1. 
   Модели в переменных состояния. Основные определения.
   

Очень ценный и часто используемый инструмент для моделирования объекта - описание его переменными состояния.

Переменные состояния представляют собой набор внутренних переменных, который является полным набором в том смысле, что если эти переменные известны в некоторое время, то любой выход объекта у(t) может быть вычислен для любого последующего времени как функция от переменных состояния, а также настоящих и будущих значений входов.

Смысл модели в переменных состояния (или модели в пространстве состояний) заключается в том, что она сохраняет соотношение между входом и выходом системы (т.е. передаточную функцию), но в то же время позволяет перейти от одного дифференциального уравнения n-го порядка к системе n-дифференциальных уравнений первого порядка. Преимущество такого представления в том, что кроме двух внешних переменных (входной и выходной). в модели отражаются и все внутренние переменные системы.

Состояние системы - это совокупность таких переменных, знание которых, наряду с входными функциями и уравнениями, описывающими динамику системы, позволяет определить её будущее состояние и выходную переменную.

Для динамической системы её состояние описывается набором переменных состояния [x1,(t),x2,(t),…,x_n (t)]. Это такие переменные, которые определяют будущее поведение системы, если известно её текущее состояние и все внешние воздействия. Общий вид динамической системы приведён на рисунке. Состояние линейной стационарной системы описывается дифференциальными уравнениями первого порядка относительно каждой из переменных состояния.

Вектор входных сигналов обозначается как u. Тогда систему можно записать в компактном виде дифференциальным уравнением состояния xˊ= Ax + Bu. Матрица А является квадратной размерности n×n, а матрица В имеет размерность n x m. Уравнение состояния связывает скорость изменения состояния системы с самим состоянием и входными сигналами. В общем случае выходные сигналы линейной системы связаны с переменными состояниями и входными сигналами уравнением выхода y = Cx + Du. где у - совокупность выходных сигналов,

---

представленная в виде вектора-столбца, a С и D - матрицы соответствующих размерностей

Переменные состояния, описывающие систему, не являются единственными, и всегда можно выбрать альтернативную комбинацию таких переменных

2. 
   Переход от передаточной функции к уравнениям состояния.
   

Для этого часто используется схема моделирования называемая канонической формой управляемости, которая строится по передаточной функции общего вида (рисунок)

Заметим, что в данной передаточной функции порядок числителя должен быть, по крайней мере, на единицу меньше порядка знаменателя. Однако схемы моделирования можно изобразить и для систем, передаточные функции имеют одинаковый порядок числителя и знаменателя. Кроме этого, полином знаменателя должен быть записан в приведённом виде, т.е. коэффициент при старшем члене равен единице.

Если по заданной передаточной функции построена схема моделирования, то легко можно получить модель системы в переменных состояния. Эта процедура состоит из двух этапов: 1. Принять выход каждого интегратора за переменную состояния.2. Записать уравнения относительно входа каждого интегратора и относительно каждого выхода системы.

Пример

3. 
   Связь между передаточной функцией и уравнениями состояния.
   

Теперь покажем, как по уравнениям состояния системы с одним входом и одним выходом

x= Ax+ Bu

y= Cx,

можно определить её передаточную функцию.

Преобразуя эти уравнения по Лапласу при нулевых начальных условиях,

получим:

pX(p)= AX(p) + BU(p),

Y(p)= CX(p),

где В - матрица размерности n×1, поскольку и есть единственный вход.

Группируя соответствующие члены, получим:

(pI - A)X(p)= BU(p),

X(p)=(pI - A) BU(p)=Ф(р)BU(p),

где Ф(р) - преобразование Лапласа фундаментальной матрицы Ф(t) = exp(At).

Выражение для Y(р) будет иметь вид:

Y(p)=СФ(р)BU(p).

Поскольку передаточная функция W1(p) = Y(p)/U(p), то окончательно имеем:

W1(p)=СФ(р)В.

4. Управляемость и наблюдаемость.

Система управления, описываемая матрицами (А,В), является

---

управляемой, если существует такое неограниченное управление u, которое может перевести систему из произвольного начального состояния x(0) в любое другое заданное состояние x(t).

Управляемость системы, описываемой уравнением x= Ax+ Bu, можно определить, исследуя алгебраическое условие ранг [В А²В …А ^n-1 B]= n.

Для системы с одним входом и одним выходом вводится понятие матрицы управляемости Рc =[B А²В …А ^n-1 B], и имеет размерность nхn. Если определитель матрицы Р, отличен от нуля, тосистема является управляемой.

С другой стороны, система является управляемой, если имеются пути от управляющего сигнала u к каждой из переменных состояния.

Все корни характеристического уравнения можно разместить в заданных точках плоскости корней только в том случае, когда система является управляемой и наблюдаемой.

Система является наблюдаемой тогда и только тогда, если существует конечное время Т такое, что начальное состояние х(0) может быть определено в результате наблюдения выходной переменной y(t),t ∈ T, при заданном управлении u(t).

Наблюдаемость связана со способностью оценивать переменные состояния. Говорят, что система может быть наблюдаемой, если каждая переменная состояния вносит свой вклад в выходной сигнал системы.

Рассмотрим систему с одним входом и одним выходом, описываемую уравнениями

x= Ax+ Bu

y= Cx,

Система является наблюдаемой, если определитель матрицы размерности nхn (называемой матрицей наблюдаемости) отличен от нуля, где рисунок

5. 
   Задача модального управления.
   

Обратная связь по состоянию позволяет осуществить модальное управление и оптимальное управление объектом.

Рассмотрим реализацию модального управления. Модальное управление решает задачу перевода управляемого объекта, описываемого уравнением состояния

x(t) = Ax(t) + Bu(t),

и уравнением выхода y(t) = Cx(t),

из произвольного начального состояния x(0) ≠ 0 в нулевое состояние так, чтобы качественные показатели системы, в частности, перерегулирование и время регулирования не превышали заданных значений.

Задачу модального управления рассмотрим применительно к объекту управления с одним входом и одним выходом. Замкнутая система может быть представлена в следующем виде (рисунок)

Поскольку вход системы равен нулю, то её назначение сводится к тому. чтобы поддерживать равной нулю выходную переменную. В реальных условиях система управления подвержена влиянию возмущений, которые стремятся сделать выход объекта отличным от нуля. Цель обратной связи – вернуть значение выходной переменной (н всех переменных состояния) к нулю определённым, наперёд заданным, образом.

---

Численные значения перерегулирования и время регулирования зависят от корней характеристического уравнения Д.(р) системы, образованной объектом управления ОУ и регулятором состояния РС. Задача модального управления интерпретируется еще как задача желаемого расположения корней характеристического уравнения системы, иначе - полюсов системы, или как задача синтеза регулятора состояния.

5. 
   Синтез регулятора состояния в задаче модального управления.
   

В общем случае вход объекта управления является функцией переменных состояния, т.е.

u(t) = f[x(t)].

Это уравнение обычно называют законом управления. Желаемого расположения полюсов проектируемой системы можно добиться за счет

управления u(t) вида

u(t) = -B x(t) =

где

- вектор коэффициентов обратной связи по состоянию. Отсюда видно, что сигнал поступающий на вход объекта с выхода РС, представляет собой линейную комбинацию всех переменных состояния. Подставляя u(t) в уравнение состояния, получим:

5. 
   Структура системы с наблюдателем состояния.
   

Наблюдатель является в основном копией ОУ, т.е. имеет тот же самый вход и почти схожие дифференциальные уравнения. Отличие в дополнительном слагаемом, введенном для сравнения измеренного выходного значения у с оценкой у. Это слагаемое приводит к сходимости оценок вектора к их истинным значениям х.

5. 
   Определение параметров наблюдателя состояния.
   

Чтобы наблюдатель был не только устойчивым. но и более быстродействующим, чем система без наблюдателя, полюсы наблюдателя выбираются более удаленными от мнимой оси плоскости корней по сравнению с желаемыми полюсами, системы. В этом случае наблюдатель восстанавливает фактическое поведение переменных состояния за меньшее время, чем время переходного процесса замкнутой системы.

Управляющее воздействие на объект в системе с наблюдателем состояния имеет вид u(t) =

Если объект управления и наблюдатель имеют n-й порядок, то характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь порядок 2n Поэтому необходимо определить, какое положение будут занимать 2n корней данного уравнения. Ответ на этот вопрос даёт

---

теорема разделения, которая утверждает, что полюсы замкнутого контура представляют собой комбинацию полюсов наблюдателя и полюсов, которые получались бы при использовании той же самой обратной связи при истинных значениях переменных состояния.

Характеристический полином замкнутой системы с наблюдателем имеет вид

откуда следует, что 2й корней этого полинома образованы n корнями, заданными из условия синтеза путём размещения полюсов, и n корнями наблюдателя. Это замечательное свойство; в противном случае введение в систему наблюдателя привело бы к смешению на р- плоскости корней, заданных из условия синтеза.

При использовании наблюдателя состояния необходимо учитывать следующее:

1. Мы предполагаем, что модель системы является точной. Но поскольку на самом деле это не так, то уравнение для ошибки будет более сложным.

2. Мы пренебрегли возмущениями, действующими на систему и шумами датчиков. Поэтому ошибка с течением времени не сводится к нулю, даже если пренебречь неточностями моделирования.

Следует заметить, что использование оценки состояния реальных систем может быть далеко небезопасным. С помощью наблюдателя управление системой осуществляется не на основе измеренных переменных состояния, а на основе вычисленных переменных. Если эти вычисления организованы недостаточно хорошо, то истинные значения переменных состояния могут изменяться в одном направлении, а их вычисленные значения - в другом, т.е. ошибка оценки состояния может расходиться.

9. Функциональная схема ЦСАУ.

Основным элементом ЦСАУ является ЦВМ, что и определяет особенности функциональной схемы, т.к. применение ЦВМ требует соответствующего обрамления в виде аналого-цифрового преобразователя (АЦП) и цифроаналогового преобразователя (ЦАП), а также таймера реального времени. Рассмотрим назначение всех элементов ЦСАУ, представленных на рисунке.

Объект управления имеет на выходе непрерывный сигнал у(t), который по цепи обратной связи поступает на вход АЦП. АЦП предназначен для преобразования сигнала у(t) в цифровой сигнал у(t1) Преобразование осуществляется в моменты дискретизации t,,i=0,1.2,… Фактически сигнал y(ti) представляет собой последовательность кодовых групп импульсов, появляющихся в моменты t. Каждой кодовой группе импульсов соответствует определённое число (цифра), определяемое используемым способом кодирования. Обычно это двоичное число, которое легко может быть переведено в десятичное представление. Для анализа ЦСАУ можно принять в качестве модели цифрового сигнала y(ti) последовательность десятичных чисел или, что в ещё большей степени упрощает исследование, последовательность числовых значений управляемой величины y(ti) в моменты дискретизации ti . При разрядности используемого двоичного кода больше десяти, можно также не учитывать ошибку квантования по уровню. Отметим, что дискретный сигнал у(ti) называют выборкой непрерывного сигнала y(t), получаемой из функции y(t) заменой t на ti

---

Смотрите также файлы

• Практическое задание 2 Никулиной Елены Владимировны Заполните таблицу История развития психологии.doc

• Активная и пассивная макроэкономическая политика Определение понятий.pptx

• Курсы повышения квалификации по программе Актуальные вопросы акушерской и гинекологической помощи в объёме 144 ч г. Москва.docx

• Нэп экономическая политика Советской России, сменившая политику военного коммунизма.docx

• Решение Товарищества.docx