Файл: Диофантовы уравнения Автор Васильева Юлия Вячеславовна, 10в мбоу Гимназия 13 имени Э. А. Быкова.docx
Добавлен: 25.10.2023
Просмотров: 50
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196,……576, 625 ……
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, ....49……
Но составлять такие последовательности квадратов долгое и трудоёмкое занятие, поэтому были придуманы формулы, по которым можно находить такие тройки чисел:
Если x-нечетное число, то y=(x2-1):2 и z=(x2+1):2. В этом случае равенство х2+у2=z2 выполняется. Это уравнение будем называть «уравнением Пифагора», а его решения – «пифагоровы тройки».
По этому правилу можно получить уже известные нам тройки: если X=3, то y=(9-1):2=4, z=(9=1):2=5, получилась первая пифагорова тройка; x=5, то y= (25-1):2=12, z=(25+1):2=13, вторая тройка; x=7, то y= (49-1):2=24, z= (49+1):2=25. Других мы пока не знаем, но следующее за 7 нечетное число 9, тогда y=40, z=41. Проверим наши вычисления:
92+402=412
81 + 1600 = 1681 - верно
Следующим шагом было установление правила вычисления всех, а не только некоторых пифагоровых троек. Перепишем уравнение Пифагора следующим образом:
x2=z2-y2;
x2=(z+y)(z-y);
Это и означает, что число x должно разлагаться на два неравных множителя z+y и z-y, которые мы обозначим так, что получится такая система:
z+y=2a2,
z+y=2b2;
Почему написаны коэффициенты 2 и почему написаны квадраты, а не просто числа a и b? Это сделано с целью получить аккуратные ответы. Решив эту систему, получим: (при этом надо иметь в виду, что a> b)
z=a2+b2, y=a2-b2, x=2ab
Из этого следует, что наименьшим значением числа b может быть только единица, тогда наименьшим значением a будет 2. Вычислим x, y, z. Получается z=5, y=4, x=3, это уже известный нам «египетский треугольник». А теперь составим таблицу:
Таблица 1 - Длины сторон (целочисленные) прямоугольных треугольников
Ясно, что таблицу можно расширить и вправо, и вниз. Подчеркнем главное - уравнение решено, мы знаем способ вычисления всех возможных целочисленных значений длин сторон прямоугольных треугольников.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Изучая источники литературы, я выяснила, что условно можно выделить следующие методы решения диофантовых уравнений: метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение; метод разложения на множители; метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби; методы, основанные на выделении полного квадрата; метод решения уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных; метод, основанный на оценке выражений, входящих в уравнение; метод, основанный на алгоритме Евклида; метод, основанный на теории цепных дробей; метод, основанный на теории сравнений; метод бесконечного спуска и др. Я познакомилась с некоторыми методами, которые можно применять в школьной практике, а также при подготовке к олимпиаде.
1. Метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение
Пример 1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения: 49x + 51y = 602.
Решение. Выразим из уравнения переменную x через y, x = (602−51y)/49 , так как x и y – натуральные числа, то x = (602−51y)/49 ≥ 1, 602 − 51y ≥ 49, 51y ≤ 553, 1 ≤ 1043/51. Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются x = 5, y = 7.
Ответ: (5; 7).
Пример 2. Решить уравнение 3x 4y 1 в целых числах.
Решение: Перепишем уравнение в виде 3x 4y 1. Поскольку левая часть уравнения делится на 3, то должна делиться на 3 и правая часть.
Рассмотрим три случая:
1) Если y 3m , где mZ , то 4y 1 12m 1 не кратно 3.
2) Если y 3m 1 , где mZ , то 4y 1 4(3m 1) 1 12m 5 не кратно 3.
3) Если y 3m 2 , где mZ , то 4y 1 4(3m 2) 112m 9 кратно 3, поэтому 3x 12m 9, x 4m 3 .
Ответ: x 4m 3, y 3m 2 , где mZ .
2. Метод разложения на множители
Пример 3. Найти все целочисленные решения уравнения: x2 − 3xy + 2y2 =3.
Решение. Разложим левую часть уравнения x2 − 3xy + 2y2= 3 на множители:
X2 − 3xy + 2y2 = (x − y)(x − 2y). Имеем: (x − y)(x − 2y) = 3. Поскольку число 3 можно представить в виде произведения целых чисел с учетом порядка четырьмя способами: 3 = 1 · 3 = 3 · 1 = (−1) · (−3) = (−3) · (−1), то получаем совокупность четырех систем для нахождения значений переменных.
целочисленными решениями которых являются соответственно пары (−1; −2), (5; 2), (1; 2), (−5; -2)
Ответ: (−1; −2), (5; 2), (1; 2), (−5; −2).
Пример 4. (Петербургские математические олимпиады) Решите уравнение с двумя неизвестными x и y в целых числах: 10x2 + 11xy + 3y2 = 7.
Решение. Левую часть уравнения можно представить в виде произведения двух сомножителей (5x+3y) и (2x+y), которые могут принимать только целые значения −7, −1, 1, 7, которые приводят к следующим парам целых корней (−4; 9), (14; −21), (4; −9), (−14; 21).
Ответ: (−4; 9), (14; −21), (4; −9), (−14; 21)
Пример 5. Решите уравнение относительно x, y и z в натуральных числах:
(x − y + z)(x2 + y2 + z2 ) = 2005.
Решение. Представим правую часть уравнения 2005 через произведение простых делителей 2005 = 5 · 401, где 401 можно записать как сумму трёх натуральных квадратов 256, 144 и единицы, что подходит по первому множителю. Для полноты решения необходимо рассмотреть и другие варианты представления правой части как 2005 = 1 · 2005, которые не дают новых решений. Ответ: (16; 12; 1).
3. Метод решения уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных
Пример 6. Решить уравнение в целых числах:5x2 + 5y2 + 8xy + 2y − 2x + 2 = 0.
Решение. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно x:
5x2 + (8y − 2)x + 5y2 + 2y + 2,
D = (8y −2)2 −4●5(5y2 + 2y + 2) = 64y2−32y + 4 −100y2 −40y −40 = −36(y2 + 2y + 1) = −36(y + 1)2 .
Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0.
−36(y + 1)2 = 0.
Это возможно при y = −1, тогда x = 1.
Ответ: (1;-1)
Пример 7. Решить уравнение в целых числах: x2 − xy + y2 = x + y.
Решение. Преобразуем уравнение x2 − x(y + 1) + y2 − y = 0. Рассмотрим его как квадратное относительно x:
D = (y + 1)2 − 4(y2 − y) = −3y2 + 6y + 1 ≥ 0
3(y − 1)2 ≤ 4, (y − 1)2 ≤ 2. Проверка для y = 0; 1; 2 дает искомые решения.
Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).
4. Метод, основанный на выделении полного квадрата
Пример 8. Найдите все целочисленные решения уравнения:x2 − 6xy + 13y2= 9.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты,
X2 − 6xy + 13y2 = (x2 − 6xy + 9y2) + 4y2 = (x − 3y)2 + (2)2 = 29, значит (2y)2 ≤ 29. Получаем, что y может быть равен 0; ±1; ±2.
1. y = 0. (x − 0)2 = 29. Не имеет решений в целых числах.
2. y = −1. (x + 3)2 + 4 = 29
(x + 3)2 = 25, x + 3 = 5 или x + 3 = −5 x = 2 или x = −8.
3. y = 1. (x + 3)2 + 4 = 29, (x − 3)2 = 25, x − 3 = 5 или x − 3 = −5 x = 8 или x = −2.
4. y = −2. (x + 6)2 + 16 = 29, (x + 6)2 = 13. Нет решений в целых числах.
5. y = 2. (x − 6)2 + 16 = 29, (x − 6)2 = 13. Нет решений в целых числах.
Ответ: (2; −1); (−8; −1); (8; 1); (−2; 1).
5. Метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби
Пример 9. Решить в целых числах уравнение: 3x + 2y = 7.
Решение. Переписав уравнение в виде 2(x + y) = 7 − x, заключаем, что 7 − x кратно 2, т. е. 7 − x = 2k, k ∈ Z. Значит, x = 7 − 2k, и из исходного уравнения находим y = 3k −7. Следовательно, все пары вида (7 − 2k; 3k − 7), k ∈ Z являются решениями исходного уравнения.
Ответ: (7 − 2k; 3k − 7), k ∈ Z.
Пример 10. Решить в целых числах уравнение 3y − 2x = 8.
Решение. Выразим x через y, получим: x = (3y−8)/2 ∈ Z ⇒ y = 2n, n ∈ Z. Тогда x = (6n−8)/2 = 3n − 4, n ∈ Z. Следовательно, все пары вида (3n − 4; 2n), n ∈ Z являются решениями исходного уравнения.
Ответ: (3n − 4; 2n), n ∈ Z.
6. Применение алгоритма Евклида
Решить уравнение 4 х + 7 у = 16
Найдем НОД чисел 4 и 7 по алгоритму Евклида : НОД(4,7) = 1
Выразим число 1 через коэффициенты а = 4 и b =7, используя теорему о линейном разложении НОД: НОД ( а, b ) = au + bv .
Получим: 1 = 4 ∙ 2 + 7 ∙ (-1) u = 2, v = -1
Частное решение уравнения: х0 = 2 ∙ 16 = 32, у0 = -1 ∙ 16 = -16
7. Метод рассмотрения остатков от деления
Решить в целых числах уравнение 3х – 4у = 1; 3 х = 4 у + 1
Левая часть уравнения делится на 3, значит и правая должна делиться на 3. При делении на 3 могут получиться остатки 0, 1, и 2. Рассмотрим 3 случая.
1)y = 3p
3 x = 4 ∙ 3p + 1 = 12 p + 1, не делится на 3
2)y = 3p + 1, 3 x = 4 ∙ (3p + 1) +1 = 12 p + 5, не делится на 3
3) y = 3p + 2, 3 x = 4 ∙ (3p + 2) +1 = 12 p + 9, кратно 3
3 x = 3 (4 p + 3)
x = 4 p + 3
Ответ: x = 4 p + 3; y = 3p + 2
Заключение
В ходе работы над проектом:
Моя работа над диофантовыми уравнениями продолжается, предстоит ещё многие методы изучить, научиться их применять, а продуктом работы будет небольшой сборник-самоучитель.
Список литературы
1. Башмакова И.Г. «Диофант и диофантовы уравнения», М.:Наука,1972г.
2. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч.1. Пособие для учителей. Под ред. Л.В.Сабинина. М., «Просвещение», 1978. -320 с. (Библиотека учителя математики.) На обороте тит.л.авт.: О.В.Мантуров, Ю.К.Солнцев, Ю.И.Сорокин, Н.Г.Федин.
3. Е.П. Гринько, А.Г. Головач. Учебно-методическое пособие. Методы решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам. Брест БрГУ имени А.С. Пушкина, 2013
4. http://elib.sfu-kras.ru/bitstream/handle/2311/68579/caoaz.pdf?sequence=1
5. Абакумова, С. И. Диофантовы уравнения / С. И. Абакумова, А. Н. Гусева // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. – 2014. – Т. 1, №6. – С. 133–137.
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, ....49……
Но составлять такие последовательности квадратов долгое и трудоёмкое занятие, поэтому были придуманы формулы, по которым можно находить такие тройки чисел:
Если x-нечетное число, то y=(x2-1):2 и z=(x2+1):2. В этом случае равенство х2+у2=z2 выполняется. Это уравнение будем называть «уравнением Пифагора», а его решения – «пифагоровы тройки».
По этому правилу можно получить уже известные нам тройки: если X=3, то y=(9-1):2=4, z=(9=1):2=5, получилась первая пифагорова тройка; x=5, то y= (25-1):2=12, z=(25+1):2=13, вторая тройка; x=7, то y= (49-1):2=24, z= (49+1):2=25. Других мы пока не знаем, но следующее за 7 нечетное число 9, тогда y=40, z=41. Проверим наши вычисления:
92+402=412
81 + 1600 = 1681 - верно
Следующим шагом было установление правила вычисления всех, а не только некоторых пифагоровых троек. Перепишем уравнение Пифагора следующим образом:
x2=z2-y2;
x2=(z+y)(z-y);
Это и означает, что число x должно разлагаться на два неравных множителя z+y и z-y, которые мы обозначим так, что получится такая система:
z+y=2a2,
z+y=2b2;
Почему написаны коэффициенты 2 и почему написаны квадраты, а не просто числа a и b? Это сделано с целью получить аккуратные ответы. Решив эту систему, получим: (при этом надо иметь в виду, что a> b)
z=a2+b2, y=a2-b2, x=2ab
Из этого следует, что наименьшим значением числа b может быть только единица, тогда наименьшим значением a будет 2. Вычислим x, y, z. Получается z=5, y=4, x=3, это уже известный нам «египетский треугольник». А теперь составим таблицу:
Таблица 1 - Длины сторон (целочисленные) прямоугольных треугольников
| b a | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 3,4,5 | 6,8,10 | 8,15,17 | 10,24,36 | 12,35,37 |
| 2 | ------- | 5,12,13 | 12,16,20 | 20,21,29 | 24,32,40 |
| 3 | 5,12,13 | ------- | 7,24,25 | ------- | 27,36,45 |
| 4 | 12,16,20 | 7,24,25 | ------- | ------- | ------- |
Ясно, что таблицу можно расширить и вправо, и вниз. Подчеркнем главное - уравнение решено, мы знаем способ вычисления всех возможных целочисленных значений длин сторон прямоугольных треугольников.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Изучая источники литературы, я выяснила, что условно можно выделить следующие методы решения диофантовых уравнений: метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение; метод разложения на множители; метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби; методы, основанные на выделении полного квадрата; метод решения уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных; метод, основанный на оценке выражений, входящих в уравнение; метод, основанный на алгоритме Евклида; метод, основанный на теории цепных дробей; метод, основанный на теории сравнений; метод бесконечного спуска и др. Я познакомилась с некоторыми методами, которые можно применять в школьной практике, а также при подготовке к олимпиаде.
1. Метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение
Пример 1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения: 49x + 51y = 602.
Решение. Выразим из уравнения переменную x через y, x = (602−51y)/49 , так как x и y – натуральные числа, то x = (602−51y)/49 ≥ 1, 602 − 51y ≥ 49, 51y ≤ 553, 1 ≤ 1043/51. Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются x = 5, y = 7.
Ответ: (5; 7).
Пример 2. Решить уравнение 3x 4y 1 в целых числах.
Решение: Перепишем уравнение в виде 3x 4y 1. Поскольку левая часть уравнения делится на 3, то должна делиться на 3 и правая часть.
Рассмотрим три случая:
1) Если y 3m , где mZ , то 4y 1 12m 1 не кратно 3.
2) Если y 3m 1 , где mZ , то 4y 1 4(3m 1) 1 12m 5 не кратно 3.
3) Если y 3m 2 , где mZ , то 4y 1 4(3m 2) 112m 9 кратно 3, поэтому 3x 12m 9, x 4m 3 .
Ответ: x 4m 3, y 3m 2 , где mZ .
2. Метод разложения на множители
Пример 3. Найти все целочисленные решения уравнения: x2 − 3xy + 2y2 =3.
Решение. Разложим левую часть уравнения x2 − 3xy + 2y2= 3 на множители:
X2 − 3xy + 2y2 = (x − y)(x − 2y). Имеем: (x − y)(x − 2y) = 3. Поскольку число 3 можно представить в виде произведения целых чисел с учетом порядка четырьмя способами: 3 = 1 · 3 = 3 · 1 = (−1) · (−3) = (−3) · (−1), то получаем совокупность четырех систем для нахождения значений переменных.
целочисленными решениями которых являются соответственно пары (−1; −2), (5; 2), (1; 2), (−5; -2)
Ответ: (−1; −2), (5; 2), (1; 2), (−5; −2).
Пример 4. (Петербургские математические олимпиады) Решите уравнение с двумя неизвестными x и y в целых числах: 10x2 + 11xy + 3y2 = 7.
Решение. Левую часть уравнения можно представить в виде произведения двух сомножителей (5x+3y) и (2x+y), которые могут принимать только целые значения −7, −1, 1, 7, которые приводят к следующим парам целых корней (−4; 9), (14; −21), (4; −9), (−14; 21).
Ответ: (−4; 9), (14; −21), (4; −9), (−14; 21)
Пример 5. Решите уравнение относительно x, y и z в натуральных числах:
(x − y + z)(x2 + y2 + z2 ) = 2005.
Решение. Представим правую часть уравнения 2005 через произведение простых делителей 2005 = 5 · 401, где 401 можно записать как сумму трёх натуральных квадратов 256, 144 и единицы, что подходит по первому множителю. Для полноты решения необходимо рассмотреть и другие варианты представления правой части как 2005 = 1 · 2005, которые не дают новых решений. Ответ: (16; 12; 1).
3. Метод решения уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных
Пример 6. Решить уравнение в целых числах:5x2 + 5y2 + 8xy + 2y − 2x + 2 = 0.
Решение. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно x:
5x2 + (8y − 2)x + 5y2 + 2y + 2,
D = (8y −2)2 −4●5(5y2 + 2y + 2) = 64y2−32y + 4 −100y2 −40y −40 = −36(y2 + 2y + 1) = −36(y + 1)2 .
Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0.
−36(y + 1)2 = 0.
Это возможно при y = −1, тогда x = 1.
Ответ: (1;-1)
Пример 7. Решить уравнение в целых числах: x2 − xy + y2 = x + y.
Решение. Преобразуем уравнение x2 − x(y + 1) + y2 − y = 0. Рассмотрим его как квадратное относительно x:
D = (y + 1)2 − 4(y2 − y) = −3y2 + 6y + 1 ≥ 0
3(y − 1)2 ≤ 4, (y − 1)2 ≤ 2. Проверка для y = 0; 1; 2 дает искомые решения.
Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).
4. Метод, основанный на выделении полного квадрата
Пример 8. Найдите все целочисленные решения уравнения:x2 − 6xy + 13y2= 9.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты,
X2 − 6xy + 13y2 = (x2 − 6xy + 9y2) + 4y2 = (x − 3y)2 + (2)2 = 29, значит (2y)2 ≤ 29. Получаем, что y может быть равен 0; ±1; ±2.
1. y = 0. (x − 0)2 = 29. Не имеет решений в целых числах.
2. y = −1. (x + 3)2 + 4 = 29
(x + 3)2 = 25, x + 3 = 5 или x + 3 = −5 x = 2 или x = −8.
3. y = 1. (x + 3)2 + 4 = 29, (x − 3)2 = 25, x − 3 = 5 или x − 3 = −5 x = 8 или x = −2.
4. y = −2. (x + 6)2 + 16 = 29, (x + 6)2 = 13. Нет решений в целых числах.
5. y = 2. (x − 6)2 + 16 = 29, (x − 6)2 = 13. Нет решений в целых числах.
Ответ: (2; −1); (−8; −1); (8; 1); (−2; 1).
5. Метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби
Пример 9. Решить в целых числах уравнение: 3x + 2y = 7.
Решение. Переписав уравнение в виде 2(x + y) = 7 − x, заключаем, что 7 − x кратно 2, т. е. 7 − x = 2k, k ∈ Z. Значит, x = 7 − 2k, и из исходного уравнения находим y = 3k −7. Следовательно, все пары вида (7 − 2k; 3k − 7), k ∈ Z являются решениями исходного уравнения.
Ответ: (7 − 2k; 3k − 7), k ∈ Z.
Пример 10. Решить в целых числах уравнение 3y − 2x = 8.
Решение. Выразим x через y, получим: x = (3y−8)/2 ∈ Z ⇒ y = 2n, n ∈ Z. Тогда x = (6n−8)/2 = 3n − 4, n ∈ Z. Следовательно, все пары вида (3n − 4; 2n), n ∈ Z являются решениями исходного уравнения.
Ответ: (3n − 4; 2n), n ∈ Z.
6. Применение алгоритма Евклида
Решить уравнение 4 х + 7 у = 16
Найдем НОД чисел 4 и 7 по алгоритму Евклида : НОД(4,7) = 1
Выразим число 1 через коэффициенты а = 4 и b =7, используя теорему о линейном разложении НОД: НОД ( а, b ) = au + bv .
Получим: 1 = 4 ∙ 2 + 7 ∙ (-1) u = 2, v = -1
Частное решение уравнения: х0 = 2 ∙ 16 = 32, у0 = -1 ∙ 16 = -16
7. Метод рассмотрения остатков от деления
Решить в целых числах уравнение 3х – 4у = 1; 3 х = 4 у + 1
Левая часть уравнения делится на 3, значит и правая должна делиться на 3. При делении на 3 могут получиться остатки 0, 1, и 2. Рассмотрим 3 случая.
1)y = 3p
3 x = 4 ∙ 3p + 1 = 12 p + 1, не делится на 3
2)y = 3p + 1, 3 x = 4 ∙ (3p + 1) +1 = 12 p + 5, не делится на 3
3) y = 3p + 2, 3 x = 4 ∙ (3p + 2) +1 = 12 p + 9, кратно 3
3 x = 3 (4 p + 3)
x = 4 p + 3
Ответ: x = 4 p + 3; y = 3p + 2
Заключение
В ходе работы над проектом:
-
Узнала историю возникновения диофантовых уравнений и биографию Диофанта; -
Познакомилась с некоторыми типами диофантовых уравнений и научилась методам их решения; -
Была доказана гипотеза о том, что некоторые задачи из школьного курса можно решить при помощи диофантовых уравнений; -
Были рассмотрены и разобраны примеры некоторых задач, которые легко решаются при помощи диофантовых уравнений; -
Значительно упростила работу с ними, поскольку альтернативным методом их решения выступал метод подбора, достаточно трудоёмкий и нецелесообразный, в случаях если на решение задачи даётся не так много времени; -
Работа над проектом не только повысила мои знания в области математики, но и показала новые методы решения задач, которые я могу применять на практике; -
Изучение истории развития и изучения диофантовых уравнений расширило мой кругозор; -
Самое интересное, что каждое уравнение требует особого подхода, поскольку нет универсального метода для решения диофантовых уравнений.
Моя работа над диофантовыми уравнениями продолжается, предстоит ещё многие методы изучить, научиться их применять, а продуктом работы будет небольшой сборник-самоучитель.
Список литературы
1. Башмакова И.Г. «Диофант и диофантовы уравнения», М.:Наука,1972г.
2. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч.1. Пособие для учителей. Под ред. Л.В.Сабинина. М., «Просвещение», 1978. -320 с. (Библиотека учителя математики.) На обороте тит.л.авт.: О.В.Мантуров, Ю.К.Солнцев, Ю.И.Сорокин, Н.Г.Федин.
3. Е.П. Гринько, А.Г. Головач. Учебно-методическое пособие. Методы решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам. Брест БрГУ имени А.С. Пушкина, 2013
4. http://elib.sfu-kras.ru/bitstream/handle/2311/68579/caoaz.pdf?sequence=1
5. Абакумова, С. И. Диофантовы уравнения / С. И. Абакумова, А. Н. Гусева // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. – 2014. – Т. 1, №6. – С. 133–137.