Файл: Основные понятия теории вероятностей Случайные события и величины, их основные характеристики.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.10.2023
Просмотров: 35
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
 КГЭУ | МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯРОССИЙСКОЙФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «КАЗАНСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТ» Кафедра Инженерная кибернетика |
Лабораторная работа №1
Дисциплина «Теория систем и системный анализ»
Тема: «Основные понятия теории вероятностей
Случайные события и величины, их основные характеристики»
Студент: Дементьева Е.В
Группа: ЗПИ-1-20
Преподаватель: Андреев В.В.
Казань 2022
Лабораторная работа №1
Стоит только рассматривать итог бросания кости как дискретную случайную величину и мы придем к понятию распределения вероятностей такой величины.
Пусть в результате достаточно большого числа наблюдений за игрой с помощью одной и той же кости мы получили следующие данные:
Подобную таблицу наблюдений за СВ часто называют выборочным распределением, а соответствующую ей картинку (диаграмму) – гистограммой.
Какую же информацию несет такая табличка или соответствующая ей гистограмма?
Прежде всего, всю – так как иногда и таких данных о значениях случайной величины нет и их приходится либо добывать (эксперимент, моделирование), либо считать исходы такого сложного события равновероятными – по
на любой из исходов.С другой стороны – очень мало, особенно в цифровом, численном описании СВ. Как, например, ответить на вопрос: – а сколько в среднем мы выигрываем за одно бросание кости, если выигрыш соответствует выпавшему числу на грани?
Нетрудно сосчитать:
1•0.140+2•0.080+3•0.200+4•0.400+5•0.100+6•0.080= 3.48
То, что мы вычислили, называется средним значением случайной величины, если нас интересует прошлое.
Если же мы поставим вопрос иначе – оценить по этим данным наш будущий выигрыш, то ответ 3.48 принято называть
математическим ожиданием случайной величины, которое в общем случае определяется как
Mx = Xi P(Xi); {1.1},
где P(Xi) – вероятность того, что X примет свое i-е очередное значение.
Таким образом, математическое ожидание случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) – это то, к чему стремится ее среднее значение при достаточно большом числе наблюдений.
Обращаясь к нашему примеру, можно заметить, что кость несимметрична, в противном случае вероятности составляли бы по 1/6 каждая, а среднее и математическое ожидание составило бы 3.5.
Поэтому уместен следующий вопрос – а какова степень асимметрии кости – как ее оценить по итогам наблюдений?
Для этой цели используется специальная величина – мера рассеяния – так же как мы "усредняли" допустимые значения СВ, можно усреднить ее отклонения от среднего. Но так как разности (Xi – Mx) всегда будут компенсировать друг друга, то приходится усреднять не отклонения от среднего, а квадраты этих отклонений. Величину
{1.2}принято называтьдисперсией случайной величины X.
Вычисление дисперсии намного упрощается, если воспользоваться выражением
{1.3}т.е. вычислять дисперсию случайной величины через усредненную разность квадратов ее значений и квадрат ее среднего значения.
Выполним такое вычисление для случайной величины с распределением:
Таким образом, дисперсия составит 14.04 – (3.48)2 = 1.930.
Заметим, что размерность дисперсии не совпадает с размерностью самой СВ и это не позволяет оценить величину разброса. Поэтому чаще всего вместо дисперсии используется квадратный корень из ее значения – т.н. среднеквадратичное отклонение или отклонение от среднего значения:
{1.4}составляющее в нашем случае
= 1.389. Много это или мало? Сообразим, что в случае наблюдения только одного из возможных значений (разброса нет) среднее было бы равно именно этому значению, а дисперсия составила бы 0. И наоборот – если бы все значения наблюдались одинаково часто (были бы равновероятными), то среднее значение составило бы (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.500; усредненный квадрат отклонения – (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)/6 = 15.167; а дисперсия 15.167 – 12.25 = 2.917.
Таким образом, наибольшее рассеяние значений СВ имеет место при ее равновероятном или равномерном распределении.
Отметим, что значения Mx и SX являются размерными и их абсолютные значения мало что говорят. Поэтому часто для грубой оценки "случайности" данной СВ используют т.н. коэффициент вариации или отношение корня квадратного из дисперсии к величине математического ожидания:
Vx = SX/MX. {1.5}
В нашем примере эта величина составит 1.389/3.48=0.399.
Итак, запомним, что неслучайная, детерминированная величина имеет математическое ожидание равное ей самой, нулевую дисперсиюи нулевой коэффициент вариации, в то время как равномерно распределенная СВ имеет максимальную дисперсию и максимальный коэффициент вариации.
В ряде ситуаций приходится иметь дело с непрерывно распределенными СВ - весами, расстояниями и т.п. Для них идея оценки среднего значения (математического ожидания) и меры рассеяния (дисперсии) остается той же, что и для дискретных СВ. Приходится только вместо соответствующих сумм вычислять интегралы. Второе отличие – для непрерывной СВ вопрос о том какова вероятность принятия нею конкретного значения обычно не имеет смысла – как проверить, что вес товара составляет точно 242 кг – не больше и не меньше?
Для всех СВ – дискретных и непрерывно распределенных, имеет очень большой смысл вопрос о диапазоне значений. В самом деле, иногда знание вероятности того события, что случайная величина не превзойдет заданный рубеж, является единственным способом использовать имеющуюся информацию для системного анализа и системного подхода к управлению. Правило определения вероятности попадания в диапазон очень просто – надо просуммировать вероятности отдельных дискретных значений диапазона или проинтегрировать кривую распределения на этом диапазоне.
Взаимосвязи случайных событий
Вернемся теперь к вопросу о случайных событиях. Здесь методически удобнее рассматривать вначале простые события (может произойти или не произойти). Вероятность события X будем обозначать P(X) и иметь ввиду, что вероятность того, что событие не произойдет, составляет
P(X) = 1 - P(X). {1.6}
Самое важное при рассмотрении нескольких случайных событий (тем более в сложных системах с развитыми связями между элементами и подсистемами) – это понимание способа определения вероятности одновременного наступления нескольких событий или, короче, –
совмещения событий.
Рассмотрим простейший пример двух событий X и Y, вероятности которых составляют P(X) и P(Y). Здесь важен лишь один вопрос – это события независимые или, наоборот взаимозависимые и тогда какова мера связи между ними? Попробуем разобраться в этом вопросе на основании здравого смысла.
Оценим вначале вероятность одновременного наступления двух независимых событий. Элементарные рассуждения приведут нас к выводу: если события независимы, то при 80%-й вероятности X и 20%-й вероятности Y одновременное их наступление имеет вероятность всего лишь 0.8 • 0.2 = 0.16 или 16%.
Итак – вероятность наступления двух независимых событий определяется произведением их вероятностей:
P(XY) = P(X)
P(Y). {1.7}Перейдем теперь к событиям зависимым. Будем называть вероятность события X при условии, что событие Y уже произошло условной вероятностью P(X/Y), считая при этом P(X) безусловной или полной вероятностью. Столь же простые рассуждения приводят к так называемой формуле Байеса
P(X/Y)
P(Y) = P(Y/X) P(X) {1.8},где слева и справа записано одно и то же – вероятности одновременного наступления двух "зависимых" или коррелированных событий.
Дополним эту формулу общим выражением безусловной вероятности события X:
P(X) = P(X/Y)
P(Y) + P(X/Y) P(Y), {1.9}означающей, что данное событие X может произойти либо после того как событие Y произошло, либо после того, как оно не произошло (Y) – третьего не дано!
Формулы Байеса или т.н. байесовский подход к оценке вероятностных связей для простых событий и дискретно распределенных СВ играют решающую роль в теории принятия решений в условиях неопределенности последствий этих решений или в условиях противодействия со стороны природы, или других больших систем (конкуренции). В этих условиях ключевой является стратегия управления, основанная на прогнозе т.н. апостериорной (послеопытной) вероятности события
P(X/Y)
. {1.10}
Прежде всего, еще раз отметим взаимную связь событий X и Y – если одно не зависит от другого, то данная формула обращается в тривиальное тождество. Кстати, это обстоятельство используется при решении задач оценки тесноты связей – корреляционном анализе. Если же взаимосвязь событий имеет место, то формула Байеса позволяет вести управление путем оценки вероятности достижения некоторой цели на основе наблюдений над процессом функционирования системы – путем перерасчета вариантов стратегий с учетом изменившихся представлений, т. е. новых значений вероятностей.
Дело в том, что любая стратегия управления будет строиться на базе определенных представлений о вероятности событий в системе – и на первых шагах эти вероятности будут взяты "из головы" или в лучшем случае из опыта управления другими системами. Но по мере "жизни" системы нельзя упускать из виду возможность "коррекции" управления - использования всего накапливаемого опыта.
Схемы случайных событий и законы распределений случайных величин
Большую роль в теории и практике системного анализа играют некоторые стандартные распределения непрерывных и дискретных СВ.
Эти распределения иногда называют "теоретическими", поскольку для них разработаны методы расчета всех показателей распределения, зафиксированы связи между ними, построены алгоритмы расчета и т.п.
Таких, классических законов распределений достаточно много, хотя "штат" их за последние 30-50 лет практически не пополнился. Необходимость знакомства с этими распределениями для специалистов вашего профиля объясняется тем, что все они соответствуют некоторым "теоретическим" схемам случайных (большей частью – элементарных) событий.
Как уже отмечалось, наличие больших массивов взаимосвязанных событий и обилие случайных величин в системах экономики приводит к трудностям априорной оценки законов распределений этих событий или величин. Пусть, к примеру, мы каким-то образом установили математическое ожидание спроса некоторого товара. Но этого мало – надо хотя бы оценить степень колебания этого спроса, ответить на вопрос – а какова вероятность того, что он будет лежать в таких-то пределах? Вот если бы установить факт принадлежности данной случайной величины к такому классическому распределению как т.н. нормальное