3.5. Ортогональные системы векторов

Определение 3.5. Два вектора в евклидовом пространстве называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Ортогональность векторов х и у будем обозначать так: . Отметим, что, согласно свойству 3.3 скалярного умножения, нулевой вектор ортогонален любому другому.

Евклидово пространство — это, согласно определению 3.1 частный случай линейного пространства, и поэтому можно говорить о его линейных подпространствах в смысле определений 2.1. Каждое из таких линейных подпространств является евклидовым пространством относительно скалярного умножения, заданного в объемлющем евклидовом пространстве.

Говорят, что вектор x в евклидовом пространстве ортогонален подпространству ,и обозначают если он ортогонален каждому вектору этого подпространства.

Если , то условие равносильно тому, что вектор х ортогонален каждому вектору . Действительно, если х ортогонален то, согласно определению, он ортогонален и каждому вектору . Докажем противоположное утверждение. Пусть , и . Тогда вектор уявляется линейной комбинацией векторов .



и поэтому, согласно свойству 3.4,



В частности, если векторы

---

x и а ортогональны, то для любого векторы x и тоже ортогональны:



В пространстве ненулевым ортогональным векторам x и y можно сопоставить катеты прямоугольного треугольника, причем так, что их сумме, построенной по правилу треугольника, будет соответствовать гипотенуза этого прямоугольного треугольника (рис. 3.3).

По аналогии с мы назовем в евклидовом пространстве сумму x+y ортогональных ректоров х и у гипотенузой треугольника, построенного на х и у. Тогда на произвольное евклидово пространство распространяется известная теорема Пифагора.

Теорема 3.3. Если векторы х и у из евклидова пространства ортогональны, то



Рис 3.3

Здесь под нормой мы, как обычно, понимаем евклидову норму. Выразим левую часть этого равенства через скалярное произведение и воспользуемся условием ортогональности



Определение 3.6. Систему векторов евклидова пространства называют ортогональной, если любые два вектора из этой системы ортогональны.

Следующее свойство ортогональной системы является самым важным.

Теорема 3.4. Любая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Рассмотрим произвольную ортогональную систему ненулевых векторов . Предположим, что для некоторых действительных коэффициентов выполняется равенство

(3.5)

Умножим это равенство скалярно на какой-либо вектор

---

В силу свойства 3.3 скалярного произведения правая часть полученного равенства равна нулю, и мы, преобразуя левую часть в соответствии со свойством 3.4, получаем



Так как система векторов ортогональна, то все слагаемые слева, кроме одного, равны нулю, т.е.

(3.6)

Так как вектор ненулевой, то (аксиома г) скалярного умножения). Поэтому из (3.6) следует, что . Индекс iможно было выбирать произвольно, так что на самом деле все коэффициенты являются нулевыми. Мы доказали, что равенство (3.5) возможно лишь при нулевых коэффициентах, а это, согласно определению 1.2, означает, что система векторов линейно независима.

Пример 3.10. В евклидовом пространстве система функций , является ортогональной, поскольку

,

При .
3.6. Ортогональные и ортонормированные базисы

Евклидово пространство является линейным пространством. Поэтому правомерно говорить о его размерности и его базисах. Как и произвольные линейные пространства, евклидовы пространства можно разделить на бесконечномерные и конечномерные.

Если базис евклидова пространства представляет собой ортогональную систему векторов, то этот базис называют ортогональным. В силу теоремы 3.4 любая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима, и если она в п-мерном евклидовом пространстве состоит из пвекторов, то является базисом.

В линейном пространстве все базисы равноправны. В евклидовом же пространстве наличие скалярного умножения позволяет выделить среди всех базисов ортогональные и ортонормированные, которые более удобны и играют в линейной алгебре роль, аналогичную роли

---

прямоугольной системы координат в аналитической геометрии.

Определение 3.7. Ортогональный базис называют ортонормированным, если каждый вектор этого базиса имеет норму (длину), равную единице.

Дополнительное требование к нормам векторов в ортонормированном базисе в принципе не является существенным, так как любой ортогональный базис легко преобразовать в ортонормированный, умножая векторы на соответствующие норми­рующие коэффициенты (разделив каждый вектор базиса на его длину). Однако дополнительная нормировка векторов упрощает изложение теории.

Пример 3.11. Система из трех векторов



в евклидовом арифметическом пространстве образует ортогональный базис, потому что . Этот базис не является ортонормированным, так как, например, . Чтобы этот базис сделать ортонормированным, нужно векторы а и bразделить на их нормы, т.е. на число .

Пример 3.12. Векторы i, j образуют ортонормированный базис в пространстве свободных векторов на плоскости. Точно так же векторы i, j, kобразуют ортонормированный базис в пространстве .
3.7. Вычисления в ортонормированном базисе

Использование ортонормированных базисов облегчает вычисление скалярного произведения по координатам векторов. Пусть в евклидовом пространстве задан некоторый базис .Рассмотрим два произвольных вектора хиу в этом пространстве. Эти векторы представляются в базисе е своими координатами:

,

---

Запишем эти разложения векторов по базису в матричной форме:

, , , ,

Скалярное произведение векторов х и у может быть выражено через скалярные произведения векторов базиса:



Составив из скалярных произведений базисных векторов квадратную матрицу порядка n, мы можем записать скалярное произведение заданных векторов в матричной форме:



Матрица Г является симметрической в силу коммутативности операции скалярного умножения. Ее называют матрицей Грама системы векторов .

Пусть базис е является ортонормированным. Тогда скалярное произведение при несовпадающих i и j равно нулю, а скалярные квадраты базисных векторов равны . Это значит, что для ортонормированного базиса матрица Г является единичной. Поэтому



В частности, в ортонормированном базисе норма вектора x, которая выражается через скалярный квадрат этого вектора, может быть вычислена по формуле

(3.7)

а для косинуса угла между ненулевыми векторами x и у получаем выражение

(3.8)

В ортонормированном базисе также упрощается вычисление координат вектора: они выражаются через скалярные произведения. Если , то, умножив равенство скалярно на вектор

---

Смотрите также файлы

• Рынок труда.pptx

• Самостоятельная работа по теме Токмяниной Марии Андреевны.docx

• Значений используемых слов и знаков.docx

• Практическое задание Уваров Дмитрий Владимирович.docx

• Минин и пожарский. Презентацию.pptx