Файл: Инструкция по выполнению работы Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 18 заданий. Часть 1 содержит 11 заданий с кратким ответом базо вого и повышенного уровней сложности..pdf

@pezhirovschool
Тренировочный вариант №5
ЕГЭ
Математика. Профильный уровень
@pezhirovschool
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ
Профильный уровень
Инструкция по выполнению работы
Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 18 заданий. Часть 1 содержит 11 заданий с кратким ответом базо- вого и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится
3 часа 55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 1–11 записываются по приведённому ниже об- разцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа за- пишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1.
При выполнении заданий 12–18 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допус- кается использование гелевой или капиллярной ручки.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Запи- си в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наи- большее количество баллов.
После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое зада- ние в бланках ответов № 1 и № 2 был записан под правильным номером.
Желаем успеха!
Справочные материалы sin
2
α + cos
2
α = 1
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos
2
α − sin
2
α
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β
Часть 1
Ответом к заданиям 1–11 является целое число или ко- нечная десятичная дробь. Во всех заданиях числа пред- полагаются действительными, если отдельно не указано иное. Запишите число в поле ответа в тексте работы,
затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой кле- точки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
1
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную
1 5
окруж- ности. Ответ дайте в градусах.
Ответ:
2
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки C, A
1
, B
1
, C
1
правильной треугольной призмы ABCA
1
B
1
C
1
,
площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 9.
Ответ:
@pezhirovschool
1

@pezhirovschool
Тренировочный вариант №5
ЕГЭ
Математика. Профильный уровень
@pezhirovschool
3
Миша, Оля, Настя и Галя бросили жребий – кому начинать игру.
Найдите вероятность того, что начинать должна будет не Галя.
Ответ:
4
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, что- бы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда
«Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите веро- ятность того, что в этих матчах команда «Сапфир» начнет игру с мячом не более одного раза.
Ответ:
5
Найдите корень уравнения (x + 7)
3
= 216.
Ответ:
6
Найдите значение выражения log
2 7 · log
7 4.
Ответ:
7
На рисунке изображен график функции y = f
0
(x) – производной функции f (x), определенной на интервале (-4; 13). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y = f (x) параллельна прямой y = −2x − 10 или совпадает с ней.
Ответ:
8
Для определения эффективной температуры звёзд используют за- кон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения
P (в ваттах) нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: P = σST
4
, где
σ = 5, 7 · 10
−8
– постоянная, площадь поверхности S измеряет- ся в квадратных метрах, а температура T – в градусах Кельви- на. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности
S =
1 18
· 10 21
м
2
, а излучаемая ею мощность P равна 4, 104 · 10 27
Вт. Определите температуру этой звезды. Дайте ответ в градусах
Кельвина.
Ответ:
9
Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 15 км. Путь из А и В занял у туриста 7 часов,
из которых 4 часа ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Ответ:
10
На рисунке изображен график функции вида f (x) = ax
2
+ 12x + c.
Найдите значение f (−6).
Ответ:
11
Найдите наименьшее значение функции y = (x − 9)
2
(x + 4) − 4 на отрезке [7; 16].
Ответ:
@pezhirovschool
2

@pezhirovschool
Тренировочный вариант №5
ЕГЭ
Математика. Профильный уровень
@pezhirovschool
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания 12–18 исполь- зуйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (12, 13 и т.д.), а затем полное обос- нованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
12
а) Решите уравнение log
4
(sin x + sin 2x + 16) = 2.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
−4π; −
5π
2
.
13
Сечением прямоугольного параллелепипеда
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
плоскостью α, содержащей прямую BD
1
и параллельной прямой
AC, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD – квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC
1
, если AA
1
= 6,
AB = 4.
14
Решите неравенство
25
x
− 5
x+2
+ 26 5
x
− 1
+
25
x
− 7 · 5
x
+ 1 5
x
− 7 6 2 · 5
x
− 24.
15
В июле планируется взять кредит в банке на сумму. 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата тако- вы:
– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет плани- руется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?
16
Высоты BB
1
и CC
1
остроугольного треугольника ABC пересека- ются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB
1
= ∠ACB.
б) Найдите BC, если AH = 8
√
3 и ∠BAC = 60
◦
17
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение p
3x
2
+ 2ax + 1 = x
2
+ ax + 1
имеет ровно три различных корня.
18
Максим должен был умножить двузначное число на трёхзначное число (числа с нуля начинаться не могут). Вместо этого он просто приписал трёхзначное число справа к двузначному, получив пятизначное число, которое оказалось в N раз (N – натуральное число) больше правильного результата.

а) Могло ли N равняться 2?
б) Могло ли N равняться 10?

в) Каково наибольшее возможное значение N ?
@pezhirovschool
3

@pezhirovschool
Тренировочный вариант №5
ЕГЭ
Математика. Профильный уровень
@pezhirovschool
Система оценивания экзаменационной работы по математике
(профильный уровень)
Каждое из заданий 1–11 считается выполненным верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной де- сятичной дроби. Верный ответ на каждое задание оценивается 1 баллом.
№
Правильный ответ
Решение
1 36 2
12 3
0,75 4
0,5 5
-1 6
2 7
5 8
6000 9
3 10 13 11
-4 12
а) πk, k ∈ Z; ±
π
3
+ 2πn, n ∈ Z
−4π, −
10π
3
, −3π, −
8π
3 13
arcsin
5
√
34 14
(−∞; 1) ∪ [1; log
5 7)
15 10 16 24 17
[−2; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 2]
18
а) да, например 13 и 520
б) нет в) 9, например 14 и 112
Решения и критерии оценивания выполнения заданий с развёрнутым ответом
Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 12–18,
зависит от полноты решения и правильности ответа.
Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом:
решение должно быть математически грамотным, полным; все возмож- ные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ,
выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается 0 баллов.
Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.
При выполнении задания могут использоваться без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в федеральный перечень учебников, ре- комендуемых к использованию при реализации имеющих государствен- ную аккредитацию образовательных программ среднего общего образо- вания.
Вариант составил:
Репетитор
Пежиров Иван
Образование
Аспирантура СПбГУ
Стаж
Преподаю с 2014
Профиль vk.com/pezhirov.ivan
Группа vk.com/pezhirovschool
Телеграм t.me/pezhirovschool
YouTube youtube.com/pezhirovschool
@pezhirovschool
4

@pezhirovschool
Тренировочный вариант №5
ЕГЭ
Математика. Профильный уровень
@pezhirovschool
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
2
Обоснованно получен верный ответ в пункте
1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последователь- ность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б
Решение не соответствует ни одному из критериев,
0
перечисленных выше
Максимальный балл
2
@pezhirovschool
5

@pezhirovschool
Тренировочный вариант №5
ЕГЭ
Математика. Профильный уровень
@pezhirovschool
Содержание критерия
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а,
3
и обоснованно получен верный ответ в пункте б
Получен обоснованный ответ в пункте б
2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а,
и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
Имеется верное доказательство утверждения пункта а,
1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен
Решение не соответствует ни одному из критериев,
0
перечисленных выше
Максимальный балл
3
@pezhirovschool
6

@pezhirovschool
Тренировочный вариант №5
ЕГЭ
Математика. Профильный уровень
@pezhirovschool
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
2
Обоснованно получен верный ответ, отличающийся от
1
верного исключением / включением граничных точек
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последователь- ность всех шагов решения
Решение не соответствует ни одному из критериев,
0
перечисленных выше
Максимальный балл
2
@pezhirovschool
7

@pezhirovschool
Тренировочный вариант №5
ЕГЭ
Математика. Профильный уровень
@pezhirovschool
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
2
Верно построена математическая модель
1
Решение не соответствует ни одному из критериев,
0
перечисленных выше
Максимальный балл
2
@pezhirovschool
8

@pezhirovschool
Тренировочный вариант №5
ЕГЭ
Математика. Профильный уровень
@pezhirovschool
Содержание критерия
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а,
3
и обоснованно получен верный ответ в пункте б
Получен обоснованный ответ в пункте б
2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а,
и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
Имеется верное доказательство утверждения пункта а,
1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен
Решение не соответствует ни одному из критериев,
0
перечисленных выше
Максимальный балл
3
@pezhirovschool
9

@pezhirovschool
Тренировочный вариант №5
ЕГЭ
Математика. Профильный уровень
@pezhirovschool
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
4
C помощью верного рассуждения получены верные
3
значения параметра за исключением конечного числа точек или решение недостаточно обосновано
С помощью верного рассуждения получено хотя бы
2
одно верное значение параметра
Задача сведена с графическому или аналитическому
1
решению
Решение не соответствует ни одному из критериев,
0
перечисленных выше
Максимальный балл
4
@pezhirovschool
10

@pezhirovschool
Тренировочный вариант №5
ЕГЭ
Математика. Профильный уровень
@pezhirovschool
Содержание критерия
Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий
4
на 1 балл) результаты
Верно получены три из перечисленных (см. критерий
3
на 1 балл) результатов
Верно получены два из перечисленных (см. критерий
2
на 1 балл) результатов
Верно получен один из следующих результатов:
1
– обоснованное решение пункта а;
– обоснованное решение пункта б ;
– искомая оценка в пункте в;
– пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки
Решение не соответствует ни одному из критериев,
0
перечисленных выше
Максимальный балл
4
@pezhirovschool
11