Файл: Содержание Что нужно знать о огэ по математике 4.pdf

Содержание
Что нужно знать о ОГЭ по математике
4
Структура ОГЭ по математике . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Как происходит проверка работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Шкала перевода баллов в отметки в 2018 году . . . . . . . . . .
6
Содержание заданий
8
Задание #1. Вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Задание #2. Анализ таблиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Задание #3. Числовая прямая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Задание #4. Сравнение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Задание #5. �Чтение� графиков и диаграмм . . . . . . . . . . . 14
Задание #6. Уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Задание #7. Простейшие текстовые задачи . . . . . . . . . . . . 17
Задание #8. Анализ диаграмм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Задание #9. Теория вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Задание #10. Графики функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Задание #11. Последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Задание #12. Преобразование выражений . . . . . . . . . . . . . 23
Задание #13. Практические задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Задание #14. Неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Задание #15. Практические задачи по геометрии . . . . . . . . . 26
Задания ##16–18. Планиметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2

Задание #19. Планиметрия на клетчатой бумаге . . . . . . . . . 29
Задание #20. Геометрические утверждения . . . . . . . . . . . . 30
Задание #21. Алгебраические задачи . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Задание #22. Текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Задание #23. Текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Задание #24. Планиметрические задачи на вычисления . . . . . 37
Задание #25. Планиметрические задачи на доказательство . . . 37
Задание #26. Планиметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Как готовиться к экзамену
40
Инструкция по выполнению работы
43
Справочные материалы по математике
45
Алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Таблица квадратов двузначных чисел . . . . . . . . . . . . . . . 45
Геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Борис Трушин
3

Что нужно знать об ОГЭ по математике
Структура ОГЭ по математике
ОГЭ по математике состоит из двух частей. При решении за- дач можно пользоваться
Справочными материалами
Первая часть. Задания 1–20
• 14 заданий по алгебре и 6 заданий по геометрии.
• Задания с кратким ответом (в виде целого числа или ко- нечной десятичной дроби) или с выбором верного ответа из предложенных (один из нескольких или несколько из нескольких).
• За каждое задание можно получить один балл.
• Максимальный балл за выполнение первой части – 20, что в 2018 году соответствовало отметке �хорошо�.
Вторая часть. Задания 21–26
• 3 задания по алгебре и 3 задания по геометрии.
• Задания с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
• За каждое задание можно получить два балла.
• Максимальный балл за выполнение второй части – 12.
• Возможны различные способы и записи развернутого ре- шения. Главное требование – решение должно быть ма- тематически грамотным, из него должен быть понятен
4

ход рассуждений автора работы. В остальном же (мето- ды, форма записи и т.п.) решение может быть произволь- ным. Полнота и обоснованность рассуждений оценивают- ся независимо от выбранного метода решения. При этом оцениваются продвижения в решении задачи, а не недо- четы по сравнению с �эталонным� решением.
• При решении заданий можно использовать без доказа- тельств математические факты, содержащиеся в школь- ных учебниках и учебных пособиях.
В этом пособии мы коротко рассмотрим содержание за- даний экзаменационной работы и основные методы их решения.
Как происходит проверка работ
Задания 1–20 проверяются автоматически. Задания с развер- нутым ответом независимо проверяют эксперты. Эти задания считаются выполненными верно, если участник выбрал пра- вильный путь решения, из записи решения понятен ход его рассуждении и получен верный ответ. В этом случае ему вы- ставляется два балла за задание. Если же в решении допущена ошибка, не имеющая принципиального характера и не влияю- щая на общую правильность хода решения, то участнику вы- ставляется 1 балл.
Экзаменационные работы проверяются двумя экспертами. По результатам проверки эксперты независимо друг от друга вы- ставляют баллы за каждый ответ на задания экзаменацион- ной работы. В случае существенного расхождения в баллах,
5

выставленных двумя экспертами, назначается третья провер- ка. Третьему эксперту предоставляется информация о баллах,
выставленных экспертами, ранее проверявшими экзаменаци- онную работу обучающегося. Баллы, выставленные третьим экспертом, являются окончательными.
Работа направляется на третью проверку, если
• расхождение в баллах, выставленных двумя экспертами за выполнение любого из заданий, составляет 2 балла. В
этом случае третий эксперт проверяет только ответ на это задание.
• есть расхождение в двух или более заданиях. В этом слу- чае третий эксперт перепроверяет все задания 21–26.
Если работа не была отправлена на третью проверку, то все разногласия в баллах трактуются в пользу ученика.
Шкала перевода баллов в отметки в 2018 году
На основе баллов, выставленных за выполнение всех заданий работы, подсчитывается общий балл, который переводится в отметку по пятибалльной шкале.
Рекомендуемый минимальный результат, свидетельствующий об �освоении математики�, – 8 баллов, набранные в сумме за выполнение заданий обоих модулей при условии, что из них не менее двух баллов получено за модуль �Геометрия�.
Отметка по пятибалльной шкале
�2� �3�
�4�
�5�
Суммарный балл за работу в целом
0–7 8–14 15–21 22–32 6

Результаты экзамена могут быть использованы при приеме обучающихся в профильные классы средней школы. Ориенти- ром при отборе в профильные классы могут быть показатели,
примеры нижних границ которых приведены ниже:
• для естественнонаучного профиля: 18 баллов, из них не менее 6 по геометрии;
• для экономического профиля: 18 баллов, из них не менее
5 по геометрии;
• физико-математического профиля: 19 баллов, из них не менее 7 по геометрии.
7

Содержание заданий
Задание #1.
Проверяемый навык – �Уметь выполнять вы- числения и преобразования�.
В этом задании нужно преобразовать рациональное выраже- ние. Для уверенного выполнения этого задания нужно уметь работать с рациональными числами
, пользоваться фор- мулами сокращенного умножения и знать основные свой- ства степеней.
В заданиях с числовыми выражениями не бросайтесь сразу считать. Попробуйте сначала упростить выраже- ние. Например, с помощью формул сокращенного умно- жения.
Рассмотрим два примера.
Найдите значение выражения
432 2
568 2
1000
Вычислять каждый из квадратов в отдельности довольно тру- доемко, и есть высокий риск сделать арифметическую ошибку.
Но если воспользоваться формулой разности квадратов, то в числителе мы получим
432 2
568 2
= (432 568)(432 + 568) =
136
· 1000.
Поэтому ответ – � 136�.
8

Найдите значение выражения
1,23
· 45,6 12,3
· 0,456
В подобных заданиях не нужно вычислять отдельно числитель и знаменатель. Достаточно заметить, что
• числитель =
123 100
·
456 10
=
123
· 456 1000
;
• знаменатель =
123 10
·
456 1000
=
123
· 456 10000
Поэтому
1,23
· 45,6 12,3
· 0,456
=
123
· 456 1000
:
123
· 456 10000
=
123
· 456 1000
·
10000 123
· 456
= 10.
Отметим, что в таких задачах, чтобы случайно не ошибиться на порядок, полезно вначале прикинуть чему равно это выра- жение. Например, так:
1, 23
· 45, 6 12, 3
· 0, 456
⇡
1
· 50 12
· 0, 5
=
50 6
⇡ 8.
Теперь, когда вы заранее знаете, что ответ это примерно 8, вы сразу поймете, что ошиблись, если получите 1 или 100.
Задание #2
. Проверяемый навык – �Пользоваться основ- ными единицами длины, массы, времени, скорости, площади,
объёма; выражать более крупные единицы через более мелкие и наоборот�.
9

Это задание проверяет, умеет ли школьник �извлечь� нужную информацию из таблиц.
Рассмотрим следующий пример.
В таблице приведены нормативы по бегу на 30 метров для учащихся девятых классов.
мальчики девочки отметка
�5� �4� �3� �5� �4� �3�
время, секунды 4,6 4,9 5,3 5,0 5,5 5,9

Какую отметку получит девочка, пробежавшая эту ди- станцию за 5,36 секунды?
1. Отметка �5�
2. Отметка �4�
3. Отметка �3�
4. Норматив не выполнен
При решении подобных задач нужно:
• Понять, что нас интересует только половина таблицы (в данном случае – правая). Такую задачу мальчики обычно решают хуже девочек, так как школьнику подсознатель- но хочется ответить про себя, узнать какую бы он полу- чил отметку. Нужно быть очень внимательным и четко понять вопрос задачи.
• Не запутаться при сравнении чисел. Если отвечать не за- думавшись, то может показаться, что 5,36 больше, а, зна- чит, лучше, чем 5,0, а за 5,0 уже ставят �5�. Но, когда речь идет о времени выполнения норматива, то чем доль-
10

ше, тем хуже. Поэтому отметка точно не �5�. После этого ещё нужно правильно сравнить числа 5,36 и 5,5.
Задание #3
. Проверяемый навык – �Уметь выполнять вы- числения и преобразования�.
В этом задании чаще всего требуется сравнить числа отмечен- ные на числовой прямой. Рассмотрим типичный пример.
На координатной прямой отмечены числа a и b.

Какое из следующих чисел наибольшее?
1. a + b
2. a
3. 2b
4. a b
Получить ответ на вопрос задачи можно двумя способами.
Первый способ
• Заметить, что a < 0 < b. Поэтому
2b = b + b > a + b > a b.
Поэтому на наибольшее значение могут претендовать толь- ко 2b и a.
11

• Осталось заметить, что a < 2, а b < 1. Поэтому a >
2 > 2b
• Значит, a – наибольшее число.
Второй способ
Но можно ничего из этого не делать, а ска- зать, что число a примерно равно 2,5, а число b – это при- мерно 0,6. Поэтому:
1. a + b ⇡ 2,5 + 0,6 = 1,9;
2. a ⇡ ( 2,5) = 2,5;
3. 2b ⇡ 2 · 0,6 = 1,2;
4. a b ⇡ 2,5 0,6 = 3,1.
Значит, a – наибольшее число.
Задание #4
. Проверяемый навык – �Уметь выполнять вы- числения и преобразования, уметь выполнять преобразования алгебраических выражении�.
В этом задании требуется сравнить несколько чисел или ис- следовать набор чисел на рациональность.
Для сравнения чисел нужно уметь
• приводить числа к общему знаменателю;
• избавляться от иррациональности в знаменателе.
Для исследования на рациональность нужно знать, что
12

• рациональные числа – это числа, которые можно пред- ставить в виде m
n
, где m – целое, а n – натуральное;
• Если n – натуральное число, то p
n может быть рацио- нальным только если число n – это квадрат натурального числа.
Рассмотрим один пример.

Значение какого из выражений является рациональным числом?
1.
p
6 3
p
6 + 3 2.
p
5 2
p
10 3.
p
3
·
p
5 4.
p
6 3
2
Для решения нужно преобразовать каждое из выражений:
1.
p
6 3
p
6 + 3 =
p
6 2
3 2
= 6 3 =
3;
2.
p
5 2
p
10
=
5
p
10
=
5
p
10 10
=
p
10 2
;
3.
p
3
·
p
5 =
p
15;
4.
p
6 3
2
=
p
6 2
2
p
6
· 3 + 3 2
= 6 6
p
6 + 9 =
= 15 6
p
6.
Таким образом, рациональным является только первое число.
13

Даже если вы сразу видите, что подходит первый вари- ант, не пишите поспешно его в ответ. Проверьте обяза- тельно все остальные, и только после того, как вы убе- дились, что под условие подходит ровно один вариант,
записывайте его в бланк. Это убережет вас от ошибок связанных с неверно прочитанным условием и т.п. И вы будете на 100% уверены, что верно решили задачу.
Задание
#5
Проверяемый навык – �Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величина- ми; интерпретировать графики реальных зависимостей�.
Это задание проверяет, умеет ли школьник �читать� графики и диаграммы. Чаще всего в этом задании не требуется ниче- го вычислять. Для решения обычно достаточно внимательно посмотреть на график/диаграмму и не запутаться при ответе на вопрос.
Рассмотрим следующий пример.
14

На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали – значение темпера- туры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наи- большую температуру воздуха 23 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Здесь главное понять, что спрашивают не наибольшее значе- ние температуры на всем графике, а только про 23 января. И
не потерять минус перед ответом. Видно, что этот максимум лежит на пунктирной линии между � 16� и � 14�. Поэтому ответ – � 15�.
Задание #6.
Проверяемый навык – �Уметь решать уравне- ния, неравенства и их системы�.
Для того, чтобы уверенно справиться с этим заданием нужно уметь решать:
15

• линейные уравнения;
•
квадратные уравнения
;
•
простейшие кубические уравнения
;
• рациональные уравнения.
При решении этого задания нужно помнить, что от вас требуется только ответ. Если вы угадали корень и про- верили, что он подходит, то можно смело писать его в бланк ответов. Обосновывать ответ вам не нужно.
Большинство таких задач можно решить методом �присталь- ного взгляда�. Рассмотрим несколько примеров.
Найдите корень уравнения (x 1)
3
= 8
Сразу понятно, что x 1 = 2, значит x = 3.
Найдите корень уравнения
6 8
x
=
6 5
Здесь даже можно не вспоминать, как работать с дробями.
Очевидно, что при x = 3 слева и справа получится одно и тоже число.
При этом важно понимать, что такого уровня обоснований бы- ло бы недостаточно, если требовалось бы подробное решение.
Но в первой части ОГЭ оно не требуется, поэтому часто ответ можно просто �угадать�.
16

Задание
#7
Проверяемый навык – �Решать несложные прак- тические расчетные задачи; решать задачи, связанные с отно- шением, пропорциональностью величин, дробями, процента- ми; пользоваться оценкой и прикидкой при практических рас- четах; интерпретировать результаты решения задач с учётом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматри- ваемых объектов�.
Простейшая текстовая задача. Для того, чтобы её решить нуж- но
• понимать, что такое процент
;
• не запутаться, в какую сторону округлять до целого от- вета.
Рассмотрим два типичных примера.
Стоимость проезда в маршрутном такси составляет 20
руб. Какое наибольшее число поездок можно будет со- вершить в этом маршрутном такси на 150 руб., если цена проезда снизится на 10%?
В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере 181 человек. Сколько килограм- мовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 5
дней?
В первой задаче нужно просто вычислить стоимость проезда
17