ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.02.2021
Просмотров: 2103
Скачиваний: 1
Erwin Schr
ő
dinger
(1887-1961)
Уравнение
Уравнение
Шредингера
Шредингера
Эволюция
квантовой
системы
в
нерелятивистском случае описывается
волновой функцией
,
удовлетворяющей
уравнению Шредингера
—
волновая функция
,
—
оператор Гамильтона
(
оператор
полной энергии системы
).
ˆ
i
H
t
ψ
ψ
∂
=
∂
( , )
r t
ψ
ˆ
H
( , )
ˆ ( , )
r t
i
H
r t
t
∂Ψ
= Ψ
∂
2
ˆ
ˆ
( , )
2
p
H
U r t
m
=
+
Уравнение
Уравнение
движения
движения
свободной
свободной
частицы
частицы
Волновая
функция
свободно
движущейся
частицы с энергией
E
ψ
(
r
,
t
)
=
3 / 2
(
)
(2 )
i kr
t
e
Уравнение
(*)
является
дифференциальным
уравнением
первого
порядка
по
времени
.
Поэтому для определения волновой функции в
произвольный момент времени
t
достаточно
знать волновую функцию в начальный момент
времени
.
ω
π
−
−
=
3 / 2
(
)
(2 )
i
pr Et
e
π
−
−
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
(
)
x
y
z
p
p
p
x
y
z
ψ
ψ
ψ
ψ
+
∂
∂
∂
+
+
= −
+
∂
∂
∂
Дифференциальные
уравнения
,
описывающие
свободное движение частиц с энергией
E
ψ
ψ
E
i
dt
d
−
=
2
2
d
i
dt
m
ψ
ψ
= −
Δ
E
m
p
p
p
z
y
x
=
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
d
i
dt
m
x
y
z
ψ
ψ
ψ
ψ
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
∂
(*)
В том
,
что уравнение
(*)
справедливо
,
можно
убедиться
,
вычислив временные и пространственные
производные
Стационарное
Стационарное
уравнение
уравнение
Шредингера
Шредингера
Если гамильтониан системы не зависит от
времени
,
стационарное уравнение
Шредингера имеет вид
2
2
2
( )
( )
2
d
U
x
E
x
m dx
ψ
ψ
ψ
−
+
=
Величина
Е
имеет смысл собственного
значения энергии системы
,
а
Ψ
(x)
описывает состояние с заданной энергией
.
Оператор Гамильтона может иметь как
дискретный так и непрерывный спектр
энергий
.
Бесконечная
Бесконечная
прямоугольная
прямоугольная
яма
яма
ψ
=
А
sin
kx
+
B
cos
kx
,
где
k
= (2
mE
/
2
)
1/2
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∞
=
0
)
(
x
U
при
при
0
0,
x L
x
x L
< <
≤
≥
U
= ∞
U
= ∞
0
U
=
0
L
X
ψ
ψ
2
2
2
2
mE
dx
d
−
=
А
sin
kL
=
0
kL
=
n
π
,
n
=
1, 2, 3, …
,
2
2
2
2
2
2
2
2
mL
n
m
k
E
n
π
=
=
n
=
1, 2, 3, …
2 2
2
3
9
2
E
mL
π
=
2 2
2
2
4
2
E
mL
π
=
2 2
2
1
2
E
mL
π
=
3
2
3
sin
x
L
L
π
ψ
=
2
2
2
sin
x
L
L
π
ψ
=
1
2
sin
x
L
L
π
ψ
=
Частица
Частица
в
в
бесконечной
бесконечной
прямоугольной
прямоугольной
яме
яме
(1)
(1)
Потенциальная
энергия
( )
U x
удовлетворяет
следующим
условиям
:
0
при
0
,
( )
при
0,
.
x L
U x
x
x L
< <
⎧
= ⎨
∞
≤
≥
⎩
(1)
этой
области
0
Частица
всегда
находится
в
области
0
x L
≤ ≤
.
Вне
ψ
=
.
Запишем
уравнение
Шредингера
для
частицы
,
находящейся
в
области
0
x L
≤ ≤
.
2
2
2
2
d
mE
dx
ψ
ψ
= −
(2)
Волновая
функция
,
являющаяся
решением
уравнения
(2),
имеет
вид
sin
cos
A
kx B
kx
ψ
=
+
, (3)
2 1/ 2
(2
/
)
k
mE
=
.
Из
граничных
условий
(0) 0
ψ
=
,
( ) 0
L
ψ
=
и
условий
непрерывности
волновой
функции
имеем
sin
0
A
kL
=
. (4)
Из
(4)
следует
,
1, 2,3
kL n
n
π
=
=
…
, (5)
т
.
е
.
внутри
ямы
устанавливаются
стоячие
волны
,
а
энергия
состояния
частиц
имеет
дискретный
спектр
значений
n
E
2 2
2
2 2
2
,
2
2
n
k
n
E
m
mL
π
=
=
(6)