ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 431
Скачиваний: 2
www.uchites.ru
1
1.2.
Численные
методы
решения
задач
на
собственные
значения
и
собственные
векторы
матриц
1 . 2 . 1 .
О с н о в н ы е
о п р е д е л е н и я
и
с п е к т р а л ь н ы е
с в о й с т в а
м а т р и ц
Рассмотрим
матрицу
в
A
n n
×
n
-
мерном
вещественном
пространстве
n
R
векторов
T
n
x
x
x
x
)
(
2
1
Κ
=
.
1.
Собственным
вектором
матрицы
A
называется
ненулевой
вектор
x
(
)
x
≠
ϑ
,
удовлетворяющий
равенству
x
Ax
λ
=
,
(1.21)
где
λ
-
собственное
значение
матрицы
A
,
соответствующее
рассматриваемому
собственному
вектору
.
2.
Собственные
значения
матрицы
A
с
действительными
элементами
могут
быть
вещественными
различными
,
вещественными
кратными
,
комплексными
попарно
сопряженными
,
комплексными
кратными
.
3.
Классический
способ
нахождения
собственных
значений
и
собственных
векторов
известен
и
заключается
в
следующем
:
для
однородной
СЛАУ
,
полученной
из
(1.21)
(
)
,
ϑ
λ
=
−
x
E
A
(
T
0
0
0
Κ
=
ϑ
)
ненулевые
решения
(
ϑ
≠
x
,
а
именно
такие
решения
и
находятся
)
имеют
место
при
(
)
,
0
det
=
−
E
A
λ
(1.22)
причем
уравнение
(1.22)
называют
характеристическим
уравнением
,
а
выражение
в
левой
части
-
характеристическим
многочленом
;
каким
-
либо
способом
находят
решения
n
λ
λ
λ
,
,
,
2
1
Κ
алгебраического
уравнения
(1.22)
n
-
й
степени
(
предположим
,
что
они
вещественны
и
различны
);
решая
однородную
СЛАУ
(1.22)
для
различных
собственных
значений
j
λ
,
n
j
,
1
=
,
(
)
ϑ
λ
=
−
j
j
x
E
A
,
n
j
,
1
=
,
www.uchites.ru
2
получаем
линейно
независимые
собственные
векторы
,
j
x
n
j
,
1
=
,
соответствующие
собственным
значениям
j
λ
,
n
j
,
1
=
.
4.
Попарно
различным
собственным
значениям
соответствуют
линейно
независимые
собственные
векторы
;
k
-
кратному
корню
характеристического
уравнения
(2.79),
построенного
для
произвольной
матрицы
,
соответствует
не
более
k
линейно
независимых
собственных
векторов
.
Если
количество
линейно
независимых
собственных
векторов
матрицы
совпадает
с
размерностью
пространства
n
n
A
×
(
≤
k
)
n
n
A
×
n
R
,
то
их
можно
принять
за
новый
базис
,
в
котором
матрица
примет
диагональный
вид
n
n
A
×
U
A
U
⋅
⋅
=
Λ
−
1
,
(1.23)
на
главной
диагонали
которой
находятся
собственные
значения
,
а
столбцы
матрицы
преобразования
являются
собственными
векторами
матрицы
A
(
матрицы
и
A,
удовлетворяющие
равенству
(1.23),
называются
подобными
).
C
обственные
значения
подобных
матриц
U
Λ
Λ
и
A
совпадают
.
5.
Симметрическая
матрица
A
(
)
A
A
T
=
имеет
полный
спектр
j
λ
,
n
j
,
1
=
вещественных
собственных
значений
;
положительно
определенная
симметрическая
матрица
(
)
(
)
0
,
,
>
=
x
Ax
A
A
T
имеет
полный
спектр
вещественных
положительных
собственных
значений
;
k
-
кратному
корню
характеристического
уравнения
(2.79)
симметрической
матрицы
соответствует
ровно
k
линейно
независимых
собственных
векторов
;
симметрическая
матрица
имеет
ровно
n
ортогональных
собственных
векторов
,
приняв
которые
за
новый
базис
(
т
.
е
.
построив
матрицу
преобразования
U
,
взяв
в
качестве
ее
столбцов
координатные
столбцы
собственных
векторов
),
можно
преобразовать
симметрическую
матрицу
A
к
диагональному
ви
ду
с
помощью
преобразования
(1.23);
для
симметрической
матрицы
A
матрица
преобразования
U
в
(1.23)
является
ортогональной
и
,
следовательно
,
преобразование
(1.23)
имеет
вид
T
U
U
=
−
1
U
A
U
T
⋅
⋅
=
Λ
.
(1.24)
www.uchites.ru
3
1 . 2 . 2 .
М е т о д
в р а щ е н и й
Я к о б и
ч и с л е н н о г о
р е ш е н и я
з а д а ч
н а
с о б с т в е н н ы е
з н а ч е н и я
и
с о б с т в е н н ы е
в е к т о р ы
м а т р и ц
Метод
вращений
Якоби
применим
только
для
симметрических
матриц
(
A
nxn
A
A
T
=
)
и
решает
полную
проблему
собственных
значений
и
собственных
векторов
таких
матриц
.
Он
основан
на
отыскании
с
помощью
итерационных
процедур
матрицы
U
в
преобразовании
подобия
Λ =
−
U AU
1
,
а
поскольку
для
симметрических
матриц
A
матрица
преобразования
подобия
U
является
ортогональной
(
U
),
то
U
T
−
=
1
Λ =
U AU
T
,
где
-
диагональная
матрица
с
собственными
значениями
на
главной
диагонали
Λ
Λ =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
λ
λ
1
0
0
...
...
...
...
Ο
n
.
Пусть
дана
симметрическая
матрица
A
.
Требуется
для
нее
вычислить
с
точностью
все
собственные
значения
и
соответствующие
им
собственные
векторы
.
Алгоритм
метода
вращения
следующий
:
ε
Пусть
известна
матрица
)
(
k
A
на
k
–
й
итерации
,
при
этом
для
k
=0
A
A
=
)
0
(
.
1.
Выбирается
максимальный
по
модулю
недиагональный
элемент
матрицы
)
(
k
ij
a
)
(
k
A
(
)
(
k
ij
a
=
)
(
max
k
lm
m
l
a
<
) .
2.
Ставится
задача
найти
такую
ортогональную
матрицу
,
чтобы
в
результате
преобразования
подобия
произошло
обнуление
элемента
матрицы
)
(
k
U
)
(
)
(
)
(
)
1
(
k
k
T
k
k
U
A
U
A
=
+
)
1
(
+
k
ij
a
)
1
(
+
k
A
.
В
качестве
ортогональной
матрицы
выбирается
матрица
вращения
,
имеющая
следующий
вид
:
j
i
U
j
i
k
k
k
k
k
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
1
1
0
cos
sin
1
1
sin
cos
0
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
Ο
Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Μ
Μ
Μ
Ο
Μ
Μ
Μ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
Ο
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
,
www.uchites.ru
4
В
матрице
вращения
на
пересечении
−
i
й
строки
и
−
j
го
столбца
находится
элемент
где
-
угол
вращения
,
подлежащий
определению
.
Симметрично
относительно
главной
диагонали
(
j
-
я
строка
, -
й
столбец
)
расположен
элемент
;
Диагональные
элементы
и
равны
соответственно
,
;
другие
диагональные
элементы
=
)
(
k
ij
u
,
sin
)
(
k
ϕ
−
)
(
k
ϕ
i
)
(
k
ji
u
)
(
sin
k
ϕ
=
)
(
k
ii
u
)
(
k
jj
u
)
(
)
(
cos
k
k
ii
u
ϕ
=
=
k
jj
u
)
(
cos
k
ϕ
;
,
,
,
1
,
1
)
(
j
m
i
m
n
m
u
k
mm
≠
≠
=
=
остальные
элементы
в
матрице
вращения
равны
нулю
.
)
(
k
U
Угол
вращения
определяется
из
условия
:
)
(
k
ϕ
0
)
1
(
=
+
k
ij
a
,
2
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
k
jj
k
ii
k
ij
k
a
a
a
arctg
−
=
ϕ
причем
если
то
,
)
(
)
(
k
jj
k
ii
a
a
=
4
)
(
π
ϕ
=
k
.
3.
Строится
матрица
)
1
(
+
k
A
,
)
(
)
(
)
(
)
1
(
k
k
T
k
k
U
A
U
A
=
+
в
которой
элемент
.
0
)
1
(
≈
+
k
ij
a
В
качестве
критерия
окончания
итерационного
процесса
используется
условие
малости
суммы
квадратов
внедиагональных
элементов
:
(
)
(
)
.
2
/
1
2
;
,
)
1
(
)
1
(
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
∑
<
+
+
m
l
m
l
k
lm
k
a
A
t
Если
(
)
,
)
1
(
ε
>
+
k
A
t
то
итерационный
процесс
)
(
)
1
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
...
...
k
T
T
k
T
k
k
k
T
k
k
U
U
U
A
U
U
U
U
A
U
A
−
+
=
=
продолжается
.
Если
(
)
ε
<
+
)
1
(
k
A
t
,
то
итерационный
процесс
останавливается
,
и
в
качестве
искомых
собственных
значений
принимаются
.
)
1
(
)
1
(
22
2
)
1
(
11
1
...,
,
,
+
+
+
≈
≈
≈
k
nn
n
k
k
a
a
a
λ
λ
λ
Координатными
столбцами
собственных
векторов
матрицы
A
в
единичном
базисе
будут
столбцы
матрицы
т
.
е
.
,
...
)
(
)
1
(
)
0
(
k
U
U
U
U
=
( )
(
)
,
...
1
21
11
1
n
Т
u
u
u
x
=
( )
(
)
,
...
2
22
12
2
n
Т
u
u
u
x
=
( )
(
)
,
...
2
1
nn
n
n
Т
n
u
u
u
x
=
причем
эти
собственные
векторы
будут
ортогональны
между
собой
,
т
.
е
.
(
)
.
,
0
,
m
l
x
x
m
l
≠
≈
Пример
1.7.
С
точностью
3
,
0
=
ε
вычислить
собственные
значения
и
собственные
векторы
матрицы
.
6
3
1
5
2
1
2
4
)
0
(
A
A
≡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
3
Р
е
ш
е
н
и
е
.
www.uchites.ru
5
1).
Выбираем
максимальный
по
модулю
внедиагональный
элемент
матрицы
)
0
(
A
,
т
.
е
.
находим
,
такой
что
)
0
(
ij
a
)
0
(
ij
a
=
)
0
(
max
lm
m
l
a
<
.
Им
является
элемент
.
3
)
0
(
23
=
a
2).
Находим
соответствующую
этому
элементу
матрицу
вращения
:
=
−
⋅
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
6
5
3
2
2
1
;
cos
sin
0
sin
cos
0
0
0
1
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
arctg
U
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
;
7033
,
0
−
=
;
76
,
0
cos
;
65
,
0
sin
)
0
(
)
0
(
=
−
=
ϕ
ϕ
;
76
,
0
65
,
0
0
65
,
0
76
,
0
0
0
0
1
)
0
(
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
U
.
3).
Вычисляем
матрицу
)
1
(
A
:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
=
54
,
8
03
,
0
06
,
2
03
,
0
46
,
2
87
,
0
87
,
0
4
)
0
(
)
0
(
)
1
(
2,06
U
A
U
A
T
.
В
полученной
матрице
с
точностью
до
ошибок
округления
элемент
.
0
)
1
(
23
=
a
( )
( )
ε
>
−
+
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
∑
<
2
/
1
2
2
2
2
/
1
2
;
,
)
1
(
)
1
(
)
)
03
,
0
(
06
,
2
87
,
0
(
m
l
m
l
lm
a
A
t
,
следовательно
итерационный
процесс
необходимо
продолжить
.
Переходим
к
следующей
итерации
)
1
(
=
k
:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
<
)
1
(
;
,
)
1
(
13
)
1
(
13
max
;
06
,
2
lm
m
l
m
l
a
a
a
.
;
cos
0
sin
0
1
0
sin
0
cos
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
U
;
933
,
0
cos
;
361
,
0
sin
;
3693
,
0
54
,
8
4
06
,
2
2
2
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
=
−
=
−
=
−
⋅
=
ϕ
ϕ
ϕ
arctg
;
933
,
0
0
361
,
0
0
1
0
361
,
0
0
933
,
0
)
1
(
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
U
.
38
,
9
28
,
0
005
,
0
28
,
0
46
,
2
819
,
0
005
,
0
19
,
3
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
2
(
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
0,819
U
A
U
A
T
( )
( )
ε
>
+
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
∑
<
2
/
1
2
2
2
2
/
1
2
;
,
)
2
(
)
2
(
)
005
,
0
28
,
0
819
,
0
(
m
l
m
l
lm
a
A
t
.
Переходим
к
следующей
итерации
)
2
(
=
k
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
<
)
2
(
;
,
)
2
(
12
)
2
(
12
max
;
819
,
0
lm
m
l
m
l
a
a
a