Файл: 3 Ортогональные системы векторов Определение Два вектора в евклидовом пространстве называют ортогональными.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.10.2023
Просмотров: 45
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
, находим, что
, 
Пример 3.13. В евклидовом арифметическом пространстве
найдем угол между векторами 
). Согласно формуле (3.8),
3.8. Процесс ортогонализации Грама - Шмидта
В каждом ли евклидовом пространстве нужно уметь находить и строить ортонормированный базис. Построить ортонормированный базис можно, отталкиваясь от некоторого исходного базиса, при помощи алгоритма, который называют процессом ортогонализации Грама — Шмидта. Изложим этот алгоритм.
Пусть
— некоторый базис в п-мерном евклидовом пространстве 
.Модифицируя этот базис, мы будем строить новый базис 
, который будет ортонормированным. Последовательно вычисляем векторы 
и 
, 
и 
и т.д. по формулам:
(3.9)
Геометрическая иллюстрация этой последовательности вычислений при п = 3 (линейное пространство
) приведена на рис. 3.4.
Рис. 3.4
Для обоснования алгоритма нужно показать, что ни один из последовательно вычисляемых векторов
не является нулевым вектором (иначе процесс оборвался бы преждевременно) и что все векторы 
, попарно ортогональны. Тогда и векторы 
, образуют ортогональную систему, но при этом норма каждого из этих векторов равна единице. Ортогональная система из п ненулевых векторов, согласно теореме 3.4, линейно независима и поэтому в п-мерном евклидовом пространстве является базисом.
Доказательство опирается на метод математической индукции. В соответствии с этим методом мы будем доказывать, что для любого
, векторы 
образуют ортогональную систему и длины их равны единице. Это утверждение очевидно при 
, так как в этом случае вектор 
ненулевой, потому что равен вектору 
единичной длины, а систему векторов, состоящую из одного вектора, считают ортогональной по определению.
Пусть векторы , образуют ортогональную систему. Вычислим новый вектор 
по формуле
(3.10)
Предположив, что
, заключаем, что
т.е. вектор
является линейной комбинацией векторов , которые в силу (3.9) выражаются через векторы 
. Следовательно, этот вектор является линейной комбинацией системы векторов , а система векторов 
согласно теореме 1.1, линейно зависима. Но это противоречит условию линейной независимости системы 
.
Итак, предположение о том, что , привело к противоречию и потому неверно. Нам остается убедиться, что вектор
ортогонален каждому из векторов 
. Умножим равенство (3.10) скалярно на вектор 
, где 
. Учитывая, что векторы 
попарно ортогональны при 
, получим:
так как
. Следовательно, векторы 
, где 
образуют ортогональную систему векторов и имеют единичную длину.
Итак в конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
В процессе ортогонализации любой вектор можно заменить на коллинеарный ему ненулевой вектор 
Если система 
векторов линейно зависима, то в процессе ортогонализации будем получать (на некоторых шагах) нулевые векторы.
При практических применениях процесс Грама — Шмидта удобно модифицировать так, чтобы ограничиться вычислением векторов
и не использовать их нормированные варианты .В этом случае нужно последовательно вычислить векторы 
а затем провести их нормировку, приводящую к векторам . Чтобы модифицировать алгоритм вычислений, в левой колонке (3.9) заменим векторы на , согласно формулам в правой колонке. Получим:
Пример 3.14. В линейном пространстве
рассмотрим векторы 
и 
с длинами 
, 
=6 и углом между ними
.
Так как векторы ненулевые, а угол между ними не равен 0 или
, они не коллинеарны, а потому образуют базис в . Построим при помощи процесса Грама - Шмидта ортонормированный базис. Согласно описанному выше алгоритму находим:
Затем полученные векторы и 
нормируем:
Векторы и и построенный по ним ортонормированный базис 
и 
представлены на рис. 3.5. 
Пример 3.14. Даны системы векторов евклидовых пространств:
a)
элементы пространства 
со скалярным произведением 
б)
- элементы пространства 
со скалярным произведением 
Провести ортогонализацию данных векторов.
а) Заметим, что система векторов х, у , z линейно зависимая, так как х и у пропорциональны, поэтому используем процесс ортогонапизации Грама - Шмидта с учетом замечаний.
Полагаем
. Вычисляем
Получили нулевой вектор.
3. Вычисляем
Проверим условие ортогональности
Для получения ортонормированной системы исключаем нулевой вектор
, а остальные нормируем:
Таким образом, для системы трех векторов х, у, z построена ортогональная система из трех векторов и , v, w и ортонормированная система из двух векторов
. Линейные оболочки этих трех систем совпадают между собой (и со всем пространством 
).
б) Полагаем
Вычисляем
, Пример 3.13. В евклидовом арифметическом пространстве
найдем угол между векторами ). Согласно формуле (3.8), 3.8. Процесс ортогонализации Грама - Шмидта
В каждом ли евклидовом пространстве нужно уметь находить и строить ортонормированный базис. Построить ортонормированный базис можно, отталкиваясь от некоторого исходного базиса, при помощи алгоритма, который называют процессом ортогонализации Грама — Шмидта. Изложим этот алгоритм.
Пусть
— некоторый базис в п-мерном евклидовом пространстве .Модифицируя этот базис, мы будем строить новый базис , который будет ортонормированным. Последовательно вычисляем векторы и , и и т.д. по формулам: (3.9)Геометрическая иллюстрация этой последовательности вычислений при п = 3 (линейное пространство
) приведена на рис. 3.4. Рис. 3.4
Для обоснования алгоритма нужно показать, что ни один из последовательно вычисляемых векторов
не является нулевым вектором (иначе процесс оборвался бы преждевременно) и что все векторы , попарно ортогональны. Тогда и векторы
, образуют ортогональную систему, но при этом норма каждого из этих векторов равна единице. Ортогональная система из п ненулевых векторов, согласно теореме 3.4, линейно независима и поэтому в п-мерном евклидовом пространстве является базисом.
Доказательство опирается на метод математической индукции. В соответствии с этим методом мы будем доказывать, что для любого
, векторы образуют ортогональную систему и длины их равны единице. Это утверждение очевидно при , так как в этом случае вектор ненулевой, потому что равен вектору единичной длины, а систему векторов, состоящую из одного вектора, считают ортогональной по определению.Пусть векторы
, образуют ортогональную систему. Вычислим новый вектор по формуле (3.10)Предположив, что
, заключаем, что т.е. вектор
является линейной комбинацией векторов , которые в силу (3.9) выражаются через векторы . Следовательно, этот вектор является линейной комбинацией системы векторов , а система векторов согласно теореме 1.1, линейно зависима. Но это противоречит условию линейной независимости системы .Итак, предположение о том, что
, привело к противоречию и потому неверно. Нам остается убедиться, что вектор
ортогонален каждому из векторов . Умножим равенство (3.10) скалярно на вектор , где . Учитывая, что векторы попарно ортогональны при , получим: так как
. Следовательно, векторы , где образуют ортогональную систему векторов и имеют единичную длину.Итак в конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
В процессе ортогонализации любой вектор
можно заменить на коллинеарный ему ненулевой вектор Если система векторов линейно зависима, то в процессе ортогонализации будем получать (на некоторых шагах) нулевые векторы. При практических применениях процесс Грама — Шмидта удобно модифицировать так, чтобы ограничиться вычислением векторов
и не использовать их нормированные варианты .В этом случае нужно последовательно вычислить векторы а затем провести их нормировку, приводящую к векторам . Чтобы модифицировать алгоритм вычислений, в левой колонке (3.9) заменим векторы на , согласно формулам в правой колонке. Получим:
Пример 3.14. В линейном пространстве
рассмотрим векторы и с длинами , =6 и углом между ними . Так как векторы ненулевые, а угол между ними не равен 0 или
, они не коллинеарны, а потому образуют базис в . Построим при помощи процесса Грама - Шмидта ортонормированный базис. Согласно описанному выше алгоритму находим: Затем полученные векторы
и нормируем: Векторы
и и построенный по ним ортонормированный базис и представлены на рис. 3.5. Пример 3.14. Даны системы векторов евклидовых пространств:
a)
элементы пространства со скалярным произведением
б)
- элементы пространства со скалярным произведением Провести ортогонализацию данных векторов.
а) Заметим, что система векторов х, у , z линейно зависимая, так как х и у пропорциональны, поэтому используем процесс ортогонапизации Грама - Шмидта с учетом замечаний.
Полагаем
. Вычисляем Получили нулевой вектор.
3. Вычисляем
Проверим условие ортогональности
Для получения ортонормированной системы исключаем нулевой вектор
, а остальные нормируем: Таким образом, для системы трех векторов х, у, z построена ортогональная система из трех векторов и , v, w и ортонормированная система из двух векторов
. Линейные оболочки этих трех систем совпадают между собой (и со всем пространством ).б) Полагаем
Вычисляем