n(t) = A_oexp(t/T_o) + A₁exp(t/T₁) + A₂exp(t/T₂) + A₃exp(t/T₃) + A₄exp(t/T₄) + A₅exp(t/T₅) + A₆exp(t/T₆)

или в более краткой форме:

₆

n(t) = A_oexp(t/T_o) + S A_iexp(t/T_i) , (12.19)

ⁱ⁼¹

где Т_о, T₁, T₂, ... , T₆ - значения семи корней уравнения обратных часов, а A_o, A₁, A₂, ... , A₆ - величины постоянных интегрирования, находимые путём подстановки в общее решение (12.19) конкретных начальных условий.

Знаки корней уравнения обратных часов наиболее наглядно видны, если показать его решение в графическом виде (см. рис.12.3).

Рис,12.1. График зависимости корней уравнения обратных часов при положительных и отри- цательных реактивностях разной величины.

На этом графике показано решение уравнения обратных часов в зависимости не от величины самого периода Т, а от обратной ему величины 1 / Т: так удобнее выполнять решение уравнения аналитически.

Как видим, функция r = f (1 / T) имеет шесть точек разрыва (второго рода), и именно благодаря этой разрывности отдельные корни уравнения обратных часов отображаются на графике достаточно наглядно: области изменения каждого из семи корней по оси 1/T лежат между соответствующими точками разрыва; например, нулевой обратный корень 1/Т_о лежит правее первой точки разрыва (- l₁), первый обратный корень 1/Т₁ - между первой и второй точками разрыва (-l₁ и -l₂), второй обратный корень 1/T₂ - между второй и третьей точками разрыва (-l₂ и -l₃ ) и так далее; значения последнего, седьмого, обратного корня 1/Т₇ - располагаются левее последней, шестой, точки разрыва (-l₆).

При этом знаки всех семи корней уравнения обратных часов определяются самым наглядным образом: в точках пересечения соответствующих участков графика с горизонтальной прямой, отсекающей на оси ординат рассматриваемое значение реактивности r.

Из графика видно, что, если величина сообщаемой реактору реактивности положительна, то нулевой обратный корень 1/Т_о , а, значит, и сам корень Т_о, - положителен (т.к. располагается в правой полуплоскости, или правее оси О - r ). Остальные шесть корней (Т₁ ¸ Т₆) уравнения обратных часов - отрицательны (лежат в левой полуплоскости).

Если же величина сообщаемой реактору реактивности отрицательна, то все семь корней уравнения обратных часов отрицательны (лежат в левой, отрицательной, полуплоскости).

Что касается величин самих корней, то они, как следует из графика, определяются только величиной сообщаемой реактору реактивности r.

Теперь о знаках постоянных интегрирования (А_о ¸ А₆). Здесь не приводится полный (и очень громоздкий) аналитический вывод общего выражения для любой из постоянных интегрирования, которое имеет вид:

r T_i

А_i = __________________________ (12.20)

₆

---

l + S {l_ib_эi / [(1/T_i) + l_i]²}

ⁱ⁼¹

Квадрат выражения в квадратных скобках, независимо от знака корня Т_i , всегда имеет положительный знак, и, поскольку все остальные величины знаменателя положительны, то весь знаменатель (12.1.20) - всегда положителен. А раз так, то знак постоянной интегрирования А_i всегда определяется знаком произведения rТ_i в числителе правой части этого выражения. То есть, если нулевой корень Т_о при r > 0, как говорилось выше, положителен (Т_о > 0), то произведение rТ_о > 0, а, следовательно, А_о > 0. При отрицательной же величине реактивности (r < 0) произведение отрицательного нулевого корня Т_о на отрицательную величину реактивности r даёт положительную величину произведения rТ_о, и, следовательно, величина нулевой постоянной интегрирования будет иметь положительный знак. Проделав такой микроанализ со всеми величинами постоянных интегрирования, можно прийти к общему выводу:

при r>0: Т_о>0 и А_о>0, а остальные корни (Т₁¸Т₆)<0 и (А₁¸А₆) < 0 (12.21)

при r<0: все 7 корней (Т_о¸Т₆)<0, а постоянные интегрирования (А_о¸А₆)>0 (12.22)

б) Самостоятельное практическое значение решения уравнения обратных часов.

Анализ знаков корней уравнения обратных часов и постоянных интегрирования безусловно важен, так как он даёт возможность выявить качественную структуру и дать физическое толкование характеру переходных процессов при сообщении реактору реактивности того или иного знака.

Но значение уравнения обратных часов не исчерпывается только этим. Забегая немного вперёд, заметим, что из семи корней уравнения обратных часов старший корень Т_о (старший - в математическом понимании этого слова, то есть - наибольший по величине) имеет простое физическое толкование: это - тот самый установившийся период, определяющий “чисто экспоненциальное” изменение плотности нейтронов в реакторе в развитой стадии переходного процесса n(t). (Почему это так, станет ясно немного позже).

Эту величину установившегося периода, как уже говорилось, легко измерить практически с помощью самого обычного секундомера. Вместе с тем, величина установившегося периода (Т_о) для конкретного реактора в рассматриваемый момент кампании определяется только величиной сообщённой реактору реактивности r, следовательно, уравнение обратных часов для конкретного реактора (с конкретной величиной b_э) устанавливает жёсткую однозначную взаимосвязь величин реактивности r и установившегося периода Т_о (или r - с величиной установившегося периода удвоения мощности реактора Т₂, которая, как мы знаем, пропорциональна величине установившегося периода Т_о).

А это значит, что по величине измеренного установившегося периода удвоения мощности можно находить величину сообщённой реактору реактивности, и, наоборот, - по величине сообщённой реактору реактивности можно предсказывать, с каким установившимся периодом удвоения будет происходить установившийся разгон (или спад) мощности ядерного реактора. Это, согласитесь, практически очень важно для оператора реакторной установки. Эту взаимосвязь можно занести в программу компьютера, можно выразить в форме таблицы или в форме графика.

---

Рис. 12.2. Две наглядные формы взаимосвязи реактивности реактора r и установившегося периода удвоения мощности реактора Т₂ , вытекающие из решения уравнения обратных часов.

Пользуясь приведенными таблицей или графиком, оператор имеет возможность быстро оценить величину реактивности реактора по измеренному периоду удвоения мощности или предсказать величину установившегося периода разгона реактора по величине реактивности, которую он собирается сообщить реактору.

2. Переходные процессы при сообщении реактору отрицательной

реактивности

1. Характер переходных процессов n(t) при r < 0. Так как при сообщении реактору отрицательной реактивности все семь корней уравнения обратных часов отрицательны, это означает, что общее решение системы дифференциальных уравнений кинетики представляет собой алгебраическую сумму убывающих экспонент (любая экспонента с отрицательным показателем - убывающая). А поскольку (см. условие (12.22)) все без исключения постоянные интегрирования А_i в случае отрицательной реактивности положительны, то можно выразиться более точно: при отрицательной реактивности решение системы дифференциальных уравнений кинетики есть арифметическая сумма семи убывающих экспонент, и если обозначать через Т_i абсолютную величину корней уравнения обратных часов, то:

₆

n(t) = A_o exp(- t / T_o) + S A_i exp (- t / T_i) (12.23)

^{i = 1}

Геометрическое суммирование семи убывающих экспонент показано на рис.12.2. Как видим, переходный процесс n(t) в “холодном” реакторе имеет уже не тот моноэкспоненциальный вид, который получался из решения элементарного уравнения кинетики: здесь хорошо просматриваются две стадии развития переходного процесса, свойственные реальным переходным процессам во всех реакторах, а именно, - стадия начального скачка, продолжительность которой определяется временем, в течение которого шесть младших экспонент спадают до практического нуля, и стадия чисто экспоненциального спада плотности нейтронов, определяемая старшей, экспонентой А_о exp (- t / T_o), показатель которой обратно пропорционален наибольшему по абсолютной величине корню уравнения обратных часов.

Рис.12.3. Экспоненциальные составляющие переходного процесса n(t) при скачкообразном сообщении критическому реактору отрицательной реактивности.

Теперь смысл названия установившегося периода Т_о должен быть окончательно ясен.

Зависимость любого (переходного) периода Т_i при отрицательной величине сообщаемой реактору реактивности имеет обратный характер: чем больше абсолютная величина сообщаемой реактору отрицательной реактивности, тем меньше абсолютная величина любого из корней уравнения обратных часов Т_i (что очень наглядно иллюстрирует график решения уравнения обратных часов). Следовательно, крутизна переходных процессов n(t) в реакторе определяется только величиной сообщаемой реактору отрицательной реактивности: чем больше абсолютная величина отрицательной реактивности, тем более круто идёт спад плотности нейтронов n(t), причём, и на стадии начального скачка, и на стадии последующего экспоненциального спада.

---

Можно сказать и иными словами: чем больше абсолютная величина сообщаемой реактору отрицательной реактивности, тем больше абсолютная величина начального скачка.

Нелинейный характер начальной стадии переходного процесса ещё более наглядно иллюстрируется графиком зависимости, построенным в полулогарифмической системе координат для различных значений отрицательной реактивности.(рис.12.4):

Рис.12.4. Качественный вид переходных процессов n(t) в натуральной и полулогарифмической системах координат.

Логарифмирование экспоненциальной функции даёт, как известно, линейную зависимость, изображаемую прямой линией, угловой коэффициент которой численно равен постоянному сомножителю в показателе экспоненты, то есть, в данном случае, - величине (- 1 / Т_о). Поэтому в полулогарифмической системе координат прямой линией изображается только вторая, чисто экспоненциальная, стадия переходного процесса n(t), а на стадии начального скачка переходный процесс выглядит нелинейно.

Наличие стадии начального скачка в переходном процессе n(t) физически объясняется тем, что при скачкообразном сообщении критическому реактору отрицательной реактивности первыми всегда реагируют на это возмущение мгновенные нейтроны: резко уменьшается скорость генерации и резко возрастает скорость их поглощения. И если бы к моменту введения отрицательной реактивности в реакторе не были бы накоплены достаточно большие стационарные концентрации предшественников запаздывающих нейтронов всех групп, процесс начального спада n(t) происходил бы во много раз быстрее (поскольку время жизни мгновенных нейтронов во много раз меньше времени жизни запаздывающих нейтронов любой группы), то есть это был бы практически безынерционный бросок n(t) вниз, почти синхронно отслеживающий уменьшение величины коэффициента размножения на мгновенных нейтронах. Но предшественники запаздывающих нейтронов в реакторе есть, и их стационарные концентрации в критическом реакторе достаточно высоки, а это значит, что в первые секунды начального скачка достаточно высоки и скорости их b-распада (вспомните: dC_i/dt = - l_iC_i), а, значит, вначале высоки и скорости генерации запаздывающих нейтронов всех групп, и получается, что эти добавки запаздывающих нейтронов в общий цикл размножения тормозят общее падение плотности нейтронов n(t), которое без них было бы очень резким.

Но поскольку с уменьшением n(t) синхронно уменьшается и скорость деления ядер топлива, то с той же синхронностью уменьшается и скорость генерации предшественников запаздывающих нейтронов всех групп, а с некоторым запаздыванием - и скорость генерации излучателей запаздывающих нейтронов. Скорость уменьшения концентраций ядер-предшественников запаздывающих нейтронов не может стать ниже скорости их b-распада (равной l_iC_i(t)). Следовательно, экспоненциальный процесс снижения концентрации предшественников каждой группы (надеюсь, вы не сомневаетесь, что он чисто экспоненциальный: ведь решения 6 уравнений для концентраций были найдены в виде C_i(t) = C_oi exp(-t / T_i) ) не может идти с периодом, меньшим, чем период распада предшественников каждой группы (равным 1 / l_i). Поэтому понятным становится и физический смысл величины переходного периода Т_i: это - периоды экспоненциальных процессов С_i(t), описывающих переходы величин концентраций предшественников запаздывающих нейтронов от одного стационарного значения (С_оi) до другого (соответствующего концу переходного процесса n(t). В частности, судя по виду решения, конечной концентрацией предшественников запаздывающих нейтронов может быть и нулевая их концентрация.

---

Примечание. Обратим внимание с самого начала на эту “несуразицу”: при любом значении сообщаемой реактору отрицательной реактивности концентрации предшественников запаздывающих нейтронов устремляются к нулю, то есть, в соответствии с известным правилом, через (4 ¸ 5) периодов Т_i величины концентраций С_i должны обратиться в практический ноль. Объяснение этому будет дано при рассмотрении кинетики подкритического реактора с независимым источником нейтронов.

И лишь тогда, когда скорость снижения n(t) ”вплотную” снизится до скорости b-распада предшественников самой долгоживущей (первой) группы, переходный процесс n(t) плавно переходит во вторую (чисто экспоненциальную) стадию уменьшения плотности нейтронов с установившимся периодом Т_о.

2. Величина начального скачка при отрицательных реактивностях. Вопрос о величине начального скачка при сообщении реактору отрицательных реактивностей имеет не только чисто теоретическое значение, но и представляет большой практический интерес и для конструктора реактора, и для оператора-эксплуатационника. Он возникает из приблизительно таких соображений: отрицательные реактивности сообщаются критическому реактору не только ради снижения его мощности (для этого нужны совсем небольшие величины отрицательных реактивностей), но и для выполнения быстрой (аварийной) остановки реактора в случаях возникновения ситуаций, угрожающих перерасти в аварию реактора или какого-либо другого элемента АЭУ. Для этого в реакторе предусматривается аварийная защита. В одних энергетических реакторах - это специальные группы стержней-поглотителей, автоматически "выстреливаемые” в активную зону при возникновении аварийных ситуаций; в большинстве реакторов АЭС в качестве стержней АЗ используются все штатные подвижные поглотители (включая и регулирующие группы), которые в нормальных условиях находятся вне активной зоны (кроме регулирующих групп), но по сигналу АЗ вводятся в активную зону с максимальной предусмотренной скоростью.

Одним словом, стержни АЗ - как раз и есть те самые поглотители, с помощью которых критическому реактору за сравнительно короткое время может быть сообщена сравнительно большая отрицательная реактивность.

Из рис.12.4. мы уже видели, что плотность нейтронов (или нейтронная мощность реактора) при сообщении реактору отрицательной реактивности уменьшается тем более высоким темпом, чем большая величина отрицательной реактивности воздействует на реактор. Величина начального скачка тоже находится явно в прямой зависимости от величины сообщаемой реактору отрицательной реактивности. Вопрос заключается в том, каков характер этой зависимости.

Договоримся считать условной величиной начального скачка Dn¢ разницу величин начальной плотности нейтронов n_o и постоянной интегрирования А_о старшей экспоненты А_оexp(-t/T_o):

---

Смотрите также файлы

• fundinter.doc

• l_02.pdf

• l_14.pdf

• l_08.pdf

• l_07.pdf