Файл: Разработка практического задания на формирование умений кейсзадание Применение вероятностных методов для принятия экономических решений.pdf

Разработка практического задания на формирование УМЕНИЙ
Кейс-задание «Применение вероятностных методов для принятия
экономических решений»
(макс. – 15 баллов)
Задание 1. (Проверка параметрических гитпотез)
Цель работы – ознакомление с методикой проверки гипотезы о равенстве двух математических ожиданий и ее использование на конкретном примере.
Краткие теоретические сведения
Обозначим через n и m объемы независимых выборок, по которым найдены соответствующие выборочные средние в
x
и в
y
.Генеральные дисперсии и известны. Требуется по выборочным средним и при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные средние
(математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между собой , т.е.
Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т.е. генеральные средние одинаковы, то различие выборочных средних незначимо и объясняется случайными причинами и, в частности, случайным отбором объектов выборки. Если нулевая гипотеза отвергнута, т.е. генеральные средние неодинаковы, то различие выборочных средних значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а объясняется тем, что сами генеральные средние (математические ожидания) различны.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимается случайная величина:
Значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, обозначается через набл
Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.
Сформулируем правила проверки нулевой гипотезы.
Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую
гипотезу
о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двух
нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей
гипотезе
, надо вычислить наблюдаемое значение критерия
z
набл
и по таблице функции Лапласа (приложение №2) найти критическую точку
кр
из
равенства Ф( z
кр
)=
.
Если | z
набл
|< z
кр
– нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если | z
набл
|> z
кр
–
нулевую гипотезу отвергают.
Правило 2. При конкурирующей гипотезе
находят критическую точку z
кр
по
таблице функции Лапласа из равенства Ф( z
кр
)=
.
Если z
набл
< z
кр
– нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если z
набл
> z
кр
– нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе
находят критическую точку z
кр
по
правилу 2.
Если z
набл
> – z
кр
– нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если
набл
< – z
кр
– нулевую гипотезу отвергают.
Условие задачи
. Фирма предлагает автоматы по розливу напитков. При выборке n-16 найдена средняя величина
х
=182 г дозы, наливаемой в стакан автоматом №1. При выборке m-9 найдена средняя величина
y
=185 дозы, наливаемой в стакан автоматом №2. По утверждению изготовителя, случайная величина наливаемой дозы имеет нормальный закон распределения с дисперсией , равной
25 2
2
=
=
y
х
σ
σ
. Можно ли считать отличия выборочных средних случайной ошибкой при уровне значимости α=0,01?
Поставлены задачи(ОПК-2, У3):
1) Проверить гипотезу:
2) Проверить гипотезу
3) Проверить гипотезу
Задание 2. (Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности)
Цель работы – ознакомление с методикой проверки гипотезы о распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона ее использование на конкретном примере.
Краткие теоретические сведения
Критерий
согласия
Пирсона. Критерий Пирсона позволяет производить проверку согласия эмпирической функции распределения с гипотетической функцией , принадлежащей к некоторому множеству функций определенного вида (нормальных, показательных, биномиальных и т.д.).
Пусть СВ имеет функцию распределения, принадлежащую некоторому классу функций. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема
Разобьем весь диапазон полученных результатов на частичных интервалов равной длины, и пусть в каждом частичном интервале оказалось измерений, причем . Составим сгруппированный статистический ряд распределения частот:
Интервалы
наблюдаемых
значений СВ
…
…
Частоты
…
…
Требуется на основе имеющейся информации проверить нулевую гипотезу о том, что гипотетическая функция распределения значимо представляет данную выборку, т.е.
При проверке нулевой гипотезы с помощью критерия согласия придерживаются
следующей последовательности действий:
1) на основании гипотетической функции вычисляют вероятности попадания СВ в
частичные интервалы :
;
2) умножая полученные вероятности
на объем выборки , получают теоретические
частоты
частичных интервалов , т.е. частоты, которые следует ожидать, если
нулевая гипотеза справедлива;

3) вычисляют выборочную статистику (критерий) :
Замечание 1. При проверке гипотезы о нормальном распределении СВ вероятности
попадания СВ в частичные интервалы находят по формуле:
Ф
– Ф
, где Ф – функция Лапласа (приложение ).
Если нулевая гипотеза верна, то при распределение выборочной статистики независимо от вида функции стремится к распределению с степенями свободы ( k– число частичных интервалов;
– число параметров гипотетической функции , оцениваемых по данным выборки).
Критерий сконструирован таким образом, что чем ближе к нулю наблюдаемое значение критерия
2
χ
, тем вероятнее, что нулевая гипотеза справедлива. Поэтому для проверки нулевой гипотезы применяется критерий с правосторонней критической областью. Следовательно, для того, чтобы проверить нулевую гипотезу, необходимо найти по таблицам квантилей
2
χ
-распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы критическое значение
, удовлетворяющее условию
. Сравнивая наблюдаемое значение выборочной статистики
2
набл
χ
с критическим значением
2
кр
χ
, принимаем одно из двух решений:
1)если
2 2
кр
набл
χ
χ
≥
, то
нулевая
гипотеза отвергается
в
пользу
альтернативной
, т.е. считается, что гипотетическая функция не
согласуется с результатами эксперимента;
2) если
набл
2 2
кр
набл
χ
χ
<
, то считается, что нет оснований для отклонения
нулевой гипотезы, т.е. гипотетическая функция согласуется с результатами
эксперимента.
Замечание 2. При применении критерия необходимо, чтобы в каждом частичном
интервале было не менее 5 элементов. Если число элементов (частота) меньше 5, то
рекомендуется объединять такие частичные интервалы с соседними.
Условие задачи. Масса (в граммах) 30 пачек полуфабоиката «Геркулес» такова:
503,509,495,493,489,485,507,511,487,485,506,504,507,511,499,491,494,518,506,515,
487,509,507,488,495,490,498,497,492,495.
Поставлены задачи(ОПК-2, У3):
4) Построить статистический ряд распределения относительных частот;
5) Построить гистограмму выборочной оценки плотности вероятности;
6) Найти вывборочную среднюю и выборочную дисперсию по распределению выборки
7) Найти несмещунную оценку математического ожидания дисперсии
8) Найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины;
9-10) Проверить гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины на уровне значимости α=0,05.
Задание 3. (Корреляционный анализ данных)
Цель работы – ознакомление с методом корреляционно-регрессионного анализа и его применение при анализе линейной связи между несгруппированными данными.

Краткие теоретические сведения
Корреляционный
анализ
— метод статистического исследования экспериментальных данных, позволяющий определить степень линейной зависимости между переменными.
Парная линейная корреляция — простейшая система корреляционной связи, представляющая линейную связь между двумя признаками. Ее практическое значение состоит в выделении одного важнейшего фактора, который и определяет вариацию результативного признака.
Для определения степени тесноты парной линейной зависимости служит линейный
коэффициент корреляции, который был впервые введен в начале 1890-х гг. Пирсоном,
Эджуортом и Велдоном. В теории разработаны и на практике применяются различные варианты формул расчета данного коэффициента:
При малом числе наблюдений для практических вычислений линейный коэффициент корреляции удобнее исчислять по следующей формуле:
Линейный коэффициент корреляции принимает значения:
Чем ближе линейный коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь. С другой стороны, если он равен 1, то зависимость является не стохастической, а функциональной.
Знак при нем указывает направление связи: знак «-» соответствует обратной зависимости, «+» — прямой. Величина коэффициента корреляции служит также оценкой соответствия уравнения регрессии выявленным причинно-следственным связям.
Степень взаимного влияния факторов в зависимости от коэффициента корреляции приведена в табл. 1.
Таблица 1. Количественная оценка тесноты связи при различных значениях коэффициента корреляции
Величина коэффициента корреляции
0,1-0,3 0,3-0,5 0,5-0,7 0,7-0,9 0,9-0,99
Теснота связи
Слабая
Умеренная
Заметная
Высокая
Весьма высокая
Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида: где х — индивидуальное значение факторного признака; а
0
, а
1
— параметры уравнения прямой (уравнения регрессии); у
х
— теоретическое значение результирующего фактора.
Данное уравнение показывает среднее значение изменения результативного признака х на одну единицу его измерения. Знак параметра показывает направление этого изменения.
На практике построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров а
0
, а
1
При классическом подходе параметры уравнения а
0
, а
1
, находятся методом наименьших квадратов, который позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма

квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от расчетных, теоретических была бы минимальной.
Условие задачи(ОПК-2, У3): С целью анализа взаимного влияния зарплаты и текучести рабочей силы на пяти однотипных фирмах с одинаковым числом работников проведены измерения уровня месячной зарплаты Х и числа уволившихся за год рабочих Y.
Поставлены задачи:
11) Построить поле корреляции
12) Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х
13) Найти выборочное уравнение линейной регрессии Х на Y
14) Найти выборочный коэффициент корреляции
15) Построить линии регрессии в поле корреляции.
Внимание!
1.Округление результатов проводить до сотых долей.
2.В СДО Moodle необходимо загрузить отчет с подробным обоснованием результатов анализа экономико-математических моделей. .
Графическое представление результатов исследования может быть выполнено в любом графическом редакторе и представлено сканами или выполняется на клетчатой бумаге.
3. Правильное выполнение каждой задачи оценивается в один балл.