ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.02.2021
Просмотров: 2106
Скачиваний: 1
Частица
Частица
в
в
бесконечной
бесконечной
прямоугольной
прямоугольной
яме
яме
(2)
(2)
Частица
может
иметь
только
те
значения
энергии
,
которые
определяются
соотношением
(6).
Об
этой
ситуации
говорят
,
что
энергия
квантуется
на
дискретные
уровни
.
Частица
может
находиться
в
каком
-
то
одном
из
множества
дискретных
состояний
,
доступных
для
неё
.
Чтобы
частица
перешла
на
другой
энергетический
уровень
,
она
должна
приобрести
или
потерять
некоторое
количество
энергии
,
равное
разности
энергий
уровней
,
между
которыми
происходит
переход
.
Энергии
состояний
растут
квадратично
в
зависимости
от
квантового
числа
n
.
Каждому
значению
энергии
соответствует
волновая
функция
)
(
x
n
ψ
,
которая
с
учетом
условия
нормировки
2
2
0
0
( )
sin
1
L
L
n
nx
x
dx
A
dx
L
π
ψ
=
=
∫
∫
имеет
вид
( )
2
( )
sin
n
nx
x
L
L
π
ψ
=
.
Связанные
Связанные
состояния
состояния
2
2 2
2
2
n
n
E
mL
π
=
E
1
E
2
E
3
E
4
В
отличие
от
классической
частицы
,
квантовая
частица
в
прямоугольной
яме
не
может
иметь
энергию
2
2
2
/(2
)
E
mL
π
<
.
Состояния
бесспиновой
частицы
n
ψ
в
одномерном
поле
бесконечной
потенциальной
ямы
полностью
описываются
с
помощью
одного
квантового
числа
n
.
Спектр
энергий
в
этом
случае
дискретный
.
Вычислить
допустимые
уровни
энергии
электрона
,
находящегося
в
прямоугольной
потенциальной
яме
шириной
10
−
8
см
,
протона
,
находящегося
в
потенциальной
яме
5
Фм
,
и
шарика
массой
1
г
,
находящегося
в
потенциальной
яме
шириной
1
см
.
2
2 2
2
,...
,
1, 2, 3
2
n
n
E
n
mL
π
=
=
Электрон
(
2
0,511
mc
=
МэВ
,
8
10
L
−
=
см
):
2
2
2
2
2
2
5
2
(197)
МэВ Фм
(3,14)
32,9
эВ
.
2 0,511
МэВ
(10)
Фм
n
E
n
n
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
Протон
(
2
938,3
mc
=
МэВ
,
5
L
=
Фм
):
2
2
2
2
2
2
5
2
(197)
МэВ Фм
(3,14)
8,5
МэВ
.
2 938,3
МэВ
(5)
Фм
n
E
n
n
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
Шарик
(
1
m
=
г
,
1
L
=
см
):
2
2
2
2
6
2
10
2
13 2
2
42
2
(197)
МэВ Фм
(3,14) 1,6 10
2 (3 10
см
/
сек
) (10 )
Фм
3,4 10
эВ
.
n
E
n
n
−
−
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
⋅ ⋅
⋅
=
⋅
Пример
Пример
Частица
Частица
в
в
потенциальной
потенциальной
яме
яме
■
Трехмерная прямоугольная яма
со сторонами
L
1
, L
2
, L
3
2
2
2
2
3
1
2
,
2
1 2 3
1
2
3
1/2
3
2
3
1
2
sin
sin
sin
1 2 3
1 2 3
1
2
3
n
n
n
En n n
L
L
L
m
n z
n x
n
y
n n n
L L L
L
L
L
π
π
π
ψ
⎧
⎫
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎪
⎪
⎪
⎪
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎨
⎬
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎪
⎪
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎪
⎪
⎩
⎭
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
=
+
+
=
2 2 2
2
,
2
n
n
E
mL
π
=
n
=
1, 2, 3, …
■
Одномерная прямоугольная яма шириной
L
( )
2
( )
sin
n
nx
x
L
L
π
ψ
=
n
1
=
1, 2, 3, …
n
2
=
1, 2, 3, …
n
3
=
1, 2, 3, …
■
Одномерный гармонический осциллятор
,
1
2
n
E
n
ω
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
=
+
2
2
( )
/ 2
V x
m x
n
=
1, 2, 3, …
ω
=
Операторы
Операторы
(1)
(1)
Каждой
физической
величине
F
в
квантовой
теории
сопоставляется
линейный
оператор
ˆ
F
,
действующий
на
волновую
функцию
( , )
r t
Ψ
.
Под
оператором
ˆ
F
понимается
правило
,
по
которому
одной
функции
( , )
r t
Ψ
переменных
,
r t
сопоставляется
другая
функция
( , )
U r t
тех
же
переменных
.
ˆ
( , )
( , )
U r t
F
r t
= Ψ
Спектр
собственных
значений
оператора
ˆ
F
представляет
собой
спектр
возможных
(
измеряемых
)
значений
этой
величины
.
С
результатами
экспериментов
сопоставляются
средние
значения
физических
величин
,
которые
вычисляются
по
формуле
F=
Ψ
*F
Ψ
dv
∫
Например
:
оператор
ˆ
F
может
означать
дифференцирование
по
какой
-
либо
переменной
.
ˆ
( , )
( , )
( , ) /
ˆ
/
U r t
F
r t
r t
r
F
r
= Ψ
= ∂Ψ
∂
= ∂ ∂