Численное дифференцирование

(14)

(15)

(16)

Соотношения (11) и (13) соответственно дают

(17)



Численное интегрирование

Метод прямоугольников (метод прямоугольных сумм):

Пример 1: с помощью формул левых и правых прямоугольников вычислить , полагая n = 4.

Зная приделы интегрирования a = 1 и b = 9, находим шаг ; тогда точками разбиения служат , , , , , а значения подынтегральной функции в этих точках таковы:

Далее найдем числовое значение интеграла, пользуясь формулой (23):



Если вычисление определенного интеграла произвести по формуле (24), то получим:



Метод центральных прямоугольников:

(по сути, не берем самое первое и самое последнее значение т.е. если значений 6, то y0 и y5)

Формула для приближенного вычисления определенного интеграла функции f(x) на интервале [a, b] с использованием равномерной сетки:

∫[a, b] f(x) dx ≈ h * (f(x₁/₂) + f(x₃/₂) + ... + f(xₙ₋₁/₂))

Пример:

Рассмотрим функцию f(x) = x^2 на интервале [0, 1].

---

Шаг сетки: h = (1 - 0) / 4 = 0.25

Точки на сетке: x₀ = 0, x₁/₂ = 0.125, x₁ = 0.25, x₃/₂ = 0.375, x₂ = 0.5, x₅/₂ = 0.625, x₃ = 0.75, x₇/₂ = 0.875, x₄ = 1

Подставляем значения в формулу:

∫[0, 1] x^2 dx ≈ 0.25 * (f(0.125) + f(0.375) + f(0.625) + f(0.875))

≈ 0.25 * (0.015625 + 0.140625 + 0.390625 + 0.765625)

≈ 0.328125

Метод трапеций:

Формула для приближенного вычисления определенного интеграла функции f(x) на интервале [a, b] с использованием равномерной сетки:

∫[a, b] f(x) dx ≈ h/2 * (f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + ... + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ))

Пример:

Рассмотрим функцию f(x) = x^2 на интервале [0, 1].

Шаг сетки: h = (1 - 0) / 4 = 0.25

Точки на сетке: x₀ = 0, x₁ = 0.25, x₂ = 0.5, x₃ = 0.75, x₄ = 1

Подставляем значения в формулу:

∫[0, 1] x^2 dx ≈ 0.25/2 * (f(0) + 2f(0.25) + 2f(0.5) + 2f(0.75) + f(1))

≈ 0.25/2 * (0 + 20.0625 + 20.25 + 2*0.5625 + 1)

≈ 0.265625

Метод Симпсона:

Формула для приближенного вычисления определенного интеграла функции f(x) на интервале [a, b] с использованием равномерной сетки:

∫[a, b] f(x) dx ≈ h/3 * (f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + ... + 2f(xₙ₋₂) + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ))

Пример:

Рассмотрим функцию f(x) = x^2 на интервале [0, 1].

Шаг сетки: h = (1 - 0) / 4 = 0.25

Точки на сетке: x₀ = 0, x₁ = 0.25, x₂ = 0.5, x₃ = 0.75, x₄ = 1

Подставляем значения в формулу:

∫[0, 1] x^2 dx ≈ 0.25/3 * (f(0) + 4f(0.25) + 2f(0.5) + 4f(0.75) + f(1))

≈ 0.25/3 * (0 + 40.0625 + 20.25 + 4*0.5625 + 1)

≈ 0.28125

Метод решения дифференциальных уравнений

Один из наиболее распространенных вариантов метода Рунге-Кутта - это метод Рунге-Кутта четвертого порядка, который использует четыре стадии. Давайте рассмотрим пример применения этого метода для численного решения простого дифференциального уравнения первого порядка:

dy/dx = x

Для этого уравнения известно точное аналитическое решение: y(x) = (1/2) * x^2 + C, где C - произвольная постоянная.

Процесс решения с использованием метода Рунге-Кутта четвертого порядка состоит из следующих шагов:

• 
  Задайте начальные условия: значение x0 и соответствующее значение y0.
  
• 
  Задайте конечную точку x, до которой нужно вычислить решение.
  
• 
  Задайте шаг интегрирования h.
  
• 
  Выполните итерационные шаги метода Рунге-Кутта до достижения конечной точки x.
  

На каждом шаге вычислите коэффициенты k1, k2, k3 и k4:

k1 = h * f(x, y)

k2 = h * f(x + h/2, y + k1/2)

k3 = h * f(x + h/2, y + k2/2)

k4 = h * f(x + h, y + k3)

• 
  Обновите значения x и y:
  

x = x + h

y = y + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6

• 
  Повторите шаги, пока x не достигнет конечной точки.
  
• 
  Получите численное решение y(x) после достижения конечной точки.
  

---

Давайте рассмотрим пример применения метода Эйлера для численного решения простого дифференциального уравнения первого порядка:

dy/dx = x

Для этого уравнения известно точное аналитическое решение: y(x) = (1/2) * x^2 + C, где C - произвольная постоянная.

Процесс решения с использованием метода Эйлера состоит из следующих шагов:

• 
  Задайте начальные условия:
  

значение x0 и соответствующее значение y0.

• 
  Задайте конечную точку x, до которой нужно вычислить решение.
  
• 
  Задайте шаг интегрирования h.
  
• 
  Выполните итерационные шаги метода Эйлера до достижения конечной точки x.
  

На каждом шаге вычислите приближенное значение изменения y:

delta_y = h * f(x, y)

Обновите значения x и y:

x = x + h

y = y + delta_y

Повторите шаги, пока x не достигнет конечной точки.

• 
  Получите численное решение y(x) после достижения конечной точки.
  

Метод Адамса требует предварительного вычисления начальных значений с использованием другого численного метода, например, метода Рунге-Кутта. Затем он использует рекуррентное соотношение для вычисления следующего значения решения.

Давайте рассмотрим пример применения метода Адамса для численного решения простого дифференциального уравнения первого порядка:

dy/dx = x

Для этого уравнения известно точное аналитическое решение: y(x) = (1/2) * x^2 + C, где C - произвольная постоянная.

Процесс решения с использованием метода Адамса состоит из следующих шагов:

• 
  Задайте начальные условия: значение x0 и соответствующее значение y0.
  
• 
  Задайте конечную точку x, до которой нужно вычислить решение.
  
• 
  Задайте шаг интегрирования h.
  
• 
  Используйте другой численный метод, например, метод Рунге-Кутта, для вычисления начальных значений.
  

Вычислите первые несколько значений решения с использованием метода Рунге-Кутта.

• 
  Выполните итерационные шаги метода Адамса до достижения конечной точки x.
  

---

На каждом шаге вычислите приближенное значение изменения y:

delta_y = h * f(x, y)

Обновите значения x и y:

x = x + h

y = y + delta_y

Используйте предыдущие значения решения для вычисления следующего значения с использованием рекуррентного соотношения метода Адамса.

Повторите шаги, пока x не достигнет конечной точки.

• 
  Получите численное решение y(x) после достижения конечной точки.
  

---

Смотрите также файлы

• 23. Движение спутников Земли. Космические скорости. Законы Кеплера.docx

• Тема Процессы и инструменты управления проектами системный подход Смоделируйте процесс Планирование персонала проекта.docx

• Практическая работа 1, курс РЕАЛИЗАЦИЯ ТРЕБОВАНИЙ ОБНОВЛЕННЫХ ФГОС НОО, ФГОС ООО В РАБОТЕ УЧИТЕЛЯ.docx

• Задачи Распространять педагогические знания среди родителей. 2.docx

• Решение Запас ресурса (Q, млрд т) вычисляется по формуле q запас ресурсов, млрд т q годовая добыча ресурсов, млрд тгод.docx