Решить систему методом Ньютона:

№	Система уравнений	Точность
12	14 =0 2x+ -9=0	0.0001

Решение:

Перепишем систему в векторно-матричной форме:



Запишем итерационную формулу метода Ньютона:



и перепишем ее, переходя от вычисления обратной матрицы к решению системы линейных алгебраических уравнений:

;

.

Таким образом, на каждой итерации надо вычислить якобиан и функцию F, решить возникшую систему линейных алгебраических уравнений (например, методом Крамера) относительно [d1_i; d2_i]^T и по ним найти x_i+1, y_i+1. Итерации закончатся, когда квадрат нормы вектора приращений переменных станет меньше заданной точности.
Решение на Паскале:

Program task3; { Решение системы методом Ньютона }
Const EPS = 0.0001; { Точность расчета }
{ Процедура, вычисляющая первую и вторую функции системы [ F1(X,Y) = 0; F2(X,Y) = 0 ] }

Procedure F(X, Y: Real; Var F1, F2: Real);

Begin

F1 := 14.0*X*X - 12.0*Y*Y + 3.0;

F2 := 2.0*X + 7.0*Y*Y - 9.0

End;
{ Процедура, вычисляющая якобиан системы функций [ F1(X,Y) = 0; F2(X,Y) = 0 ] }

{ Результатом является матрица = [ dF1/dX dF1/dY ] = [ G11 G12 ] }

{ [ dF2/dX dF2/dY ] [ G21 G22 ] }

Procedure G(X, Y: Real; Var G11, G12, G21, G22: Real);

Begin

G11 := 28.0*X;

G12 := -24.0*Y;

G21 := 2.0;

G22 := 14.0*Y

End;
{ Процедура, реашющая систему линейных уравнений методом Крамера: }

{ A1*X1 + B1*X2 = C1 }

{ A2*X2 + B2*X2 = C2 }

Procedure Solve(A1, B1, C1, A2, B2, C2: Real; Var X1, X2: Real);
Var D: Real; { Определитель системы }

Begin

D := A1*B2 - A2*B1;

X1 := (C1*B2 - C2*B1)/D;

X2 := (A1*C2 - A2*C1)/D

End;
Var X0, Y0: Real; { Предыдущая точка решения }

X1, Y1: Real; { Следующая точка решения }

D1, D2: Real; { Приращения X и Y }

F1, F2: Real; { Значения функций системы }

G11, G12, G21, G22: Real; { Компоненты якобиана }

k: Integer; { Число итераций }

D: Real; { Невязка }

Begin

{ Ввод исходных данных }

WriteLn('Vvedite nachalnuyu tochku:');

Write('X0 = '); ReadLn(X0);

---

Write('Y0 = '); ReadLn(Y0);

k := 1;

F(X0, Y0, F1, F2); { Вычисляем функции системы }

D1 := 0.0; D2 := 0.0;

Repeat { Цикл расчета }

G(X0, Y0, G11, G12, G21, G22); { Вычисляем градиент }

Solve(G11, G12, -F1, G21, G22, -F2, D1, D2); { Находим приращения, решая систему Jacobian*D = -F, что }

{ эквивалентно нахождению D = (Jacobian^(-1))*(-F) }

X1 := X0 + D1;

Y1 := Y0 + D2;

F(X1, Y1, F1, F2); { Вычисляем функции системы }

WriteLn(k:2, '. X = ', X1:8:5, ' : Y = ', Y1:8:5);

WriteLn(' F1(X,Y) = ', F1:8:5, ' : F2(X,Y) = ', F2:8:5);

D := D1*D1 + D2*D2;

WriteLn(' Nevyazka = ', D:8:5);

X0 := X1;

Y0 := Y1;

Inc(k);

Until D <= EPS; // Пока невязка не станет меньше точности расчета

ReadLn

End.

Результат (скриншоты):

Обнаружилось, что система имеет четыре решения, которые удалось получить, изменяя начальную точку.

Первое решение:



Второе решение:



Третье решение:



Четвертое решение:

---

Смотрите также файлы

• Практическое задание 4 Проблемы использования не возобновляемых источников энергии.docx

• Курсовая работа на тему особенности взаимодействия педагога с родителями в рамках совместной подготовки ребенка к обучению в доо по дисциплине "Теоретические основы дошкольного образования".docx

• .docx

• Пп фио собственника лпх адрес.doc

• Программа среднего профессионального образования 40. 02. 01. Право и организация социального обеспечения соо дисциплина История государства и права Практическое задание 2.doc