Тема 12. КИНЕТИКА РЕАКТОРА С УЧЁТОМ ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ НЕЙТРОНОВ

Здесь, как и в предыдущей теме, будет рассматриваться кинетика «холодного» реактора в точечно-параметрическом приближении. Как и ранее, оговариваемся, что в рамках нашего рассмотрения величина положительной или отрицательной реактивности первоначально критическому реактору сообщается самым простым и жёстким образом - мгновенным скачком (рис.12.1).

Рис.12.1. Мгновенный скачок положительной и отрицательной реактивности.

Дело в том, что для изучения общих закономерностей поведения плотности нейтронов n(t) надо, чтобы величина вводимой реактивности во времени изменялась одинаковым образом, общим для всех случаев сообщения реактору конкретной величины реактивности, независимо от её величины и знака. Поэтому и способ сообщения реактору реактивности избран общим: мгновенный скачок.

В действительности реальному реактору таким образом сообщить заданную величину реактивности невозможно: при ограниченной скорости перемещения органа СУЗ перемещение поглотителя всегда требует определённого конечного времени, тем более короткого, чем выше скорость линейного перемещения стержня-поглотителя. Но вследствие инерционности воплощённой в металле кинематической схемы любого органа СУЗ процесс сообщения реактивности критическому реактору всегда будет иметь более “мягкий” (растянутый во времени) характер: на начальном участке перемещения поглотителя требуется преодолеть инерцию покоя всего механизма, на конечном участке - наоборот - инерцию движения, а на стадии равномерного перемещения поглотителя (с постоянной скоростью) процесс сообщения реактору реактивности имеет приблизительно линейный характер (рис.12.2).

Рис.12.2. Характер реального процесса сообщения реактору положительной и отрицательной реактивности во времени за счёт перемещения подвижного стержня-поглотителя в реакторе из критического положения.

Рассмотрение случая сообщения реактивности реактору мгновенным скачком обусловлено ещё и тем, что любые иные реальные способы воздействия на реактор более безопасны.

1. Система дифференциальных уравнений кинетики реактора с учётом

шести групп запаздывающих нейтронов.

Очевидно, что плотность тепловых нейтронов, полученных в результате замедления в любом микрообъёме активной зоны в любой момент времени всегда равна сумме плотностей тепловых нейтронов, полученных в результате замедления мгновенных и запаздывающих нейтронов.

n(t) = n_м(t) + n_з(t).

Из этой очевидности вытекает и другая: так как производная суммы двух функций одного аргумента равна сумме их производных, то

dn /dn = dn_м /dt + dn_з /dt . (12.1)

На основе этого равенства и построен вывод первого из системы дифференциальных уравнений кинетики реактора - уравнения скорости изменения плотности нейтронов в реакторе.

---

Примечание. Впредь, говоря о плотности тепловых нейтронов, получаемых в результате замедления мгновенных (или запаздывающих) нейтронов, будем выражаться кратко: “плотность мгновенных (запаздывающих) нейтронов”, оговаривая лишь случаи, когда использование таких кратких выражений приводит к двусмысленному пониманию их.

1. Дифференциальное уравнение скорости изменения плотности нейтронов. Используя один из простейших приёмов математической физики, величину эффективного коэффициента размножения нейтронов в реакторе можно представить как сумму двух слагаемых, каждое из которых словно бы отдельно ответственно за размножение мгновенных и запаздывающих нейтронов:

k_э = k_э - k_э b_э + k_эb_э = k_э (1 - b_э) + k_эb_э = k_эм + k_эз , (12.2)

где k_эм = k_э ( 1 - b_э ) - произведение эффективного коэффициента размножения на долю выхода мгновенных нейтронов, называемое коэффициентом размножения на мгновенных нейтронах, а

k_эз = k_э b_э - произведение эффективного коэффициента размножения на эффективную долю выхода запаздывающих нейтронов, называемое коэффициентом размножения на запаздывающих нейтронах.

Величина b_э - в обоих случаях - это суммарная эффективная доля выхода запаздывающих нейтронов всех групп (мы рассматриваем приближение с шестью группами запаздывающих нейтронов).

Аналогично понятию избыточного коэффициента размножения (dk_э = k_э -1) вводится понятие избыточного коэффициента размножения на мгновенных нейтронах, величина которого будет равна:

dk_эм = k_эм - 1 = k_э (1 - b_э) - 1 = k_э - 1 - k_эb_э = dk_э - k_эb_э » r - b_э , (12.3)

так как при k_э» 1 величина dk_э» r , а k_эb_э» b_э .

Обособленное рассмотрение размножения на мгновенных нейтронах даёт возможность первое слагаемое правой части (12.1) записать сразу, без вывода, используя известное нам элементарное уравнение кинетики реактора, в котором следует произвести лишь формальную замену: вместо dk_э - подставить величину dk_эм» r - b_э , а вместо среднего времени жизни поколения нейтронов - подставить l - время жизни мгновенных нейтронов, то есть

dn_м/dt = [(r - b_э) / l] n(t) (12.4)

Примечание. Из (12.3), строго говоря, следует, что

dk_эм = dk_э - k_эb_э = k_э [(dk_э / k_э) - b_э] = k_э (r - b_э) ,

но, как уже неоднократно отмечалось, величина k_э в практике управления реальными энергетическими реакторами мало когда отличается от единицы более чем на 0.002, поэтому величина k_э без заметного ущерба для точности может быть принята равной единице

.

Второе слагаемое в правой части (12.1.1) - скорость изменения плотности тепловых нейтронов, полученных в результате замедления запаздывающих нейтронов dn_з /dt. Эта величина находится из простых рассуждений.

Предположим, что реальная концентрация ядер-предшественников запаздывающих нейтронов i-ой группы в рассматриваемый момент времени равна С_i. Это означает, что в единичном объёме активной зоны будет происходить b-распад этих предшественников со скоростью l_iC_i ( где l_i - постоянная b-распада предшественников i-ой группы. Это, в свою очередь, означает, что в этом единичном объёме ежесекундно будут образовываться l_iC_i ядер-излучателей запаздывающих нейтронов этой группы, а, поскольку каждое ядро-излучатель практически без запаздывания испускает один запаздывающий нейтрон, величина l_iC_i является ещё и мгновенным значением скорости образования быстрых запаздывающих нейтронов i-ой группы.

---

Если бы эти быстрые запаздывающие нейтроны со стопроцентной достоверностью избегали утечки и резонансного захвата при замедлении, то в каждом единичном объёме активной зоны в среднем из них рождалось бы столько же тепловых нейтронов за 1 с, но если учесть, что из всех их только (р_з j)-ая часть остаётся в активной зоне, то фактически в каждом единичном объёме активной зоны ежесекундно будет рождаться l_iC_i p_з j тепловых нейтронов, получаемых из запаздывающих нейтронов i-ой группы. Общая же скорость генерации тепловых нейтронов из запаздывающих нейтронов всех шести групп будет равна

_{6 6}

dn_з / dt = S l_iC_i p_з j = S l_i c_i , (12.5)

^{i=1 i=1}

где обозначенная малым символом (с_i) величина c_i = C_i p_зj , (12.6)

называется эффективной концентрацией предшественников i-ой группы. Эта величина, введенная в обиход из соображений чистого удобства (компактности записи), имеет смысл некоторой условной эквивалентной концентрации тех же предшественников, из которых ежесекундно получалось бы реальное количество тепловых запаздывающих нейтронов i-ой группы в случае, когда утечка и резонансный захват замедляющихся нейтронов в реакторе отсутствовали бы.

Таким образом, с учётом выражений (12.5) и (12.4) исходное уравнение для скорости изменения плотности нейтронов в реакторе (12.1) приобретает вид:

₆

dn / dt = [(r - b_э) / l ] n(t) + S l_i c_i(t) (12.7)

ⁱ⁼¹

Это уравнение является неопределённым, так как, кроме основной неизвестной функции n(t) оно содержит ещё шесть неизвестных функций - временных зависимостей эффективных концентраций предшественников запаздывающих нейтронов всех шести групп. Поэтому для того, чтобы получить конкретное решение, необходимо замкнуть систему, то есть присоединить к (12.7) ещё, как минимум, шесть дифференциальных уравнений, в которых функции с_i(t) фигурировали бы независимым от уравнения (12.7) образом.

12.1.2.Дифференциальные уравнения скоростей изменения эффективных концентраций предшественников запаздывающих нейтронов шести групп. Логический вид этих шести уравнений одинаков:

dC_i/dt = (скорость генерации предшественников i-ой группы) - (скорость их b-распада) (12.8)

Первое слагаемое правой части (12.8) получается из следующих рассуждений. Если n(t) - средняя по объёму активной зоны плотность тепловых нейтронов в некоторый произвольный момент времени (t), то через промежуток времени, равный среднему времени жизни поколения мгновенных нейтронов ( l ) плотность нейтронов станет равной k_эn (что следует из определения эффективного коэффициента размножения k_э). Эти тепловые нейтроны очередного поколения получены в результате замедления быстрых нейтронов, исходное число которых в единичном объёме активной зоны было k_э n /p_з j , то есть рождались эти нейтроны со средней скоростью k_эn / p_зj l в каждом см³ активной зоны за 1 с. Но среди всех этих быстрых нейтронов b_i-ая часть рождались как запаздывающие нейтроны i-ой группы, а так как каждый запаздывающий нейтрон i-ой группы испускался одним излучателем, а каждый излучатель получался в результате b-распада одного предшественника i-ой группы, то из этого следует, что скорость генерации предшественников i-ой группы составляет k_эn b_эi / p_зj l ядер/см³ с. Такова величина первого слагаемого правой части логического уравнения (12.8).

---

Со вторым слагаемым этого уравнения дело значительно проще: в соответствии с известным законом радиоактивного распада скорость b-распада предшественников i-ой группы определяется только наличной в данный момент времени концентрацией их С_i, то есть равна l_iC_i.

Поэтому искомое дифференциальное уравнение для скорости изменения действительной концентрации предшественников i-ой группы будет :

dC_i / dt = (k_э b_эi / p_зj l) n(t) - l_i C_i(t) ,

а если, руководствуясь формулой (12.6), перейти к эффективным концентрациям предшественников любой группы, и полагая, что, как и в предыдущем выводе, k_э » 1, то:

dc_i / dt = ( b_эi/ l) n(t) - l_i c_i(t) (12.9)

Таков общий вид шести дифференциальных уравнений для скоростей изменения эффективных концентраций предшественников запаздывающих нейтронов шести групп.

Таким образом полная замкнутая система семи дифференциальных уравнений кинетики реактора с учётом запаздывающих нейтронов имеет вид:

₆

dn / dt = [(r - b_э) / l ] n(t) + S l_ic_i(t) (12.10)

ⁱ⁼¹

dc_i / dt = (b_эi / l) n(t) - l_i c_i(t) i = 1, 2,..., 6 (12.11)

3. Решение системы дифференциальных уравнений кинетики. Одинаковый вид всех дифференциальных уравнений кинетики подсказывает, что их решения можно отыскать в форме выражений:

n(t) = n_o exp (t / T) (12.12) и

c_i(t) = c_io exp (t / T) , (12.13)

где n_o и c_io - соответственно величины плотности нейтронов и эффективной концентрации предшественников запаздывающих нейтронов i-ой группы в момент времени t = 0, когда реактор перед сообщением ему реактивности был ещё критичен.

Но, коль скоро эти выражения являются решениями системы уравнений кинетики, то подстановка их самих и их производных:

dn / dt = [n_o exp (t / T)] / T = n(t) / T (12.14)

dc_i / dt = [c_ioexp (t / T)] / T = c_i(t) / T (12.15)

в исходную систему уравнений должна обратить последние в тождества.

В этих выражениях параметр Т имеет физический смысл периода соответствующих экспоненциальных процессов.

Примечание. Впредь ради краткости записи функции n(t) и c_i(t) будем обозначать просто n и c_i.

Подставим вначале (12.15) только в левую часть уравнения (12.11):

с_i / T = (b_эi / l) n - l_i c_i, откуда c_i = b_эi T n / (1 + l_iT) l . (12.16)

Далее выражения (12.16) и (12.14) подставляются в уравнение (12.10):

₆

n / T = [(r - b_э) / l ] n + S {l_ib_эiT / (1 + l_iT) l} n

ⁱ⁼¹

Умножив обе части полученного равенства на (l / n), получаем:

₆

l / T = r - b_э + S {l_ibэiT /(1 + l_iT)} (12.17)

ⁱ⁼¹

₆

Если учесть, что b_э = S b_эi , то, объединив две суммы в правой части (12.17) в одну

ⁱ⁼¹

и приведя выражение под знаком суммы к общему знаменателю, несложно получить:

---

₆

r = (l / T) + S b_эi / (1 + l_iT) (12.18)

ⁱ⁼¹

Уравнение (12.18) по отношению к уравнению (12.10) является характеристическим и называется уравнением обратных часов.

Замечание. Получена, строго говоря, приближённая форма уравнения обратных часов, поскольку в процессе его вывода было принято одно допущение: предполагалось, что величина эффективного коэффициента размножения k_э очень мало отличается от единицы, в связи с чем допускалось, что r » dk_э. Эта натяжка незначительно влияет на точность решения и не меняет качественного характера решения системы дифференциальных уравнений кинетики реактора, но даёт возможность при этом значительно сократить объём математических преобразований при выводе уравнения обратных часов. Если бы мы не прибегали к указанному допущению, в результате более громоздкого вывода можно было бы получить более точное выражение для уравнения обратных часов (сравните):

₆

r = l /(T + l) + [T /(T + l)] S b_эi / (1 + l_i T) (12.18а)

ⁱ⁼¹

Уравнение обратных часов настолько важно и для анализа решений системы дифференциальных уравнений кинетики реактора, и для практической деятельности оператора реакторной установки, что мы временно прервём ход решения дифференциальных уравнений кинетики и остановимся на нём более подробно.

4. Уравнение обратных часов.

а ) Уравнение обратных часов как характеристическое уравнение системы дифференциальных уравнений кинетики реактора. Развёрнутый вид уравнения обратных часов:

r = (l/T) + b_э1/(1+l₁T) + b_э2/(1+l₂T) + b_э3/(1+l₃T) + b_э4/(1+l₄T)+ b_э5/(1+l₅Т) + b_э6/ (1 + l₆T)

свидетельствует о том, что это - алгебраическое уравнение седьмой степени относительно Т. Для того, чтобы понять это, достаточно мысленно представить, что получится в числителе выражения правой части уравнения после приведения его к общему знаменателю: седьмая степень уравнения становится очевидной. А это значит, что уравнение обратных часов в самом общем случае должно иметь семь корней.

В разделе математики “Решение дифференциальных уравнений” говорится, что вид, величины и знаки корней характеристического уравнения определяют вид решения дифференциальных уравнений. В частности, если характеристическое уравнение имеет действительные корни, то решение дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений) имеет экспоненциальный вид. Это побуждает нас заняться анализом корней уравнения обратных часов.

Но вначале следует уточнить одну немаловажную деталь: отыскивая с самого начала именно экспоненциальное решение для дифференциального уравнения изменения плотности нейтронов в виде одной экспоненты - n(t) = n_o exp (t / T), - мы невольно совершили небольшой просчёт, который следует исправить по ходу дела. Если уравнение обратных часов имеет семь корней, то общее решение системы дифференциальных уравнений кинетики реактора будет не одной экспонентой, а будет представлять собой сумму семи экспонент, показатели которых определяются величинами этих семи корней уравнения обратных часов:

---

Смотрите также файлы

• fundinter.doc

• l_02.pdf

• l_14.pdf

• l_08.pdf

• l_07.pdf