технике широко используют разнообразные по форме переменные токи и напряжения: синусоидальные, прямоугольные, треугольные и др. Значение тока, напряжения, ЭДС в любой момент времени t называется мгновенным значением и обозначается малыми строчными буквами, соответственно

i = i(t); u = u(t); e = e(t).

Токи, напряжения и ЭДС, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени, называют периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения происходят, называют периодом Т.

Если кривая изменения периодического тока описывается синусоидой, то ток называют синусоидальным. Если кривая отличается от синусоиды, то ток несинусоидальный.

В промышленных масштабах электрическая энергия производится, передается и расходуется потребителями в виде синусоидальных токов, напряжений и ЭДС,

При расчете и анализе электрических цепей применяют несколько способов представления синусоидальных электрических величин.

1. Аналитический способ

Для тока

(2.1)

i(t) = I_m sin(ωt + ψ_i),

для напряжения

(2.2)

u(t) = U_m sin (ωt +ψ_u),

для ЭДС

(2.3)

e(t) = E_m sin (ωt +ψ_e),

В уравнениях (2.1 – 2.3) обозначено:

---

I_m, U_m, E_m – амплитуды тока, напряжения, ЭДС;
значение в скобках – фаза (полная фаза);
ψ_i, ψ_u, ψ_e – начальная фаза тока, напряжения, ЭДС;
ω – циклическая частота, ω = 2πf;
f – частота, f = 1 / T; Т – период.

Величины i, I_m – измеряются в амперах, величины U, U_m, e, E_m – в вольтах; величина Т (период) измеряется в секундах (с); частота f – в герцах (Гц), циклическая частота ω имеет размерность рад/с. Значения начальных фаз ψ_i, ψ_u, ψ_e могут измеряться в радианах или градусах. Величина ψ_i, ψ_u, ψ_e зависит от начала отсчета времени t = 0. Положительное значение откладывается влево, отрицательное – вправо.

2. Временная диаграмма

Временная диаграмма представляет графическое изображение синусоидальной величины в заданном масштабе в зависимости от времени (рис. 2.1).

i(t) = I_m sin(ωt - ψ_i).

3. Графоаналитический способ

Рис. 2.2

Графически синусоидальные величины изображаются в виде вращающегося вектора (рис. 2.2). Предполагается вращение против часовой стрелки с частотой вращения ω. Величина вектора в заданном масштабе представляет амплитудное значение. Проекция на вертикальную ось есть мгновенное значение величины.

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины (ток, напряжение, ЭДС) одной и той же частоты называют векторной диаграммой.

Векторные величины отмечаются точкой над соответствующими переменными.

Использование векторных диаграмм позволяет существенно упросить анализ цепей переменного тока, сделать его простым и наглядным.

В основе графоаналитического способа анализа цепей переменного тока лежит построение векторных диаграмм.

Пример (рис. 2.3)

Рис. 2.3

i₁(t) = I_m1 sin(ωt)
i₂(t) = I_m2 sin(ωt + ψ₂)

i(t) = ?

Первый закон Кирхгофа выполняется для мгновенных значений токов:

i(t) = i₁(t) + i₂(t) = I_m1 sin(ωt) + I_m2 sin(ωt - ψ₂) = I_m sin(ωt + ψ).

Приравниваем проекции на вертикальную и горизонтальные оси (рис. 2.4):

(2.4)

I_m sin ψ = I_m2 sin ψ₂;

(2.5)

I_m cos ψ = I_m2 cos ψ₂ + I_m1;

Рис. 2.4

Из равенств (2.4 – 2.5) получаем

;
.

 

4. Аналитический метод с использованием комплексных чисел

Рис. 2.5

Синусоидальный ток i(t) = I_m sin(ωt + ψ) можно представить комплексным числом Í_m на комплексной плоскости (рис. 2.5)

Í_m = I_me^jψ,

где амплитуда тока I_m – модуль, а угол ψ, являющийся начальной фазой, – аргумент комплексного тока.

Использование комплексной формы представления позволяет заменить геометрические операции над векторами алгебраическими операциями над комплексными числами. В результате этого к анализу цепей переменного тока могут быть применены все методы анализа цепей постоянного тока. Подробнее этот метод будет рассмотрен ниже.

2.2. Действующее значение переменного тока и напряжения

Для сравнения действий постоянного и переменного токов вводят понятие действующее значение переменного тока.

Действующее значение переменного тока численно равно такому постоянному току, при котором за время равное одному периоду в проводнике с сопротивлением R выделяется такое же количество тепловой энергии, как и при переменном токе.

---

Определим количество энергии, выделяемой за период в проводнике с сопротивлением R для каждого из токов и приравняем их.

(2.6)

Из (2.6) следует:

Для любой из синусоидальных величин получаем

; .

Условились, что все измерительные приборы показывают действующие значения. Например, 220 В – действующее значение, тогда .

2.3. Элементы электрической цепи синусоидального тока

Индуктивность

Вокруг всякого проводника с током образуется магнитное поле, которое характеризуется вектором магнитной индукции В и магнитным потоком Ф:

.

Если поле образуют несколько (w) проводников с одинаковым током, то используют понятие потокосцепления ψ

(2.7)

ψ = w Ф.

Отношение потокосцепления к току, который его создает называют индуктивностью катушки

(2.8)

L = ψ / i.

При изменении во времени потокосцепления согласно закону Фарадея возникает ЭДС самоиндукции

e_L = - dψ / dt.

С учетом соотношения (2.8) для eL получаем

(2.9)

e_L = - L · di / dt.

Эта ЭДС всегда препятствует изменению тока (закон Ленца). Поэтому, чтобы через проводники все время тек ток, необходимо к проводникам прикладывать компенсирующее напряжение

(2.10)

u_L = -e_L.

Сопоставляя уравнения (2.9) и (2.10) получаем

(2.11)

u_L = L · di / dt

Это соотношение является аналогом закона Ома для индуктивности. Конструктивно индуктивность выполняется в виде катушки с проводом.

Условное обозначение индуктивности

Катушка с проводом кроме свойства создавать магнитное поле обладает активным сопротивлением R.

Условное обозначение реальной индуктивности.

Единицей измерения индуктивности является Генри (Гн). Часто используют дробные единицы

1 мкГн = 10^–6 Гн; 1 мкГн = 10^–3 Гн.

Емкость

Все проводники с электрическим зарядом создают электрическое поле. Характеристикой этого поля является разность потенциалов (напряжение). Электрическую емкость определяют отношением заряда проводника к напряжению

C = Q / U_C.

С учетом соотношения

i = dQ / dt

получаем формулу связи тока с напряжением

i = C · du_C / dt.

Для удобства ее интегрируют и получают

(2.12)

u_C = 1 / C · ∫ i dt.

Это соотношение является аналогом закона Ома для емкости.

Конструктивно емкость выполняется в виде двух проводников разделенных слоем диэлектрика. Форма проводников может быть плоской, трубчатой, шарообразной и др.

Единицей измерения емкости является фарада:

1Ф = 1Кл / 1В = 1Кулон / 1Вольт.

Оказалось, что фарада является большой единицей, например, емкость земного шара равна ≈ 0,7 Ф. Поэтому чаще всего используют дробные значения

1 пФ = 10^–12 Ф, (пФ – пикофарада);
1 нФ = 10^–9 Ф, (нФ – нанофарада);
1 мкФ = 10^–6 Ф, (мкФ – микрофарада).

Условным обозначением емкости является символ

2.4. Основные свойства простейших цепей переменного тока

Простейшие цепи – цепи, содержащие один элемент.

1. Участок цепи, содержащий активное сопротивление (рис. 2.6).

Рис. 2.6

Зададимся изменением тока в резисторе по синусоидальному закону

---

i(t) = I_mR sin(ωt + ψ_i).

Воспользуемся законом Ома для мгновенных значений тока и напряжения

u(t) = R i(t)

и получим

(2.13)

u(t) = R I_mR sin(ωt + ψ_i).

Формальная запись синусоидального напряжения имеет вид

(2.14)

u(t) = U_mR sin(ωt + ψ_u)

Соотношения (2.13) и (2.14) будут равны если будут выполнены условия равенства амплитуд и фаз

(2.15)

U_mR = R I_mR,

(2.16)

ψ_u = ψ_i.

Соотношение (2.15) может быть записано для действующих значений

(2.17)

U_R = R I_R.

Соотношение (2.16) показывает, что фазы напряжения и тока в резисторе совпадают. Графически это представлено на временной диаграмме (рис. 2.7) и на комплексной плоскости (рис. 2.8).

Рис. 2.7 и 2.8

2. Участок цепи, содержащий идеальную индуктивность (рис 2.9)

Рис. 2.9

Зададим изменение тока в индуктивности по синусоидальному закону

i(t) = I_mL sin(ωt + ψ_i).

Используем уравнение связи между током и напряжением в индуктивности

u_L = L · di / dt

и получим

u_L(t) = ωL · I_mL cos(ωt + ψ_i).

Заменим cos на sin и получим

(2.18)

u_L(t) = ωL · I_mL sin(ωt + ψ_i + 90°).

Формальная запись синусоидального напряжения имеет вид

(2.19)

u_L(t) = U_mL sin(ωt + ψ_u).

Соотношения (2.18) и (2.19) будут равны если выполняется условие равенства амплитуд и фаз

(2.20)

U_mL = ωL · I_mL,

(2.21)

ψ_u = ψ_i + 90°.

Уравнение (2.20) можно переписать для действующих значений

(2.22)

U_L = ωL · I_L.

Уравнение (2.21) показывает, что фаза тока в индуктивности отстает от фазы напряжения на 90°. Величину X_L = ωL в уравнении (2.20) называют индуктивным сопротивлением. Единицей его измерения является Ом. Графически электрические процессы в индуктивности представлены на рис. 2.10, 2.11.

Рис. 2.10 и 2.11

3. Участок цепи, содержащий ёмкость (рис. 2.12)

Рис. 2.12

Зададим изменение тока в емкости по синусоидальному закону

i(t) = I_mC sin(ωt + ψ_i).

Используем уравнением связи между током и напряжением в емкости

u_C = 1 / C · ∫ i dt,

и получим

u_C = 1 / (ωC) · I_mC (-cos(ωt + ψ_i)).

Заменим –cos на sin

(2.23)

u_C = 1 / (ωC) · I_mC sin(ωt + ψ_i - 90°).

Формальная запись синусоидального напряжения имеет вид

(2.24)

u_C = U_mC sin(ωt + ψ_u).

Соотношения (2.23) и (2.24) будут равны если выполняется условие равенства амплитуд и фаз

(2.25)

U_mC = 1 / (ωC) · I_mC,

(2.26)

ψ_u = ψ_i - 90°.

Уравнение (2.25) можно переписать для действующих значений

(2.27)

U_C = 1 / (ωC) · I_C.

Уравнение (2.26) показывает, что фаза напряжения в емкости отстает от фазы тока на 90°. Величину X_C = 1 / (ωC) в уравнении (2.25) называют емкостным сопротивлением цепи и измеряют его в Омах. Графически электрические процессы в емкости представлены на рис. 2.13, 2.14.

Рис. 2.13 и 2.14

2.5. Сопротивления в цепи переменного тока

В цепях переменного тока выделяют следующие виды сопротивлений.

Активное. Активным называют сопротивление резистора. Условное обозначение

Единицей измерения сопротивления является Ом. Сопротивление резистора не зависит от частоты.

Реактивное. В разделе реактивные выделяют три вида сопротивлений: индуктивное xL и емкостное хс и собственно реактивное. Для индуктивного сопротивления выше была получена формула X_L = ωL. Единицей измерения индуктивного сопротивления также является Ом. Величина xL линейно зависит от частоты.

---

Для емкостного сопротивления выше была получена формула X_C = 1 / ωC. Единицей измерения емкостного сопротивления является Ом. Величина хс зависит от частоты по обратно-пропорциональному закону. Просто реактивным сопротивлением цепи называют величину X = X_L - X_C.

Полное сопротивление. Полным сопротивлением цепи называют величину

(2.28)

.

Из этого соотношения следует, что сопротивления Z, R и X образуют треугольник: Z – гипотенуза, R и X – катеты. Для удобства в этом треугольнике рассматривают угол φ, который определяют уравнением

(2.29)

φ = arctg((X_L - X_C) / R),

и называют углом сдвига фаз. С учетом него можно дать дополнительные связи

(2.30)

R = Z cos φ,

(2.31)

X = Z sin φ.

2.6. Мощности в цепях переменного тока

По аналогии с мощностью в цепях постоянного тока P = U I, в цепях переменного тока рассматривают мгновенную мощность p = u i. Для упрощения рассмотрим мгновенную мощность в каждом из элементов R, L и С отдельно.

Элемент R (резистор)

Зададим напряжение и ток в виде соотношений

u(t) = U_m sin(ωt + ψ_u),

i(t) = I_m sin(ωt + ψ_i).

Известно, что для резистора ψ_u = ψ_i, тогда для р получим

(2.32)

p(t) = u(t) i(t) = U_m I_m sin²(ωt + ψ_i).

Из уравнения (2.32) видно, что мгновенная мощность всегда больше нуля и изменяется во времени. В таких случаях принять рассматривать среднюю за период Т мощность

(2.33)

.

Если записать U_m и I_m через действующие значения U и I: , , то получим

(2.34)

P = U I.

По форме уравнение (2.34) совпадает с мощностью на постоянном токе. Величину Р равную произведению действующих значений тока и напряжения называют активной мощностью. Единицей ее измерения является Ватт (Вт).

Элемент L (индуктивность)

Известно, что в индуктивности соотношение фаз ψ_u = ψ_i + 90°. Для мгновенной мощности имеет

(2.35)

.

Усредняя уравнение (2.35) по времени за период Т получим

.

Для количественной оценки мощности в индуктивности используют величину Q_L равную максимальному значению р_L

(2.36)

Q_L = (U_m I_m) / 2

и называют ее реактивной (индуктивной) мощностью. Единицей ее измерения выбрали ВАр (вольт-ампер реактивный). Уравнение (2.36) можно записать через действующие значения U и I и используя формулу U_L = I X_L получим

(2.37)

Q_L = I² X_L.

Элемент С (ёмкость)

Известно, что в емкости соотношение фаз ψ_u = ψ_i - 90°. Для мгновенной мощности получаем

p_C(t) = u(t) I(t) = (U_m I_m) / 2 · sin(2ωt).

Среднее значение за период здесь также равно нулю. По аналогии с уравнением (2.36) вводят величину Q_C = I² X_C, которую называют реактивной (емкостной) мощностью. Единицей ее измерения также является ВАр.

Если в цепи присутствуют элементы R, L и С, то активная и реактивная мощности определяются уравнениями

(2.37)

P = U I cos φ,

(2.38)

Q = Q_L - Q_C,

(2.39)

Q = U I sin φ,

где φ – угол сдвига фаз.

Вводят понятие полной мощности цепи

(2.40)

.

С учетом уравнений (2.37) и (2.39), (2.40) можно записать в виде

(2.41)

S = U I.

Единицей измерения полной мощности является ВА – вольт-ампер.

2.7. Цепь с последовательным соединением элементов

---

Смотрите также файлы

• 5(2) Практикум Электрические цепи переменного тока.doc

• 6(1) Трехфазные электрические цепи.doc

• 6(2) Практикум Трехфазные электрические цепи.doc

• 7(1) Магнитные и нелинейные цепи.doc

• 7(2) Практикум Магнитные и нелинейные цепи.doc