Кинетическая энергия вращения

Возьмем абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 1). Разобьем тело на маленькие объемы с элементарными массами m₁, m₂,..., m_n , находящиеся на расстоянии r₁, r₂,..., r_n от оси. 

Рис.1

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси каждый из его элементарных объемов массами m_i опишет окружность соответствующих радиусов r_i; при этом объем будет иметь соответствующую линейную скорость v_i. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова: 

 (1) 

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов: 

 или  

Используя выражение (1), получаем 

 

где J_z - момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела 

 (2) 

Из сравнения формулы (2) с выражением для кинетической энергии поступательно движущегося тела (T=mv²/2), мы видим, что момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Формула (2) справедлива для тела вращающегося вокруг неподвижной оси. 
В качеcтве примера напишем формулу для плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения. Его энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения: 

 

где m - масса катящегося тела; v_c - скорость центра масс тела; J_c - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω - угловая скорость тела.

---

Смотрите также файлы

• Деформация твердого тела.doc

• сила трения.doc

• 19. Intoneme 2.docx

• 8. Das System des deutschen Konsonantismus.docx

• 9. Vergleich der deutschen und der russischen Konsonanten.docx